Уравнения в смешанной форме

Как перейти от системы уравнений в смешанной форме к одному разрешающему уравнению относительно функции прогиба с [c.267]

Уравнения в смешанной форме [c.46]

Ранее были получены уравнения совместности деформаций и равновесия гибких пластин в смешанной форме (уравнения (6.19) Кармана). Искомыми функциями координат точек при решении задачи изгиба пластин являлись функции прогиба IV и напряжений ф. [c.134]

Запишите систему уравнений равновесия и совместности деформаций в смешанной форме. [c.267]

Уравнения (2.7) и (2.11) и есть нелинейные уравнения технической теории оболочек, записанные в смешанной форме. Усилия и деформации выражаются через функции w vi F согласно (1.5), [c.48]

Если использовать уравнения (2.7), (2.11) гл. III в смешанной форме и подстановку (1.1), то эту систему можно представить в виде двух уравнений [c.60]

При неосесимметричном исходном состоянии решение уравнений связано с большими математическими трудностями. Обычно для решения практических задач производят дальнейшие упрощения этих уравнений. Одно из упрощений связанно с отбрасыванием поперечной силы Q2 во втором уравнении. В таком случае получаются уравнения теории пологих оболочек. В смешанной форме эти уравнения, отнесенные к деформированным осям, при следящей нагрузке qi — q2 = 0) имеют вид [c.70]

Системы (2.8), (2.9) можно записать, в смешанной форме через функцию усилий и прогиб. Если для длинных оболочек не учитывать исходных деформаций и считать постоянными продольные и касательные усилия, действующие в них, то при следящей нагрузке уравнения будут иметь вид [25.4] [c.74]

Во многих случаях удобно использование компонент смешанных тензоров, которые имеют естественную размерность поля. Чтобы получить уравнения для физических компонент, следует записать уравнения в тензорной форме и, начиная с тензоров низшего порядка, заменить все тензорные компоненты их выражениями через физические компоненты. [c.14]

Другая форма записи уравнений движения была использована в работе [8] в смешанной форме записи. Уравнения записывались в произвольной криволинейной системе координат для декартовых компонент вектора и тензора. Подставим в уравнение (2.35) вместо вектора а его выражения в декартовой системе координат а = = а т ( % — декартовые компоненты вектора). Далее подставим в уравнение (2.37) выражение для векторов в декартовой системе координат, а для компонент тензора — его связь с декартовыми координатами тензора Р, [c.79]

Уравнение движения ( динамики, упругой кривой, математической физики, параболического типа, эллиптического типа, гиперболического типа, смешанного типа, линии действия, теплопроводности Эйлера, Пуассона...). Уравнения движения в векторной форме ( с одним неизвестным...). Уравнения Гамильтона ( Лагранжа...). [c.93]

Помимо двух основных рассмотренных методов решения задач теории упругости в напряжениях и в перемещениях часто используется смешанная форма решения, когда разрешающие уравнения составляются частично относительно перемещений, а частично относительно напряжений. Такой прием рассмотрим ниже в задаче расчета оболочек (см. гл. 7). [c.46]

Пологие оболочки. Основные уравнения пологих оболочек в усилиях, перемещениях и смешанной форме [c.254]

Отметим, что если задача решается в перемещениях (т. е отыскиваются функции и, V, ю), то в применении уравнения совместности деформаций нет необходимости. В дальнейшем рассматривается смешанная форма решения, согласно которой в качестве основных неизвестных принимаются нормальный прогиб IV и функция напряжений вводимая следующим образом [c.177]

Смешанная форма решения, согласно которой в качестве основных неизвестных вводятся функции прогиба и напряжений [150], предусматривает удовлетворение уравнения совместности деформаций, которое следует из равенств (75) и заменяет соответствующее линейное уравнение (44), [c.189]

В случае, когда компоненты поверхностной нагрузки q, q , равны нулю, уравнения технической теории оболочек можно представить в так называемой смешанной форме, выразив все величины через функцию прогиба w и функцию усилий F, которая вводится равенствами [c.46]

