Задача Коши и краевые задачи

Общее решение этого уравнения (если оно существует) содержит п произвольных постоянных, для выбора которых необходимо задать п дополнительных условий. По способу задания этих дополнительных условий все задачи делятся на два класса задачу Коши и краевую задачу. При постановке задачи Коши все п дополнительных условий задаются при одном значении аргумента. Без ограничения общности можно считать, что они имеют следующий вид при х -- х -. [c.96]

Задача Коши и краевая задача сильно отличаются друг от друга по своим свойствам и, следовательно, по методам решения. Важны следующие их особенности. [c.96]

ЗАДАЧА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ [c.104]

Основными задачами для уравнения теплопроводности. являются задача Коши и краевые задачи. [c.110]

Вопрос о разрешимости краевой задачи исследуется всякий раз отдельно (даже в линейном случае). Численные методы решения задачи Коши и краевой задачи (4.21)—(4.23) для линейного уравнения приведены в п. 5.1.12. [c.102]

ЗАДАЧА КОШИ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧА [c.72]

Теперь понятие плотности вероятностей не всегда имеет смысл, и приходится рассматривать уравнение в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи,. которое в этом случае играет роль стохастического уравнепия Лиувилля и называется уравнением Хопфа (см., например [29]). Усредняя последнее по ансамблю реализаций стохастических параметров, получаем замкнутое уравнение в вариационных производных. Полученное уравнение для характеристического функционала представляет собой бесконечномерный аналог уравнений, соответствующих обыкновенным дифференциальным уравнениям и квазилинейным уравнениям в частных производных. Если же исходное уравнение само является линейным, то несущественно, какие у него производные (первого или более высокого порядка по пространственным переменным) важно лишь выполнение условия причинности (т. е. уравнение должно быть первого порядка по времени и для него должна ставиться задача Коши). Если условие причинности нарушается, т. е. мы имеем не задачу Коши, а краевую задачу, то в этом случае надо воспользоваться теорией инвариантного погружения, сводящей краевые задачи к задачам Коши для вспомогательных уравнений. [c.164]

Каждое из решений zj(z) j = 1,..., 4), удовлетворяющее этим начальным условиям, есть столбец матрицы K(z), поэтому матрица K(z) при z = О является единичной. Частное решение неоднородного уравнения (4.21) получаем, решая это уравнение при нулевых начальных условиях. Компоненты вектора С(с1, С2, сз, С4) находим из краевых условий (условий закрепления концов стержня). Найти все j из краевых условий при Z = О нельзя. В этом основная особенность задач статики (и динамики) упругих систем. В теоретической механике (в разделе динамика) все начальные условия задают в начальный момент времени (задача Коши). Поэтому эти задачи часто называют одноточечными краевыми, а задачи статики и динамики упругих систем - двухточечными краевыми. [c.197]

Более совершенным, а главное, универсальным, является способ перехода от краевой задачи к задаче Коши. Иа этом методе стоит специально остановиться в связи с тем, что он перекликается с общей концепцией расчета на прочность, изложенной в главе III. Сущность этого метода сводится к следующему. [c.166]

Обобщённые задачи. Изложенные постановки краевых задач предполагают достаточную гладкость решения внутри области вплоть до границы. Такие постановки краевых задач наз. классическими. Однако во мн. физ. задачах приходится отказываться от требований гладкости. Внутри области решение может быть обобщённой функцией и удовлетворять ур-нию в смысле обобщённых ф-ций, краевые условия могут удовлетворяться в к.-л. обобщённом смысле. Такие краевые задачи наз. обобщёнными, а соответствующие решения — обобщёнными решениями, Напр., обобщённая задача Коши для волнового ур-ния ставится след, образом. Пусть и — классич. решение задачи Коши (2), (9). Ф-ции ни/ продолжим нулём на < п и обозначим их п и / соответственно. Тогда ф-ция и будет удовлетворять в смысле обобщённых ф-ций во всём пространстве волновому ур-нию [c.64]

