КОМПЛЕКСНОЕ ПЕРЕМЕННОЕ Комплексные числа

Здесь Ыд — скорость потока жидкости, I — характеристическая длина псевдоожиженного слоя, а Рг — число Фруда. Для удобства использования комплексных переменных координата х выбрана в вертикальном направлении, у — перпендикулярно х, г — в радиальном направлении. Введем безразмерные переменные. [c.415]

Таким образом, производная комплексного потенциала по независимой переменной представляет собой комплексную переменную ы == — iu,,, действительная часть которой равна проекции Uj скорости, а мнимая — взятой с обратным знаком проекции Uy величину й назовем сопряженной скоростью. В комплексной плоскости Ujj, называемой плоскостью годографа скорости, число й является, очевидно, сопряженным с числом и = + iUy, которое будем далее называть комплексной скоростью (рис, 7.2, б). Величины пай можно представить в виде [c.213]

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла аргумента и модуля производной функции комплексного переменного. Пусть W =- W (z) — функция аналитическая на области D комплексной плоскости г. Предположим, что w (z) Ф О на D и обозначим w (г) = Ле . Так как w (г) О на D, то в каждой точке Z D числа А, а однозначно определены (ноль не имеет аргумента). Пусть С — некоторая гладкая кривая на области D, имеющая уравнение z = z (t), а с / < р, где z (t) — дифференцируемая функция, dz/dt =/= О на (а, Р). Функция комплексного переменного W W (z) осуществляет отображение области D ее определения (лежащей в плоскости z) на область Д ее значений (лежащей в плоскости w). При этом отображении кривой г = z (t) будет соответствовать ш = а [г (01 = (О и так как суперпозиция непрерывных функций есть снова непрерывная функция, то непрерывная кривая С с= D, уравнение которой z = z (t) при отображении W W (z) перейдет в некоторую непрерывную кривую Г с= Д, [c.183]

В диаграммной технике этой операции перемены направления св бодных концов, наряду с использованием законов сохранения зарядов, придается гораздо более глубокий математический смысл. Именно, оказывается, что амплитуды, соответствующие процессам, диаграммы которых получаются одна из другой при помощи такой операции, связаны друг с другом известным в теории функций комплексного переменного процессом аналитического продолжения. Такая связь носит название кроссинг-симметрии (перекрестная симметрия). В простейших случаях типа рис. 7.9, когда весь узел диаграммы сводится к одному числу — константе связи, кроссинг-симметрия сводится к тому, что эта константа оказывается [c.326]

В теории плоского установившегося движения грунтовых вод приходится иметь дело с такой задачей найти две функции Z ж F комплексного переменного t, регулярные в верхней полуплоскости и имеющие конечное число регулярных особых точек на вещественной оси плоскости t, причем на каждом из отрезков, разделяемых особыми точками, имеют место два уравнения вида [c.145]

Если z = x- -iy — комплексное переменное, а a — a- -ib — такое постоянное число, что I г —> а I — О, то говорят, что комплексное переменное z стремится к пределу а, и пишут lim г = = а или Z- a. [c.194]

Если Z = X iy — комплексное переменное, а а = а ib — такое постоянное число, что г —О, то говорят, что комплексное переменное г стремится к пределу а, и пишут lim 2 = [c.194]

Коэффициенты йа и а з в этих уравнениях характеризуют воздействие регулятора давления до себя на регулировочные органы турбины. Они, как и другие коэффициенты, могут быть как вещественными числами, так и функциями комплексной переменной S. В последнем случае они представляют собой передаточные функции. [c.179]

Как известно, при помощи преобразований Лапласа функция вещественного переменного (в том числе времени) переводится в функцию комплексного переменного. Такое преобразование превращает дифференциальные уравнения в алгебраические, что позволяет легко учитывать начальные условия и избежать сложных выкладок, связанных с вычислением постоянных интегрирования. Это значительно облегчает исследование динамики сложных гидромеханических систем. [c.49]

Пусть /(8), продолженная на плоскость комплексного переменного, есть целая функция экспоненциального типа, т. е. существуют такие положительные числа С и а, что для всех комплексных значений 8 [c.110]