Вариационные уравнения, соответствующие функционалам, приведенным в гл. 3 и 4, можно вывести обычным путем по правилам вариационного исчисления. Левые части их имеют энергетическую структуру и выражают работу обобщенных сил на соответствующих возможных обобщенных перемещениях (для вариационного уравнения Лагранжа) или обобщенных перемещений (деформаций) на возможных обобщенных силах (для уравнения Кастильяно), или их комбинаций в полных и различных смешанных формах. При этом возможными называются обобщенные перемещения (силы), которые удовлетворяют дополнительным условиям, наложенным на них, следующим из дополнительных условий данного функцио- [c.142]

Среди асимптотических методов исследования интегральных уравнений теории смешанных задач широкое распространение получил метод больших Л ([14, 24, 88, 99, 101, 201, 308, 309, 325] и др.), когда решение интегральных уравнений представлено в форме асимптотического разложения по отрицательным степеням некоторого безразмерного параметра Л. Как правило, удавалось построить лишь несколько членов такого асимптотического разложения. [c.36]

Нужно отметить также, что как в плоском, так и в пространственном случае с помощью интегральных преобразований может быть найдено решение смешанной граничной задачи, напрнмер задачи о действии штампа или общей контактной задачи. Способ здесь в общем случае является очень сложным, так как формулировка граничных условий приводит к так называемым парным интегральным уравнениям, решение которых (если его вообще удается получить в замкнутой форме) не всегда просто. Следует также назвать в качестве важного еще так называемый метод Винера — Хопфа [В43]. Интегральные преобразования позволяют также получить решения элементарных задач теории трещин, которые лежат в основе линейной механики разрушения для плоского и пространственного случаев [ВЗО] (так называемых трещин Гриффитса, или дискообразных трещин). [c.127]

П р у д и и к о в. А. П. Решение в интегральной форме одной смешанной задачи для системы дифференциальных уравнений параболического типа. ДАН СССР, 1957, т. 115, стр. 869—871. [c.594]

Если в аксиоматические предпосылки классической механики введено уравнение состояния в форме (2.15), то этим вводится конечно разрывная структура фазового пространства. При существовании разрывов перестановка в смешанных производных порядка дифференцирования по независимым переменным изменяет результат. Поясню это рисунком (рис. 2.1). [c.75]

Прежде чем продолжать далее, приведем сдвоенные дифференциальные уравнения смешанного метода к вариационной форме. Умножим первое уравнение в (8) на М, второе — на ш и проинтегрируем по частям [c.147]

Применение формы записи уравнений в произвольной неортогональной системе координат несколько усложняет вид уравнений, Появляются смешанные производные, добавочные члены, но эти преобразования не меняют характера уравнений. [c.49]

Несмотря на это, не существует симметричного тензора, компоненты которого в системе совпадают с т] действительно, левая и правая конвективные формы симметричного тензора несимметричны и пе равны друг другу. Конечно, если J = J , то смешанные компоненты можно записать как эту матрицу можно тогда интерпретировать двумя различными способами, основываясь на уравнениях (3-4.22) и (3-4.23). [c.115]

Мы получили систему уравнений равновесия и совместности деформаций в смешанной форме. Эта система уравнений может быть приведена к одному разрешающему уравнению восьмого порядка относительно функции прогиба ю. 17 о, и. Теребушко [c.257]

При постановке новых проблем исходным пунктом в большинстве случаев является начало возможных перемеш ений, приводяш ее к вариационной формуле Лагранжа для данного объекта. Если задачу целесообразно формулировать в перемещениях, то на этом функции вариационного исчисления при решении рассматриваемой задачи и кончаются. В нелинейной же теории оболочек самым распространенным вариантом являются уравнения типа Кармана, сформулированные в смешанной форме (через прогиб и функцию напряжения). Ясно, что различным формулировкам соответствуют разные вариационные формулы. Получение таких формул нередко представляет достаточный интерес (хотя бы для нестрогого обоснования процедуры метода Бубнова — Галеркина). Например, большое внимание было уделено обобщению вариационного принципа Кастильяно на нелинейную теорию равновесия пластинок и оболочек (Н. А. Алумяэ, 1950 К. 3. Галимов, 1951, 1958). [c.235]