Решение рассмотренных выше краевых задач может быть достигнуто различными способами. В частности, для линеаризованных уравнений (35.2) решения задач Коши и начальной характеристической могут быть представлены в замкнутом виде при помощи функции Римана Однако использование этих решений связано [c.154]

Уравнения равновесия, соотношения Коши и краевые условия идентичны соответствующим уравнениям классической теории упругости [20]. Если рассматривать как компоненты тензора напряжений, то немедленно получим постановку задачи деформационной теории пластичности [14]. [c.539]

В газовой динамике внешних и внутренних течений различают еще два класса задач прямую и обратную. Прямая задача состоит в определении поля течения при заданной форме обтекаемого тела (для внешних задач) или канала (ддя внутренних задач) и заданных граничных условиях. Прямая задача сводится в общем случае к краевой задаче, для которой, как правило, не доказаны теоремы существования н единственности. Обратная задача состоит в определении поля течения при условиях, заданных на некоторой поверхности, и условиях в начальном сечении. При этом форма обтекаемого тела (или канала) не задана и определяется в процессе решения. Обратная задача сводится к задаче Коши. В обратных задачах о течении за отошедшей ударной волной задается форма ударной волны и в процессе решения находится форма обтекаемого тела. В обратной задаче теории сопла задается распределение скорости, например, па оси сопла, а поверхность сопла определяется в процессе решения. [c.34]

Схема профилирования канала при описанных граничных условиях основана на решении обратной задачи, включающей характерные задачи газовой динамики задачи Коши в областях ABE и BF , задачу Гурса в области BEF и две смешанные краевые задачи в областях FK и K I- Вначале по заданному перепаду 5(г1з) вдоль ударной волны AB рассчитываются данные Коши за ней. При этом параметры в точке В определяются отдельно от остального участка волны по программе расчета конфигурации с взаимодействием ударной волны и веера сжатия. В работе проведено численное параметрическое исследование конфигурации, и в широком диапазоне М° (1,2 М° Ю) выявлены области ее существования с отраженным веером разрежения и ударной волной. Затем классическим методом характеристик решаются задачи Коши, задача Гурса и смешанная задача в области KF. Для рас- [c.182]

МГЭ состоит из решения задачи Коши в матричной форме и краевой задачи для линейной системы. Краевая задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно начальных и конечных параметров всех стержней. Для решения системы уравнений МГЭ целесообразно применять метод исключения Г аусса без выбора ведущих элементов или с ограниченным выбором ведущих элементов. [c.181]

В связи с простотой программы отметим главное различие между задачами расчета течений сжимаемой и несжимаемой жидкости. Уравнения течения несжимаемой жидкости в некотором смысле более сложны, так как здесь надо решать и задачу Коши для и краевую задачу для ф. Однако в них меньше искомых функций, а уравнения для и г 5 могут решаться последовательно. В случае сжимаемой жидкости в большинстве схем [c.473]

Одной из экстремальных характеристик в плоскости а, О является прямая а = -к 12. В работе [34] выяснено, что поверхность перехода через скорость звука, опирающаяся на некоторый контур и являющаяся одновременно характеристической поверхностью, обладает минимальной площадью среди всех поверхностей, опирающихся на тот же контур. В осесимметричном случае такими поверхностями могут быть либо плоскости перпендикулярные к оси симметрии, либо поверхности, образующие которых являются цепными линиями. Во втором случае угол 9 меняется на характеристике. Следовательно, упомянутая экстремаль в плоскости Хуу должна быть цепной линией. Однако, трудно ожидать, чтобы в окрестности всякой характеристической поверхности, на которой а = я /2, существовало решение задачи Коши или некоторой краевой задачи. Этот вопрос представляет собой предмет самостоятельного исследования. Здесь можно указать, что в осесимметричном изэнтропическом случае, когда газ является совершенным, такое решение не существует. [c.88]