Строгие решения двухмерных стационарных задач осуществляются при помощи аппарата функций комплексного переменного и конформных отображений для любой формы контура С, в том числе и прямоугольной, как для постоянных, так и для переменных значений параметра V (постоянная и переменная толщина изоляции). Для холодильников ограниченной протяженности с квадратным или прямоугольным основанием [4, 5] решение основывается на использовании данной постановки и класса специальных функций Лежандра и Ляме. [c.162]

Источник и сток. Рассмотрим течение, определяемое потенциалом следующего вида W z)=a nz, где а —действительное число. Представим комплексную переменную z в полярной системе координат [c.84]

Рассмотренный метод вычисления матриц жесткости имеет хорошую устойчивость к погрешностям округления и быструю сходимость по отношению к числу т точек ортогонализации при работе с действительными переменными [11, 12]. При работе с комплексными переменными такие исследования не проводили, поэтому приведем два методических примера вычисления матриц жесткости для различного числа точек ортогонализации. [c.157]

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [c.52]

Об интегралах типа Коши. Пусть L —простой, замкнутый либо разомкнутый, гладкий контур в конечной части плоскости комплексного переменного z = х + ty или совокупность конечного числа таких контуров, не имеющих общих точек, а / (/) — заданная на L (за исключением, быть может, конечного числа точек) абсолютно интегрируемая функция. Тогда интеграл [c.11]

Представляет собой аналитическую функцию во всей плоскости комплексного переменного, кроме точек самого контура L. Этот интеграл принято называть интегралом типа Коши, функцию /(т) —его плотностью, выражение 1/(т—z) —ядром. Если в окрестности точки отличной от узлов (в том числе концов), функция /(т) удовлетворяет условию Я, интеграл (1.19) имеет [c.9]

Здесь С есть контур в плоскости комплексного переменного w, который, как в гл. И1, мы проводим в основном по вещественной оси, сгибая снизу точки, соответствующие волновым числам набегающих волн (см. ниже). Формулы (25.02) можно написать на основании тех же соображений, что и в 19. [c.124]

Здесь 2 — комплексное переменное с действительной частью ж число г>, которое называют порядком, может быть также комплексным если же оно действительное целое число, то будем писать г/ = п. В дальнейшем ограничимся действительными значениями I/. В этом случае достаточно рассмотреть область z > 0. Если 1/ — ие целое число и мы не ограничиваемся областью 2 > [c.511]

Плоские задачи приводятся в ряде случаев к отысканию бигармони-ческой функции или функции различных комплексных аргументов. Значительно сложнее исследования осесимметричных, а в более общем случае пространственных задач. Здесь нельзя пользоваться аппаратом функций комплексной переменной. Большое число результатов, относящихся к задачам такого типа, содержится в книге. [c.4]

Пусть L обозначает совокупность конечного числа п простых не пересекающихся дуг и замкнутых линий плоскости комплексного переменного z. Затем положим, что на каждой дуге и линии, входящих в L, выбрано определенное положительное направление. Разомкнутые дуги обозначим через афь, выбирая обозначения так, чтобы положительное направление вело от ал к bh- Функцию F z) будем называть кусочно-голоморфной во всей плоскости, если она голоморфна в плоскости комплексного переменного z, разрезанной вдоль L, непрерывно продолжима на все точки L слева и справа, за исключением концов а, bh, и вблизи концов ал, Ьи имеет место неравенство [c.142]

Впоследствии схема Рябу-шинского была обобщена для других случаев рядом авторов. В частности, М. И. Гуревичем рассмотрена задача о кавитационном обтекании наклонной пластины (рис. 10.10, б). Д. А. Эфросом и независимо другими авторами предложена одна из наиболее удачных схем суперкаверны с возвратной струйкой (рис. 10.10, в). По этой схеме в концевой части каверны образуется возвратная струйка, которая при описании течения G помощью функций комплексного переменного, уходит на второй лист римановой поверхности. Поэтому условие постоянства размеров каверны не нарушается. Эта схема для плоской пластины дает результаты, близкие к результатам, полученным по схеме Рябушинского. Было предложено и несколько других схем. На рис. 10.10, г, д, е приведены схемы Тулина, Жуковского — Рошко, Лаврентьева. Каждая из них позволяет решить задачу обтекания и, в частности, найти коэффициент лобового сопротивления обтекаемого тела как функцию числа кавитации х. Для этого коэффициента по схемам нескольких авторов для пластины, нормальной к потоку, получена формула [c.402]