Разработка всех этих вопросов имеет длительную историю. Так, например И. Я. Штаерман (1924) указал на целесообразность раздельного определения основного (безмоментного) напряженного состояния и краевых эффектов в оболочках вращения при осесимметричной нагрузке еще более сорока лет тому назад. В начале тридцатых годов произошло бурное развитие методов расчета цилиндрических оболочек, в основном благодаря успешным исследованиям В. 3. Власова (1933, 1936), приведшим к варианту расчета (получившему в наше время название полубезмомент-ной теории — по терминологии В. В. Новожилова, 1951), описывающему обобщенные краевые эффекты около асимптотического края. Позже в работах А. Л. Гольденвейзера (1947, 1953) были даны обобщения упрощенного расчета краевых эффектов в статике оболочек нулевой гауссовой кривизны произвольного очертания и отрицательной гауссовой кривизны около асимптотического края. Результаты этих исследований показали, что для недлинных оболочек полученные соотношения представляют собой частные случаи так называемой технической моментной теории оболочек (по терминологии В. 3. Власова, 1944), предназначенной для расчета напряженных состояний с большим показателем изменяемости. В тензорной записи разрешающее уравнение этой теории имеет в смешанной форме следующее представление [c.237]

В его до кторской диссертации в 1910 г. (такая форма уравнений называется смешанной) [c.129]

Здесь не совсем верно утверждение авторов, так как к моменту истощения фильтра смешанного действия катионит переходит в солевую форму, сорбируя в процессе обессоливания ионы Na+, a -bn Mg +. Тогда при пропуске раствора щелочи происходит регенерация катионита по уравнению Na-кзтио-нирования, что в последующем позволяет применять концентированные растворы серной кислоты без опасности образования гипса в структуре смолы. (Прим. ред.) [c.118]

Введем декартову систему координат и будем обозначать через д = х ), р = Pj) и т.д. точки плоскости, в тех случаях, когда это удобно, смешанные частные производные (порядка Aj по и порядка по дифференцируемой функции f x) будем обозначать через D f x), где X = (Д Д ) — мультииндекс. Возвращаясь к системе уравнений изгиба пластинки (5.1.11), запишем эту систему в матричной форме [c.156]

Этот взгляд становится особенно ясным, если рассмотреть систему взаимодействующих упругих тел с произвольными механическими свойствами [42]. Получающиеся при этом уравнения представляют обобщение (в комплексной форме) соотношений для случая одинаковых упругих BofitTB, используемых авторами данной книги. Как частные случаи они охватывают задачи о матрице с включениями, об изолированных трещинах и, конечно, все внутренние и внешние, основные и смешанные задачи. [c.274]

Обратная осесимметричная задача в традиционной постановке Бауер-сфёльда — Вознесенского заключается в определении формы средней поверхности лопасти ф = ф (г, z) при заданной функции тока ур ( , 2) или заданном поле меридианных скоростей г, z). Так как для этой задачи уравнение (6.4) (и аналогичное для течения сжимаемой жидкости) имеет гиперболический тип, то для него ставятся задачи Гурса и три смешанные, если только граница подобласти, содержащей решетку, не совпадает с линией параболического вырождения тица уравнения. Эта линия появляется при окружной проекции скорости liJq, = О (Уф = О для неподвижной решетки), причем при переходе через линию вырождения [c.147]

Другой подход к решению смешанной задачи сверхзвукового обтекания тел дан С. К. Годуновым, А. В. Забродиным и Г. П. Прокоповым (1961). В этом методе установления решение смешанной задачи о стационарном обтекании тела находится как предел гиперболической задачи неустановившегося обтекания этого тела. На двумерные плоские и осесимметричные течения обобш ается метод решения задач о нестационарных одномерных движениях газа с разрывами, предложенный ранее С. К. Годуновым (1959). В методе установления уравнения плоского или осесимметричного неустановившегося движения в дивергентной форме записываются в виде интегралов по поверхности в трехмерном пространстве координат и времени. Такая форма записи в виде законов сохранения обеспечивает возможность рассмотрения течений со скачками уплотнения и другими разрывами. Далее в этом пространстве с учетом формы обтекаемого тела выбирается сетка и интегралы записываются в виде соответствующих сумм подынтегральных выражений в узлах этой сетки. Система координат не предполагается фиксированной. Интегралы, записанные для отдельной ячейки сетки, используются затем для получения разностных уравнений в подвижной координатной системе, причем в течение каждого шага по времени значения газодинамических величин на каждой границе ячейки считаются неизменными. Эта система конечноразностных уравнений, полученная из интегральных законов сохранения, служит аппроксимирующей системой для точных дифференциальных уравнений. [c.178]