Определение решения системы дифференциальных уравнений движения (52) при заданных начальных значениях координат и скоростей (55) представляет собой пример так называемой задачи Коши. Эта задача, как доказывается в теории дифференциальных уравнений, при весьма общих ограничениях, накладываемых на правые части дифференциальных уравнений, имеет решение и притом единственное. В теоретической механике могут ставиться задачи и другого тша —краевые задачи. Так, например, можно задать положения точки, соответствуюш,ие двум различным моментам времени t = to и t = t[ при этом система (53) также приведет к шести уравнениям с шестью неизвестными, но, в отличие от задачи Коши, такого рода краевая задача может и не иметь решения, а если будет иметь, то это решение может оказаться не единственным. [c.33]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Вычислительные методы решения краевой задачи существенно зависят от вида функции /, в частности от того, является ли уравнение (3.1) линейным или нет. Методы решения задачи Коши с одинаковым успехом решают как линейные, так и нелинейные уравнения. [c.97]

Решение задачи о распространении тепла от мгаовенного источника энергии о для случая плоской симметрии рассматривалось в работе [45]. В этой же работе было впервые отмечено существование температурных волн конечной скорости (см. также [46]). В работах [7, 49, 64, 81] для уравнений параболического типа были доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши и краевых задач, а также теоремы сравнения, которые с помощью автомодельных решений позволили получить достаточно общие условия конечной скорости распространения температурных волн. В работе [74] был построен пример так называемой остановившейся температурной волны, обладающей тем свойством, что тепло не проникает с течением времени в холодную среду, несмотря на неограниченный рост температуры, заданной на границе. В дальнейшем явление локализации тепла было подробно исследовано во многих работах (см., например, [40, 43, 47, 55, 69—71] и библиографию в [55, 70]). Было показано, что причиной локализации может быть так называемый граничный режим с обострением, при котором функция, заданная на границе, обращается в бесконечность в конечный момент времени. Причиной может быть также энерговыделение в режиме с обострением в среде с нелинейными объемными источниками. [c.47]

Метод прогонки. Этот метод применяется не к интегральному, а к дифференциальному уравнению переноса. Значительная трудность при его решении создается тем обстоятельством, что задаются не начальные, а граничные условия, так что надо решать не задачу Коши, а краевую задачу, что всегда сложнее. После дискретизации дифференциального уравнения по глубине, углам и частотам получающееся разностное уравнение решается сначала от верхней границы в сторону возрастающих глубин, а затем обратным ходом. Однако в первом случае не известна интенсивность излучения, идущего вверх, а во втором — вниз. Поэтому при прямом проходе находится решение не с определенным граничным значением интенсивности выходящего излучения, а рассчитываются обратные матрицы на случай как бы произвольных ее значений, причем заданных для всех значений углов. Затем решение выбирается так, чтобы удовлетворить условию на нижней границе [45]. После этого вычисляется интенсивность восходящего излучения. В теории переноса такая процедура, которая применяется для расчета как рассеяния в линии, так и при монохроматическом рассеянии, носит название метода Фотрие. [c.201]

Излагаются методы эффективного построения этих решений и много внимания уделяется обстоятельствам, при которых решения существуют и единственны. Эти вопросы в безмоментной теории решаются нетривиально. Общая линейная краевая задача моментной теории оболочек единообразна она заключается в интегрировании эллиптической системы уравнений с выполнением в каждой точке края (или краев, если область многосвязна) четырех граничных условий. Она всегда имеет единственное решение. Однако при переходе к описанной выше безмоментной краевой задаче картина становится весьма пестрой, так как тип уравнений, подлежащих интегрированию, может оказаться любым (эллиптическим, гиперболическим и параболическим). Различными по своему характеру оказываются и краевые задачи безмоментной теории это могут быть задачи типа Дирихле, задачи типа Коши, а также задачи, не предусмотренные существующей классификацией. К тому же может существовать несоответствие между типом краевой задачи безмоментной теории и типом уравнений, для которых ее надо решать. Например, задачу Дирихле иногда приходится решать для гиперболического уравнения, а задачу Коши — для эллиптического. Все это приводит к тому, что теоремы существования и единственности для краевых задач безмоментной теории формулируются далеко не единообразно и в них вопрос не всегда решается положительно. Однако такая ситуация не свидетельствует о принципиальной порочности самой идеи выделения в самостоятельное рассмотрение краевой задачи безмоментной теории. Каждая из описанных выше странностей краевых задач безмоментной теории свидетельствует об определенных особенностях искомого напряженно-деформированного состояния оболочки. Для широкого класса задач это будет показано в части IV. [c.174]