Будем рассматривать плоскость течения как плоскость комплексной переменной 2 = х + iy (рис. 110, й). Напомним попутно другие формы этой переменной тригонометрическую— г = г ( os 6 -Ь i sin 0), где г = -f i/ — модуль числа г 6 = ar tg /х—его аргумент, и показательную-228 [c.228]

Советские работы начали появляться в 30-х годах и связаны с интенсивными исследованиями Лехницкого [31—331, Савина [49], Михлина [40] и Шермана [54], которые применяли метод комплексных переменных Мусхелишвили к решению плоской задачи для анизотропного тела. Существует также большое число ранних советских работ, посвященных задаче кручения. [c.15]

Степенным называется рядс +схг-Ь + С2г +. ..+ с г +-.-, где коэг[1/ ициенты q, fi, j,. . с ,. . . — постоянные комплексные числа, а г — независимое комплексное переменное. Для всякого степенного ряда существует круг с центром в нулевой точке (к-Руг сходимости) и с радиусом R радицс сходимости), внутри которого (т. е. при г / ) ряд расходится. В некоторых точках окружности круга сходимости (т. е. при г = R) ряд может сходиться, в других расходиться. Всякий степенной ряд равномерно сходится в круге j г если r R. Степенной ряд, для которого R > О, изображает непрерывную функцию внутри его круга сходимости. Степенной ряд можно, не меняя его круга сходимости, дифференцировать н интегрировать почленно сколько угодно раз. [c.195]

Число входных переменных в системе, работающей в режиме советчика оператора, обычно находится в пределах от 10 до 100, но ВК может обрабатывать и большее количество переменных, если это экономически целесообразно. Число управляемых переменных, комплексных параметров, например технико-экономическпх показателей, для которых выполняются вычисления и выдаются новые задания сравнительно невелико, поскольку оператору самому приходится изменять эти задания. Режим советчика оператора обеспечивает возможности для отладки и коррекции математических моделей процессов. В качестве оператора при этом может выступать инженер-технолог, который обычно тонко чувствует процесс и может обнаружить неправильную рекомендацию, обусловленную несовершенством модели ВК может прогнозировать возникновение аварийных ситуаций, и оператор получает возможность уделять больше внимания оптимизации режима. [c.418]

Однако теория возмущений не всегда применима. В таких случаях пользуются др. методами, в к-рых центр, роль играют рассмотрение М. р. в целом и изучение общих свойств её матричных элементов, прямо описывающих амплитуды процессов рассеяния и рождения. Гейзенберговы локальные операторы могут быть тогда выражены через расширенную за поверхность энергии М. р. и играют важную роль, поскольку через них накладывается центральное в 5-матричном подходе условие причинности Боголюбова. Это условие приводит к обращению в нуль матричных элементов М. р. в определ. пространственно-временных областях. С др. стороны, условие унитарности в комбинации с положительностью масс всех состояний полной системы (условием спектральности) приводит к обращению в нуль фурье-образов тех же матричных элементов в определ. импульсных областях. Из этих двух свойств можно вывести, что для каждого заданного числа и сорта частиц амплитуды всех возможных реакций суть граничные значения одной аналитической функции многих комплексных переменных, фактически зависящей лишь от их лоренц-инвариантных комбинаций. Из этих свойств голоморфности можно вывести ряд непосредственно связывающих опытные факты физ. следствий. Так, в простых случаях двухчастичного рассеяния, напр. для рассеяния пионов на нуклонах, выписываются дисперсионные соотношения, выражающие вещественную часть амплитуды рассеяния через интеграл от её мнимой части (см. Дисперсионных соотношений метод). На этом пути приходят и к др. важным модельно независимым результатам, не опирающимся на конкретную форму взаимодействия, таким, как перекрёстная симметрия, правила сумм, асимптотические теоремы, результаты относительно асимптотич. автоиодельно- [c.72]