При изучении вопроса о концентрации напряжений около щелей и трещин значительный интерес представляет решение смешанных задач теории упругости для неклассических областей типа полосы (слоя). В математическом отношении эти задачи очень трудны. Однако начатое около десяти лет назад систематическое исследование этого вопроса привело к созданию эффективных методов решения задач такого класса (В. М. Александров, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Я. С. Уфлянд и др.). Методами операционного исчисления эти задачи довольно легко сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с нерегулярным ядром. Наибольший эффект в нахождении удобных для практического использования решений этих уравнений был достигнут при использовании специфичных асимптотических методов. Начало исследований вопроса равновесия трещин в полосе было положено И. А. Маркузоном (1963). В. М. Александров (1965) исследовал равновесные трещины вдоль полосы или слоя, где интегральное уравнение строится для функции, определяющей форму трещины. Им получено приближенное решение путем разложения ядра уравнения в ряд при больших отношениях толщины к размеру трещины и получены зависимости нагрузки от размеров трещины. Используя этот метод и решения уравнений Винера — Хопфа, В. М. Александров и Б. И. Сметанин (1965, 1966) получили выражение для коэффициента интенсивности напряжений на краях равновесной трещины в слое малой толщины. Для случая постоянной нагрузки определяется связь размера равновесной трещины с действующей нагрузкой. Аналогичное решение получено для дискообразной трещины в слое конечной толщины. В. М. Ентов и Р. Л. Салганик (1965) рассмотрели в балочном приближении задачу Ь полубесконечной трещине, проходящей по средней линии полосы, причем для нагрузок, приложенных к берегам трещины, задача сводится к рассмотрению расслаивания под действием нормальной или тангенциальной силы. В этой работе с помощью метода Винера — Хопфа получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений для достаточно больших и достаточно малых значений отношения расстояния от конца трещины до точки приложения силы к полуширине полосы. Используя аналитический метод, развитый В. М. Александровым и И. И. Воровичем (1960) при исследовании контактных задач для слоя большой относительной толщины, Б. И. Сметанин (1968) рассмотрел задачу о продольной щели в клине, а также плоскую и осесимметричную задачи о продольной щели в слое при различных условиях на гранях клина и слоя. Для щели, расположенной симметрично относительно граней клина (слоя), и нормальной нагрузки, приложенной к поверхности щели, получены формулы для определения поверхности щели. Коэффициент интенсивности напряжений выражается в виде асимптотического ряда по степеням безразмерного параметра. [c.383]

Современное состояние теории линейных уравнений смешанного типа и вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений представлено в монографиях [92, 93, 20]. Движение идеального газа описывается квазилинейными уравнениями смешанного типа. Использование теории линейных уравнений для изучения свойств трансзвуковых течений оправдано тем, что каждое решение нелинейного уравнения принадлежит множеству решений некоторого линейного уравнениями, значит, свойства трансзвуковых течений принадлежат совокупности свойств решений линейных уравнений. В связи с этим ряд теорем теории линейных уравнений может быть выражен в терминах аэрогазодинамики. Однако при такой интерпретации могут возникать трудности при формулировке условий реализации свойств, классифицируемых по типам линейных уравнений. Линейное уравнение Чаплыгина в плоскости годографа скорости и его упрощенный вариант — уравнение Трикоми — стали первыми и наиболее полно разработанными объектами теории. Следует все же отметить, что большинство полученных математических результатов имеют пока лишь ограниченное или косвенное приложение в трансзвуковой аэродинамике. Это связано с тем, что области определения считаются заданными и, следовательно, рассматриваемые задачи могут иметь отношение лишь к проблеме профилирования контура тела. В то же время одна из главных задач аэродинамики — прямая задача внешнего или внутреннего обтекания тела заданной формы, формулируемая в плоскости годографа как задача со свободной границей, остается мало обоснованной. [c.49]

Из уравнений (34.33) видно, что если в и не равны нулю, то во всех трёх уравнениях члены, содержащие 9, не обращаются в нуль и потеря устойчивости таких стержней сопровождается их закручиванием. Следовательно, тонкостенные стержни несимметричного про( иля, у которых центр изгиба не лежит ни на одной из главных осей инерции (Oy aO и e jtO), всегда теряют устойчивость в смешанной изгибно-крутильной фqpмe, характе1язующейся поворотом сечешй относительно линии мгновенных центров вращения. Чисто изгибная (эйлерова) форма потери устой<швости для таких стержней вообще оказывается невозможной. [c.666]

