Комплексные числа и функции комплексного переменного

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКС. ПЕРЕМЕННОГО [c.33]

Коэффициенты йа и а з в этих уравнениях характеризуют воздействие регулятора давления до себя на регулировочные органы турбины. Они, как и другие коэффициенты, могут быть как вещественными числами, так и функциями комплексной переменной S. В последнем случае они представляют собой передаточные функции. [c.179]

VII. Комплексные числа и векторы плоскости, функции комплексной переменной, конформное изображение [c.175]

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла аргумента и модуля производной функции комплексного переменного. Пусть W =- W (z) — функция аналитическая на области D комплексной плоскости г. Предположим, что w (z) Ф О на D и обозначим w (г) = Ле . Так как w (г) О на D, то в каждой точке Z D числа А, а однозначно определены (ноль не имеет аргумента). Пусть С — некоторая гладкая кривая на области D, имеющая уравнение z = z (t), а с / < р, где z (t) — дифференцируемая функция, dz/dt =/= О на (а, Р). Функция комплексного переменного W W (z) осуществляет отображение области D ее определения (лежащей в плоскости z) на область Д ее значений (лежащей в плоскости w). При этом отображении кривой г = z (t) будет соответствовать ш = а [г (01 = (О и так как суперпозиция непрерывных функций есть снова непрерывная функция, то непрерывная кривая С с= D, уравнение которой z = z (t) при отображении W W (z) перейдет в некоторую непрерывную кривую Г с= Д, [c.183]

Как известно, при помощи преобразований Лапласа функция вещественного переменного (в том числе времени) переводится в функцию комплексного переменного. Такое преобразование превращает дифференциальные уравнения в алгебраические, что позволяет легко учитывать начальные условия и избежать сложных выкладок, связанных с вычислением постоянных интегрирования. Это значительно облегчает исследование динамики сложных гидромеханических систем. [c.49]

Строгие решения двухмерных стационарных задач осуществляются при помощи аппарата функций комплексного переменного и конформных отображений для любой формы контура С, в том числе и прямоугольной, как для постоянных, так и для переменных значений параметра V (постоянная и переменная толщина изоляции). Для холодильников ограниченной протяженности с квадратным или прямоугольным основанием [4, 5] решение основывается на использовании данной постановки и класса специальных функций Лежандра и Ляме. [c.162]

Суть метода состоит в том, что напряжения и перемещения представляются в виде функций комплексного переменного. При таком представлении уравнения равновесия удовлетворяются тождественно, и остается удовлетворить лишь граничным условиям и дополнительным условиям совместности для двухсвязной области, какой является тело с внутренней трещиной. При этом граничные условия на внешней границе тела удовлетворяются приближению, т.е. в конечном числе Точек, причем приближенное решение стремится к точному с увеличением числа точек коллокаций при правильном их выборе. [c.66]

Если операторы 6 и 6 заменить комплексными числами а и а, то выражение (7.3.39) совпадет с дельта-функцией комплексной переменной S a — z) которая определяется как [c.146]

Функции комплексного переменного. Хотя все двухмерные потоки могут быть исследованы методами, изложенными в предыдущих главах, однако более действенным средством их представления является теория комплексных переменных. Функция потенциала и функция тока всякого плоского безвихревого потока могут рассматриваться как действительная и мнимая части функции комплексного переменного, и наоборот. Рассматривая различные функции, можно установить большое число двухмерных потенциальных (безвихревых) течений, представляемых этими функциями. Более того, оказывается теоретически возможным непосредственное определение потенциальной функции, удовлетворяющей заданным граничным условиям, ибо теория показывает, как преобразовать произвольную форму в круг и таким образом отобразить характер течения произвольной формы на круге, решение для которого дано в главе III. [c.136]