В отличие от использованных ранее точетаний методов конечных разностей, конечных элементов, локальных вариаций с итеративными процессами, в настоящей монографии построена методика, базирующаяся на линеаризации краевых задач, сведение их к ряду задач Коши и метод ортогональной прогопкн С. К. Годунова. Главным в ней, однако, является не тот или иной конкретный метод решения нелинейной краевой задачи, а исключение контактного давления из числа неизвестных функций введением его явной связи с поперечным обжатием податливого слоя между оболочкой и штампом или самой оболочки. В задачах о контакте оболочки с вниклеровым основанием такая связь возникает естественным образом, при изучении взаимодействия оболочки со штампом она вводится ранее, чтобы выразить прогиб через контактное давление. [c.3]

Систему трех обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (7.5) можно решить на ЭВМ с помощью численных методов. Для решения задачи реализуем стандартную подпрограмму DLBVP [184], которая сводит решение краевой задачи к решению задачи Коши, где модифицированным предиктор-корректор методом Хэмминга четвертого порядка решают дополнительные задачи Коши и определяют перемещения Uz, 0, Ч " завершающей задачи Коши. Интеграл вычисляется по интегральной формуле Эрмита четвертого порядка. Выбираем начальный шаг интегрирования Ды=0,01 м и задаемся допустимой погрешностью вычислений е=МО- [c.204]

И исследован вопрос о выборе универсальных Р х) и Q x), обеспечивающих рекур рентное вычисление д п ( ) при достаточно произвольном виде исходного нелинейного дифференциального уравнения. Там же было показано, что ряды (2) удобно использо вать для решения задач Коши, когда краевые условия отсутствуют. [c.217]

Решение приведенных краевых задач достигается различными способами. В случае, когда уравнения (6.12) линеаризованы, решения задач Коши и Римана можно представить в замкнутом виде посредством функции Римана [224]. Однако использование указанных решений связано с большим объемом вычислений. Решение краевых задач можно представить в аналитической форме с помощью аппарата так называемых метацилиндрических функций, рассмотренных Л. С. Агамирзяном [I]. Однако более простыми методами решения краевых задач являются приближенные методы построения полей скольжения, основанные на переходе к конечно-разностным соотношениям и использовании некоторых свойств линий скольжения [77, 155, 200, 212, 224]. Рассмотрим некоторые методы численного решения приведенных основных уравнений. [c.168]

Наиболее распространенными задачами для Т. у. служат задача Коши и смешанная краевая задача. В одномерной постановке для ур-ния (3) задача Jionm состоит в отыскании решения Т (х, i) при i >- О по заданному значению Т (х, 0) = / х). Это решение дается Пуассона интегралом [c.149]

Краевая задача ( )-( ) (без учета условия на берегу трещины) есть задача Коши, и система ( ) может быть ироинтегрирована численно нри любом значении параметра а (// = 1 + ат). Донолнительное условие нри в = тг позволяет из множества всех а найтп искомое собственное число. [c.412]

В случае достаточно малых значений параметров Р и у при соответствующих условиях гладкости и согласования на основе принципа сжимающих отображений можно доказать однозначную разрешимость в пространствах Гёльдера и пространствах Соболева начально-краевых и краевых задач для системы уравнений (1.3) в ограниченной области с условиями прилипания для вектора скорости и условиями Неймана для температуры и концентрации, а также задачи Коши (для последней также в пространствах Соболева с экспоненциальным весом). Доказательства вполне аналогичны [8]. [c.70]

В целях облегчения усвоения материала в книге изложены элементы тензорного исчисления, теория интеграла типа Коши, теорема Гарнака, краевая задача Римана и некоторые сведения об интегральном преобразовании Фурье. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...