В работах [143, 283, 293] рассмотрены задачи о контакте упругого прямоугольника либо с жесткой, либо с упругой [143, 293] полуплоскостью. В работах [45, 48, 89, 90, 291, 315] рассмотрены задачи о симметричном контакте упругого прямоугольника с жесткими штампами конечной ширины. При этом в [89, 90, 291, 315] рассмотрено симметричное обжатие прямоугольника двумя штампами, в [45] —на каждой грани прямоугольника действуют два штампа, в [48] — один штамп. Обычно при решении указанных задач считают, что касательные напряжения отсутствуют по всему контуру прямоугольника, а на участках вне области контакта действует известная нормальная нагрузка. Функция напряжений берется в виде (4.1). Удовлетворяя условию отсутствия касательных напряжений на контуре прямоугольника, находим два уравнения попарной связи между коэффициентами В , С , Р , 0 в конечной форме. Оставшиеся граничные условия заданы на отрезках каждой стороны прямоугольника, а именно на части стороны заданы контактные условия, а на оставшейся - нормальные напряжения. Это усложняет решение контактной задачи в отличие от смешанных задач, разобранных ранее. Удовлетворяя указанным граничным условиям, авторы приходят к парным рядам-уравнениям. Далее, применяя к ним методы решения, предложенные в работах [44, 163, 319], сводят их к совокупности двух бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Далее в работах [45, 47, 48, 89] доказана их квазивполнерегулярность. В остальных работах пе устанавливается факт регулярности. [c.144]

Смешанный метод для бигармонического уравн ия. Сопоставляя три предыдущих пункта, можно увидеть, что при переходе от трехмерной задачи теории упругости к задаче о пластине интегрирование по толщине привело к более простой математической задаче с двумя независимыми переменными. За пониижние размерности мы расплачиваемся увеличением порядка уравнения, позтому в билинейной форме появляются вторые производные. В итоге практическая реализация метода конечных элементов, как мы увидим дальше, значительно усложняется из-за поиска решения в существенно более узком классе функций, что на-кладьшает ижсткие ограничения на использование различных конечных элементов. [c.35]

Как уже упоминалось выще, оценку качества равновесия удобно получать на основании качественных критериев, хорошо разработанных в трудах Р. Р. Матево-сяна [39], Я. Л. Нудельмана [46], А. Ф. Смирнова [72] и других исследователей. В настоящей работе будем основываться на понятиях о степени устойчивости и неустойчивости, причем совокупность последовательных коэффициентов устойчивости по предложению Р. Р. Мате-восяна будем называть рядом устойчивости [39]. Следуя [39], ряд устойчивости используется в неортогональной форме, т. е. для определения степени устойчивости и неустойчивости системы не будем решать характеристическое уравнение и вычислять собственные значения матриц, хотя для некоторых рассуждений будут использованы известные свойства собственных чисел. Мы будем рассматривать качественный анализ систем, описываемых уравнениями смешанного метода. При этом будем предполагать, что система уравнений смешанного метода записана таким образом, что сперва расположены все условия совместности деформаций, а затем все условия равновесия (см. рис. 54). [c.148]

Решение уравнений (43.10) в форме (43.12) обладает некоторыми преимуществами в случае, когда необходимо удовлетворить граничным условиям на плоских поверхностях. Тогда задача об удовлетворении граничных условий может быть сведена к смешанной задаче теории гармонического потенциала (задача Буссинеска — Черрути). [c.350]

При расчете оболочек, состоящих из изотропного слоя (например, металлического) и наружного слоя, образованного намоткой композиционного материала, необходимо учитывать смешанные коэффициенты жесткости, появляющиеся вследствие несимметричности материала по толщине. Число работ, в которых учитывается этот эффект, сравнительно невелико. Мукоедом [192] ползгчена комплексная форма основных уравнений, аналогичная предложенной Новожиловым [206 ] для однородных изотропных оболочек. Следует отметить работы Василенко [294], Григоренко и Василенко [105], в которых описано исследование неосесимметричного нагружения, Бревера [49], где расчетная модель [c.226]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...