Численное решение краевой задачи Коши

Численное решение краевой задачи Коши [c.168]

Всегда было известно, что для численного решения краевая задача представляет большие трудности, чем задача Коши. Но с широким внедрением электронно-цифровых машин граница между особенностями решений этих [c.161]

Численные методы решения краевых задач. Метод сведения к задаче Коши краевые задачи могут быть сведены к задаче Коши, следовательно, для нх решения применимы все приведенные выше схемы численного интегрирования. [c.125]

Математическое обеспечение метода ортогональной прогонки. Рассмотренный метод решения краевых задач и вычисления матриц жесткости для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка основан на последовательном решении задач Коши, т. е. связан с численным интегрированием системы п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [c.155]

В седьмой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. Разработан и апробирован алгоритм численного решения таких задач, основанный на идее инвариантного погружения, в котором проблема интегрирования первоначальной краевой задачи редуцируется к решению задачи Коши для жестких матричных дифференциальных уравнений. Приведенные тестовые примеры позволяют сделать вывод об эффективности метода. Показано, что сочетание метода Бубнова — Галеркина с обобщенной формой метода инвариантного погружения дает эффективный инструмент численного исследования устойчивости и свободных колебаний слоистых композитных оболочек вращения. Разработан метод численного определения матрицы Грина краевой задачи и на примере проблемы выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности показана его эффективность в задачах устойчивости оболочек вращения. Метод решения нелинейных краевых задач, объединяющий в себе итерационный процесс Ньютона с методом инвариантного погружения, рассмотрен в параграфах 7.4, 7.5. [c.14]

Для плоских волн (v = 1) за скачком реализуется однородное течение, и г7р = Vf, рр = pf. Для цилиндрических и сферических волн решение краевой задачи (6.9.9), (6.9.10) можно найти численно методом пристрелки, варьируя pf и решая задачу Коши в области Кр<К< Kf, причем величину pf нужно выбрать таким образом, чтобы удовлетворить известному граничному условию на поршне К = Кр, v—Kp), определяемому скоростью поршня Vp, чго одновременно позволит определить давление на поршне рр и реализуемые параметры скачка (6.9.11). [c.114]

Наиболее распространенным приемом численного решения линейной краевой задачи является метод комбинаций решений, позволяющий свести решение краевой задачи к последовательному решению задач Коши. Во многих случаях этот классический способ позволяет получать достаточно точные результаты. [c.64]

Отмеченные затруднения привели к поиску методов решения, сво бодных от указанных недостатков. Были разработаны различные варианты метода прогонки [1, 6]. Большинство их ориентировано на специальные типы уравнений. Применительно к задачам строительной механики метод прогонки впервые был предложен в работе В. Л. Бидермана [11]. Сущность метода прогонки заключается в том, что краевая задача сводится к решению таких задач Коши, для которых численный процесс интегрирования оказывается устойчивым. Недостатком такого под- хода является отсутствие общих приемов преобразования исходных уравнений, трудности формулировки контактных задач. [c.69]

Действительно, в этом случае мы можем построить такой итерационный процесс, когда на каждом шаге решается нелинейная краевая задача. Остановимся в этой связи на изложении наиболее распространенного подхода к численному решению нелинейной краевой задачи, позволяющему в некоторых случаях получать достаточно точные решения геометрически и физически нелинейных задач для оболочек вращения. Этот метод основан на последовательном уточнении начальных значений и позволяет свести решение краевой задачи к последовательному решению задач Коши [79]. [c.74]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Имеется большое количество разнообразных численных методов решения уравнений типа (9.2) [6, 13 и др.], из которых для реализации на ЭЦВМ наиболее удобен метод Рунге—Кутта. Отметим, что для распространенных ЭЦВМ обычно имеются стандартные программы решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым уравнение (9.2) приводится обычным приемом [90]. Однако предварительно рассматриваемую краевую задачу необходимо свести к задаче с начальными условиями (задаче Коши). Этот во- [c.66]

Вопрос о разрешимости краевой задачи исследуется всякий раз отдельно (даже в линейном случае). Численные методы решения задачи Коши и краевой задачи (4.21)—(4.23) для линейного уравнения приведены в п. 5.1.12. [c.102]

Анализ плоской деформации сводится к формулировке и решению ряда краевых задач (задача Коши, задача Римана, смешанная задача и др.). Для их решения разработаны эффективные аналитические, графические, численные, матрично-операторные и другие методы [10, 11, 13, 21, 26, 28, 46, 48]. [c.108]

Разрешающая система уравнений для конструкции, состоящей из Л/оболочек, составляется из Л/систем(II. 19). К граничным условиям на торцах конструкции присоединяется N — 1 условие сопряжения оболочек (11.23). Сформулированная нелинейная краевая задача может быть сведена к системе нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений и к задаче Коши для начального вектора. Однако в силу жесткости задачи Коши подобный алгоритм решения нелинейных задач неустойчив. Более эффективно применение итерационного процесса, на каждом шаге которого решается линейная краевая задача в сочетании с устойчивым численным методом прогонки [30, 90, 134, 1861. В практике решения [c.36]