Применение общих принципов теории. С. в., как я др. типы взаимодействий элементарных частиц, должны описываться квантовой теорией поля (КТП). Осп. препятствием для построения квантовоиолевых моделей в течение мн. лет была большая величина эфф. константы связи адронов, не позволявшая использовать л1вто-ды возмущений теории, по существу — единственного хорошо разработанного аналитич. подхода в КТП. Поэтому большое развитие в теории С. в. получили методы, к-рые используют общие принципы теории для определения свойств матрицы рассеяния. К числу таких общих принципов относятся унитарность, релятивистская инвариантность, перекрёстная симметрия (кроссинг-симметрия), причинность (см. Причинности принцип). В этом подходе осн. роль играет изучение аналитич. свойств матричных элементов, рассматриваемых как ф-цви комплексных переменных, к-рыми служат кинематич. инвариааты, такие, как квадрат энергии и квадрат передаваемого импульса. [c.499]

Для комплексных переменных <значение раз-новидности> может быть равно 4 или 8 (по умолчанию 4). Для хранения комплексной переменной отводится удвоенное число байт (для действительной и мнимой частей), т.е. соответственно 8 или 16 (по умолчанию 8). Таким образом, тип комплексных переменных можно указывать одним из следующих способов [c.171]

В задачах устойчивости линейных систем с конечным числом степеней свободы характеристический полином непосредственно впервые появляется в форме с1е1(0 — А.Е). Представляют интерес критерии, не требующие вычисления коэффициентов характеристического полинома. Идея критерия Зубова [22] состоит в отображении рассматриваемой области Дх комплексного переменного Л, на внутренность единичного круга р <1 комплексного переменного р. При этом исходная матрица О отображается в некоторую матрицу Г, собственные значении которой равны Ру. Для того чтобы все ру удовлетворяли условию ру <1, необходимо и достаточно, чтобы Г — 0 при Таким образом, реализация [c.466]

Большое число работ посвящено решениям методом последовательных приближений с использованием комплексного переменного (метод Н. И. Мусхлишвили). Упомянем следующие [c.928]

Соотношения (8.64), (8.93), (8.95) для корреляционных функций одномерного и трехмерного волнового поля позволяют довести до конца аналитические вычисления при простых выражениях спектральной плотности пространственных неоднородностей Sv (k). В частности, интегралы по волновому числу, содержащиеся в характеристических уравнениях и выражениях для Ки, при дробнорациональной форме S можно определить методом контурного интегрирования на плоскости комплексного переменного Z (Re Z = k). Однако при произвольном виде спектральной плотности неоднородностей необходима численная методика решения задачи. [c.248]

Обозначим через L контур, образованный совокупностью конечного числа непересекающихся разомкнутых гладких контуров (А = 1, 2,.... .., р) плоскости комплексного переменного z. Будем считать, что на каждой дуге или контуре, входящих в L, выбрано определенное положительное направление. Разомкнутые дуги будем обозначать через (f = 1, 2,...), выбирая обозначения так, чтобы положительное направление вело от flf к bf . Функцию F z) назьшают кусочно-аналитической, если она удовлетворяет следующим условиям [c.235]

В данной главе описаны различные методы расчетов распределения напряжений вокруг острых концентраторов напряжений или трещин. Все аналитические решения включают использование в той или иной форме комплексных переменных. Функции напряжений Вестергаарда обычно позволяют получить основные параметры полей напряжений у вершины трещины, но в более сложных случаях, относящихся к реальным образцам, необходимо использовать функцию напряжений в виде полинома или конформные отображения. Для моделирования трещин могут быть использованы и ряды дислокаций. Метод конечных элементов применяется все шире, вытесняя постепенно метод уравнений в конечных разностях, тем самым широко привлекая вычислительную технику для решения большого числа совместных линейных уравнений, представленных матрицей жесткости. Для моделирования упруго-пластической деформации по типу I при плоском [c.88]

Дополнительные разделы анализа. ... 52 2-3-1. Комплексные числа и функции комплексной переменной (52). 2-3-2. Операцион- [c.15]

Здесь 2 , — комплексные переменные (черта над величиной означает комплексное сопряжение) rriij — целые числа [c.139]

К числу первых зарубежных работ, посвященных физически и геометрически нелинейным плоским задачам теории упругости, следует отнести исследования И, Е. Адкинса, А. Е. Грина, Г. Г. Николаса [192 , И. Е. Адкинса, А. Е. Грина, Р. Т. Шильда (193 . В этих работах при самых общих предооложениях относительно геометрической и фи зческой нелинейности получена разрешающая система уравнений в комплексных переменных для плоской задачи теории упругости. Решение реализуется последовательными приближениями. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...