Так как П1>(у) представляет собой аналитическую функцию от у, то четыре независимых решения уравнения (4.3) будут аналитическими функциями от переменного у и целыми функциями от трёх входящих в уравнение параметров а, R и с. Параметр а представляет собой длину волны возмущения, а параметр R—число Рейнольдса оба параметра должны быть действительными. Параметр же с, связанный со скоростью распространения волны возмущения и со степенью изменения со временем высоты гребня волны возмущения, может быть и комплексным, т. е. [c.414]

Производная от функции комплексного переменного имеет простой геометрический смысл. Величину Лг, как и всякое комплексное число, можно представить в виде [c.212]

Частотную характеристику отдельного элемента или системы в целом можно получить непосредственно по передаточной функции, не прибегая к обратному преобразованию и не интегрируя каким-либо иным способом соответствующее дифференциальное уравнение. Если в выражении для передаточной функции вместо переменной 5 подставить /м, то получающееся в результате комплексное число позволяет выделить амплитуду и фазовый сдвиг, соответствующий синусоидальному входному сигналу с частотой, выраженной в радианах в единицу времени. Процедура получения амплитуды и сдвига фаз подробно рассматривается в [Л. 12] и во многих других учебниках цо следящим системам. Здесь не приводится доказательств, а показывается лишь, что этот метод позволяет получить правильные результаты для объекта первого порядка. [c.129]

Применение функций комплексного переменного дало за последнее время возможность получить решение как первой, так и второй основных задач для областей, ограниченных произвольным числом замкнутых контуров. Решена также основная смешанная задача и ряд других важ-,ных общих задач. Некоторые из упомянутых общих результатов будут изложены в главе V о других будут даны краткие указания. [c.138]

Многие важные задачи теории упругости, в том числе и задачи, рассмотренные в отделах II и III предыдущей главы, могут быть чрезвычайно просто решены путем приведения к одной граничной задаче теории функций комплексного переменного, которую я называю задачей линейного сопряжения граничных значений, или, короче, задачей сопряжения ). Формулировка этой задачи и ее решение для некоторых частных случаев (которые только и понадобятся нам в дальнейшем) будут даны в отделе I этой главы. [c.383]

Условие скольжения или текучести (15.60) содержит вторые степени переменных напряжений Ох, Оу, %ху, так что, если, разрешив его, взять квадратные корни со знаками , появляются две ветви решения. Каждая из них имеет свой механический смысл, включая свои соответствующие картины линий скольжения, которые нужно рассматривать на отдельных плоскостях х, у. Такое поведение решения напоминает поведение многозначных функций комплексного переменного, при рассмотрении которых координатная плоскость покрывается двумя или большим числом листов они представляют собой обособленные области существования функции и разветвляются вдоль определенных линий ветвления . Две огибающие линий скольжения в наших последних примерах характеризуются как две такие линии ветвления пластического поля, вдоль которых два тесно связанных плоских на- [c.576]

Смешанные и контактные задачи. Смешанные и контактные задачи относятся к числу наиболее трудных задач теории упругости при изучении их методом теории функций комплексного переменного получаются граничные задачи с разрывными коэффициентами и возникает необходимость изучения поведения решений в окрестностях точек разрыва. [c.66]

Метод определения динамики процессов с помощью частотных характеристик получил широкое распространение вследствие простоты получения последних, если известна передаточная функция системы. Если в передаточной функции комплексную переменную s заменить на гы, то модуль получившегося выражения определяет ослабление Л(ш), а аргумент комплексного числа в показательной форме — сдвиг фаз il)(и) выходного колебания по отношению к входному. [c.118]

Когда функция Р ( а ) представима в виде произведения независимых весовых функций по одной на каждую моду, а число возбужденных мод велико, легко показать, используя метод, подобный тому, который был применен в разделе 8 вышеприведенной статьи автора, что функция W Ш хи 2 2) принимает гауссову форму по двум переменным комплексным амплитудам и Ш2. Для доказательства мы просто покажем, что двойное преобразование Фурье функции W ( 1Хи 2Х2) по переменным амплитудам и ёг есть асимптотическая форма гауссова распределения для бесконечного числа возбужденных мод. Тогда обратное преобразование приведет к результату, который для случая стационарных полей можно записать в виде [c.149]