Краевые задачи (П1.6) и (П1.7) решаются сведением их кряду задач Коши. Поэтому возникает вопрос о характере решений и влиянии его на точность численного интегрирования. [c.58]

Получающаяся краевая задача (дифференциальное уравнение (5.123) и граничное условие (5.127)) имеет единственное решение, которое легко построить в виде ряда (5.125) или же численно, используя стандартные методы решения задачи Коши (задача Коши ставится так при 0 = А0 Ф = 1, = О, где Д9 достаточно мало). Дифференциальное неравенство в (5.123) играет роль фазового ограничения. [c.267]

Из табл. 7.1.1 видно, что спектральные радиусы R , Rp, R матриц Е, F, G соизмеримы с длиной промежутка интегрирования, тогда как спектральные радиусы Лр, Лд матриц С, D на два порядка превышают ее. Из этих данных с/тедует, что краевая задача для классической системы дифференциальных уравнений (и близких к ней систем с матрицами коэффициентов F, G) может быть эффективно решена, например, методом С.К. Годунова [97] — проявления неустойчивости вычислительного процесса, наблюдаемые при пошаговом интегрировании возникающих в этом методе задач Коши, лишь умеренны и успешно подавляются дискретными ортогонализациями. Иначе обстоит дело при интегрировании дифференциальных уравнений (7.1.1), (7.1.2) — с появлением новых быстропеременных решений экспоненциального типа, проявления неустойчивости приобретают взрывной характер, приводя к стремительному росту погрешности вычислений и исключая всякую возможность успешного завершения процесса численного решения задач [c.197]

При численном решении задачи удобно ввести промежуточную параметризацию и считать данными величинами у i) и Г (1)- Тем самым краевая задача сводится к задаче Коши. Входящая в уравнение константа Сх находится из условия г/(0) = 0, а д и Го определяются в результате интегрирования от оси до плоскости. Алгоритм получается проще, чем в разд. 3.4, где пристреливались два условия на плоскости. [c.135]

Возникает проблема описания всего множества решений для автомодельных течений кармановского типа в зависимости от величины угловых скоростей дисков и скорости равномерного вдува или отсоса. В определенной степени ее удается решить сведением краевой задачи о течении между вращающимся пористым диском и плоскостью к задаче Коши с двухпараметрическим семейством решений [48]. Это делает проблему вполне обозримой и позволяет с помощью несложного алгоритма в принципе определить все семейство решений. Поскольку численные расчеты указывают на то, что существует множество изолированных решений, были предприняты многочисленные попытки строго доказать (или опровергнуть) существование таких решений. Для задачи с непроницаемыми дисками достаточно полное изложение соответствующих результатов можно найти в упоминавшихся ранее обзорах. [c.228]

Поле скоростей находим численным интегрированием уравнений (2.11), (2.12) из решения смешанной краевой задачи с граничными условиями (3.12), (3.13) или с условием непрерывности скоростей на 0 ОСВ при ф = 7г/2. На рис.3 6 показано поле скоростей в виде годографа в плоскости Ух- , УгА, соответствующее полю линий скольжения, показанного на рис.За. В отличие от годографа при плоской деформации в треугольных областях Коши под эллиптическим штампом и около свободной границы полупространства поля скоростей неоднородны, и в области центрированного веера линий скольжения скорости зависят от обеих полярных переменных с центром на ребре штампа. Сравнение соответствующих областей, образуемых узловыми точками на поле линий скольжения и на годографе скоростей, показывает, что скорость деформации 3 по направлению напряжения сгз отрицательна, и неравенство (2.15), контролирующее неотрицательность диссипации В, выполняется. [c.70]

Можно легко сформулировать основные краевые задачи Гурса, Коши и смешанную, указав численные методы решения. Однако в этом случае деформированное состояние достигается переходом через область упрочнения, поэтому следует иметь в виду, что конечное решение будет зависеть от истории нагружения. [c.295]

Схема профилирования канала при описанных граничных условиях основана на решении обратной задачи, включающей характерные задачи газовой динамики задачи Коши в областях ABE и BF , задачу Гурса в области BEF и две смешанные краевые задачи в областях FK и K I- Вначале по заданному перепаду 5(г1з) вдоль ударной волны AB рассчитываются данные Коши за ней. При этом параметры в точке В определяются отдельно от остального участка волны по программе расчета конфигурации с взаимодействием ударной волны и веера сжатия. В работе проведено численное параметрическое исследование конфигурации, и в широком диапазоне М° (1,2 М° Ю) выявлены области ее существования с отраженным веером разрежения и ударной волной. Затем классическим методом характеристик решаются задачи Коши, задача Гурса и смешанная задача в области KF. Для рас- [c.182]