Примечание. Во всех рассуждениях и выводах этого параграфа все переменные могут принимать как вещественные, так и комплексные значения. Точно так же и коэффициенты рядов, как данных (левые части уравнений), так и искомых (неизвестные функции), могут быть какими угодно комплексными числами. [c.25]

Другим методом расчета разрывных течений является теория струй идеальной жидкости, в которой предполагается, что течения ограничены стенками, частично свободными поверхностями и поверхностями разрывов, положение которых необходимо задавать. С помощью этой теории, использующей возможности функции комплексного переменного, получен ряд интересных результатов, но в целом такой набор ограничений существенно сужает возможности расчета [20]. С помощью этого же математического инструмента решен и ряд других задач по обтеканию различных тел, однако набор решений находится в рамках плоских задач с большим числом ограничений [20, 30]. [c.18]

Рассматриваемый ниже метод относится к числу наиболее эффективных способов анализа плоских потоков. Вернемся к полученным выше (см. 6.15) соотношениям Коши-Римана. Они показывают, что комплексная комбинация этих двух функций (т.е. pv у/) от действительных переменных х и у, т.е. (р х,у) + / у/ х,у), является аналитической функцией комплексного переменного z = х + /у. Другими словами, эти условия показывают, что существует функция комплексной переменной H/(z) либо просто W, вещественная и мнимая [c.60]

Здесь/ = Лу) - комплексная функция действительного переменного, Х = Х + iX и к=к + 1 , - комплексные постоянные (Х кк - инкременты амплитуд возмущений по времени и по продольной координате. А,, - частота, k - волновое число), а - комплексная амплитуда волны, а 1. Условия затухания возмущений вверх по потоку при дг -оо выполняются при выборе > 0. В переменных (3.2) краевая задача (3.1) принимает вид [c.77]

Начнем с описания состояния. В классической механике состояние частицы в определенный момент времени полностью описывается заданием шести чисел — трех координат j , г/ и 2 и трех импульсов рх, Ру и Рг. Вместо этого в квантовой теории состояние частицы полностью описывается заданием комплексной функции (л , у, г) трех переменных во всем пространстве. Таким образом, в квантовой теории состояние частицы описывается не шестью числами, а трехмерным континуумом чисел. Отсюда видно, что квантовое описание несравненно богаче классического. Функция Р (д , у, г) = Ч (г) называется волновой функцией. [c.22]

Дополнительные разделы анализа. ... 52 2-3-1. Комплексные числа и функции комплексной переменной (52). 2-3-2. Операцион- [c.15]

Впоследствии схема Рябу-шинского была обобщена для других случаев рядом авторов. В частности, М. И. Гуревичем рассмотрена задача о кавитационном обтекании наклонной пластины (рис. 10.10, б). Д. А. Эфросом и независимо другими авторами предложена одна из наиболее удачных схем суперкаверны с возвратной струйкой (рис. 10.10, в). По этой схеме в концевой части каверны образуется возвратная струйка, которая при описании течения G помощью функций комплексного переменного, уходит на второй лист римановой поверхности. Поэтому условие постоянства размеров каверны не нарушается. Эта схема для плоской пластины дает результаты, близкие к результатам, полученным по схеме Рябушинского. Было предложено и несколько других схем. На рис. 10.10, г, д, е приведены схемы Тулина, Жуковского — Рошко, Лаврентьева. Каждая из них позволяет решить задачу обтекания и, в частности, найти коэффициент лобового сопротивления обтекаемого тела как функцию числа кавитации х. Для этого коэффициента по схемам нескольких авторов для пластины, нормальной к потоку, получена формула [c.402]

Степенным называется рядс +схг-Ь + С2г +. ..+ с г +-.-, где коэг[1/ ициенты q, fi, j,. . с ,. . . — постоянные комплексные числа, а г — независимое комплексное переменное. Для всякого степенного ряда существует круг с центром в нулевой точке (к-Руг сходимости) и с радиусом R радицс сходимости), внутри которого (т. е. при г / ) ряд расходится. В некоторых точках окружности круга сходимости (т. е. при г = R) ряд может сходиться, в других расходиться. Всякий степенной ряд равномерно сходится в круге j г если r R. Степенной ряд, для которого R > О, изображает непрерывную функцию внутри его круга сходимости. Степенной ряд можно, не меняя его круга сходимости, дифференцировать н интегрировать почленно сколько угодно раз. [c.195]

Однако теория возмущений не всегда применима. В таких случаях пользуются др. методами, в к-рых центр, роль играют рассмотрение М. р. в целом и изучение общих свойств её матричных элементов, прямо описывающих амплитуды процессов рассеяния и рождения. Гейзенберговы локальные операторы могут быть тогда выражены через расширенную за поверхность энергии М. р. и играют важную роль, поскольку через них накладывается центральное в 5-матричном подходе условие причинности Боголюбова. Это условие приводит к обращению в нуль матричных элементов М. р. в определ. пространственно-временных областях. С др. стороны, условие унитарности в комбинации с положительностью масс всех состояний полной системы (условием спектральности) приводит к обращению в нуль фурье-образов тех же матричных элементов в определ. импульсных областях. Из этих двух свойств можно вывести, что для каждого заданного числа и сорта частиц амплитуды всех возможных реакций суть граничные значения одной аналитической функции многих комплексных переменных, фактически зависящей лишь от их лоренц-инвариантных комбинаций. Из этих свойств голоморфности можно вывести ряд непосредственно связывающих опытные факты физ. следствий. Так, в простых случаях двухчастичного рассеяния, напр. для рассеяния пионов на нуклонах, выписываются дисперсионные соотношения, выражающие вещественную часть амплитуды рассеяния через интеграл от её мнимой части (см. Дисперсионных соотношений метод). На этом пути приходят и к др. важным модельно независимым результатам, не опирающимся на конкретную форму взаимодействия, таким, как перекрёстная симметрия, правила сумм, асимптотические теоремы, результаты относительно асимптотич. автоиодельно- [c.72]

Автор решился радикально отклониться от традиций и полностью основать изложение на применении векторного анализа и его естественной модификации для случая двух измерений — теории функций комплексного переменного. Применение этих методов в гидродинамике не является само по себе новостью, но, насколько известно автору, попыток такого исключительно широкого их применения в гидродинамике до сих пор не было. Предварительные математические знания, требуемые от читателя, не выходят за пределы обычного курса математич4 ского анализа. Необходимый дополнительный математический аппарат вводится в книге по мере надобности, и тем самым предпринята попытка сдглап. книгу в том отношении разумно независимой. Так как мы имеем дело с описанием реальной действительности (хотя и в идеализированной форме). то в кнн1е широко применяются рисунки, число которых превышает 360. [c.9]

Действительная и мнимая части аналитической функции комплексного переменного как решения диференциальног< уравнения Лапласа. Рассмотрим теперь явления плоского, или двухразмерного, движения жидкости. Хотя такие движения в строгой форме едва ли встречаются в действительности, тем не менее многие движения жидкости—по крайней мере определенные области движения — могут рассматриваться приближенно, именно как плоские. Главное преимущество такого представления о течениях заключается в упрощении математического исследования. Однако это упрощение обусловливается не уменьшением числа независимых переменных места (такое упрощение возможно и в отнощении трехразмерных движений, симметричных относительно оси вращения), а тем, что, поскольку плоское явление зависит только от двух прямоугольных координат х, > ), диференциальное уравнение v aIrлa a удовлетворяется как действительной, так и мнимой частью любой аналитической функции комплексного аргумента х- 1у. [c.139]