Численное решение сформулированной краевой задачи осуществлялось методом пристрелки подбирались пробные значения Л и У2, для которых решение системы уравнений ( ) с граничными условиями ( )-( ) нри р = О (задача Коши) удовлетворяло бы оставшимся граничным условиям ( ) нри р = тт. [c.394]

В третьей главе изложены методы численного решения краевых задач и задач о собственных значениях. Показано, что обычный метод решения краевой задачи, основанный на сведении ее к последовательности задач Коши, не всегда приводит к желаемому результату. Рассмотрены метод ортогональной прогонкн С. К. Годунова [22], позволяющий построить численно устойчивый процесс решения краевой задачи, а также возможные приемы построения процессов последовательных приближений, позволяющих свести решение нелинейной задачи к последовательному решению линейных задач. [c.5]

Систему трех обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (7.5) можно решить на ЭВМ с помощью численных методов. Для решения задачи реализуем стандартную подпрограмму DLBVP [184], которая сводит решение краевой задачи к решению задачи Коши, где модифицированным предиктор-корректор методом Хэмминга четвертого порядка решают дополнительные задачи Коши и определяют перемещения Uz, 0, Ч " завершающей задачи Коши. Интеграл вычисляется по интегральной формуле Эрмита четвертого порядка. Выбираем начальный шаг интегрирования Ды=0,01 м и задаемся допустимой погрешностью вычислений е=МО- [c.204]

Решение приведенных краевых задач достигается различными способами. В случае, когда уравнения (6.12) линеаризованы, решения задач Коши и Римана можно представить в замкнутом виде посредством функции Римана [224]. Однако использование указанных решений связано с большим объемом вычислений. Решение краевых задач можно представить в аналитической форме с помощью аппарата так называемых метацилиндрических функций, рассмотренных Л. С. Агамирзяном [I]. Однако более простыми методами решения краевых задач являются приближенные методы построения полей скольжения, основанные на переходе к конечно-разностным соотношениям и использовании некоторых свойств линий скольжения [77, 155, 200, 212, 224]. Рассмотрим некоторые методы численного решения приведенных основных уравнений. [c.168]

Успешное решение представленных выше задач оказалось возможным благодаря следующим обстоятельствам. Во-первых, во всех случаях решалась обратная задача, которая сводится к задаче Коши, а не к краевой задаче, что значительно упрощает алгоритм численного решения. Во-вторых, примененная разностная схема позволяет проводить расчеты сложных течений с высокой точностью при весьма малых затратах машинного времени и практически без ограничений, связанных с устойчивостью. В-третьих, весьма существенным оказалось применение малоточечных (трехточечных) разностных схем с переменным шагом на слое для решения некорректных задач Коши. [c.188]

При расчете методом начальных параметров двухточечная краевая задача для элемента или конструкции из последовательно сопряженных элементов сводится к задаче Коши [2]. Начальные данные для нее определяются из системы алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с порядком исходной системы дифференциальных уравнений и не зависит от числа элементов в конструкции. Хотя при относительно большой длине оболочек здесь также накапливается погрешность, однако структура метода начальных параметров позволяет, во-первых, анализировать скорость ее накопления и, во-вторых, указать удобный способ снижения этой погрешности до требуемой величины. Анализ численной процедуры метода показьшает, что начальный вектор для задачи Коши всегда получается с машинной точностью. Решение задачи Коши проводится путем последовательного перемножения матриц перехода для элементов конструкции на начальный вектор с получением нового начального вектора. Накопление погрешности происходит на этом этапе расчета конструкции при большой ее длине. Для сохранения требуемой точности расчет конструкции проводится последовательными участками, частично налегающими друг на друга. Длина каждого участка должна не более чем вдвое превышать длину, при которой в мантиссе машинного числа сохраняется достаточное число верных значащих цифр. Расчеты, выполненные на ЭВМ с различной разрядностью чисел, показьшают, что эта длина более чем на порядок превышает интервал которым оценивается качественное различие между короткой и длинной оболочками. При расчете каждого последующего участка используются начальные данные, полученные в расчете предьщущего участка. [c.46]

Даже в стационарном случае нелинейная краевая задача (8) — (10) трудна как для аналитического исследования, так и для численного репгения. Для изучения всего множества возможных решений стационарную краевую задачу целесообразно свести к задаче Коши. Введем новые переменные, положив [c.230]

Рассмотрим схему решения сформулированной задачи классическим методом характеристик. Расчет осуществляется с помощью последовательного решения задачи Коши, Гурса и отмеченных новых двухграничных смешанных краевых задач профилирования. Численное профилирование начинается с решения задачи Коши с начальными данными на L, в процессе которого определяются область влияния I (см. рис. 1.3), а также характеристики 1 и Г. Затем последовательно решаются смешанная краевая задача с граничными условиями на части ВК характеристики 7° и Гг в области II и задача Гурса в областях III и IV. При задании в качестве границы Гг характеристики ВЫ вместо смешанной задачи в области [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...