В ГОДЫ войны, а затем и в послевоенные годы дальнейшее развитие получили методы кинематического анализа механизмов. Если до сороковых годов в основе этих методов лежали графические и графоаналитические приемы, требовавшие для своего развития аппарата кинематической и проективной геометрии, а аналитические методы хдсследования применялись лишь в редких случаях и для весьма ограниченного числа задач, то с сороковых годов быстро растет роль аналитического аппарата. К решению задач кинематики механизмов, кроме теории функций комплексного переменного, стали применять векторное, тензорное и винтовое исчисление, методы теории матриц, а также иные разделы современной математики. Некоторые задачи, уже решенные при помощи старых методов, были решены вновь, в порядке поисков оптимальных решений. [c.370]

Рассмотрим функции комплексного переменного z = л + iy. Как из вестно, такая переменная может быть изображена двумерным вектором имеющим компоненты х к у вдоль соответствующих координатных осей Длина этого вектора — модуль комплексного числа — равна + г/ а угол с положительным направлением оси х отсчитывается против на правления вращения часовой стрелки и равняется ar tg у/х. [c.523]

Главное преимущество этой формы уравнений заключается в том, что мнимая единица не входит и не должна войти в решение, если разложения выполняются при помощи комплексных показательных функций. Важной особенностью переменных uns является то, что они суть сопряженные комплексные числа. Следовательно, необходимо получить решение только для однойиз них другая переменная может быть найдена переходом к сопряженной величине. [c.96]

Вопрос о расчете затуханий температурных колебаний воздуха в наружном ограждении полностью разрешен А. М. Шклове-ром. Используя для этого гиперболические функции комплексного переменного, он получил точное решение задачи о величине затухания температурных колебаний в ограждении и в отдельных его слоях, а также о сдвиге фаз колебаний в отдельных слоях. Проводя весь расчет в комплексных числах, получим величину затухания колебаний как модуль комплексного числа, а сдвиг фаз как его аргумент. Являясь безусловно точным, этот метод не получил широкого практического применения вследствие его сложности. Для практических расчетов А. М. Шкловером [34 предложена следующая формула, дающая величину затухания температурных колебаний наружного воздуха в толще любого многослойного ограждения [c.136]

Будем считать для определенности, что a>0,N >0 при f > О и < О при f < 0. Функция r (f) является трехзначной. Удобно выбрать такую регулярную ветвь степенной функции, чтобы т было вещественным при вещественных f. Для этого прнмем arg t/ (f ) G [О, 2тг). Тогда при f > О имеем 1/) > О и TJ > 0. При f < О = III получаем = 1 ехр(3тг 72) и т = = ITJ ехр(/тг). (Под степенью w комплексного числа vv= w ехр(/arg w) мы подразумеваем, если не оговорено противное, что vvl ехр(га arg w )). Следовательно, замену переменных (9.22) можно записать в виде [c.178]

Если z x + iy есть какое-либо комплексное число, то величина I ZI = /"ж + называется абсолютной величиной или модулем Z. Величина ] z 1 есть расстояние от начала координат до T04KiU соответствующей числу z в плоскости комплексного переменного это расстояние выражается квадратным корнем из суммы квадратов действительной и мнимой частей. Поэтому другое важное правило при пользовании комплексными величинами в физических задачах состоит в том, чю среднее значение квадрата величины, представленной комплексной функцией равно [c.24]

Пусть L обозначает совокупность конечного числа п простых не пересекающихся дуг и замкнутых линий плоскости комплексного переменного z. Затем положим, что на каждой дуге и линии, входящих в L, выбрано определенное положительное направление. Разомкнутые дуги обозначим через афь, выбирая обозначения так, чтобы положительное направление вело от ал к bh- Функцию F z) будем называть кусочно-голоморфной во всей плоскости, если она голоморфна в плоскости комплексного переменного z, разрезанной вдоль L, непрерывно продолжима на все точки L слева и справа, за исключением концов а, bh, и вблизи концов ал, Ьи имеет место неравенство [c.142]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...