Сжатие двух упругих тел

Рассмотрим задачу о сжатии двух упругих тел, когда площадка контакта мала по сравнению с их размерами и приближенно можно перейти к задаче о сжатии двух полупространств (2 > о, 2 < 0). Пусть уравнения вступающих в контакт поверхностей [c.608]

Сжатие двух упругих тел [c.176]

Сближение контактирующих тел. Рассмотрим общий случай сжатия двух упругих тел (рис. 2.44) с упругими постоянными для первого тела и VI, а для второго — Начало координат [c.176]

При взаимном сжатии двух упругих тел в зоне контакта происходят сложные физические, механические и химические явления. [c.119]

Определение закона распределения нормальных давлений двух сжимаемых упругих тел и размеров области, на которую распространяются эти давления, рассматривается в теории упругости. Известно решение этой задачи И. Я- Штаерманом [1361 для случая сжатия двух упругих тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями, радиусы которых почти равны. [c.516]

Впервые задача о сжатии двух упругих тел, из которых одно имеет форму цилиндра, а другое имеет круговой цилиндрический вырез, была [c.17]

Задача нахождения закона распределения давления по общей поверхности касания двух упругих тел решена Г. Герцем. При сжатии шара [c.487]

Задача нахождения закона распределения давления по общей поверхности касания двух упругих тел была решена Г. Герцем. По Герцу следует, что при сжатии шара диаметром с1 и плоскости при одинаковых материалах давление распределится в круге, ограниченном радиусом а, причем [c.499]

Общий случай давления между двумя соприкасающимися телами ). В общем случае сжатия при касании упругих тел можно вести рассуждения тем же путем, как при рассмотренном в предыдущем параграфе сжатии двух сферических тел. [c.378]

Предположим, наконец, что тела системы — абсолютно упругие. При столкновении двух -упругих тел их взаимодействие состоит из двух частей сжатия, как при столкновении неупругих тел, и восстановления, которое можно сопоставить со взрывом. В этом случае обе силы взаимодействия равны и противоположны друг другу, так что потеря живой силы при сжатии целиком компенсируется ее возрастанием при восстановлении. [c.322]

Расчетные методы износостойкости строятся на физических трактовках процесса изнашивания. Остановимся только на некоторых методах, подтвержденных экспериментальными данными. И. В. Крагельский [43] исходит из того, что взаимодействие поверхностей имеет двойственную молекулярно-механическую природу. Молекулярное взаимодействие обусловлено взаимным притяжением двух твердых тел, их адгезией, а механическое — взаимным внедрением элементов сжатых поверхностей. В зависимости от величины адгезии и относительной глубины внедрения будут иметь место упругое оттеснение материала пластическое оттеснение срез внедрившегося материала схватывание пленок, покрывающих поверхности твердых тел, и их разрушение схватывание поверхностей, сопровождающееся глубинным выравниванием материала. [c.88]

На рис. 21.5 дано изображение двух цилиндрических тел с параллельными осями и радиусами кривизны R и i 2- Тела сжимаются силами F, направленными навстречу друг другу. Пусть силы F равномерно распределены по длине I, общей для обоих цилиндров. В этой ситуации контакт осуществляется по прямоугольной в плане площадке длины I и постоянной ширины 2Ь, рис. 21.5. Считают, как и в предыдущем случае, что опасный объем материала располагается на некоторой глубине под поверхностью контакта. При этом напряженное состояние также является трехосным сжатием, но в отличие от упомянутого случая имеем здесь а ф ф Тем не менее условия перехода как 3 состояние предельной упругости, так и в состояние усталостного повреждения определяют по критерию максимальных [c.387]

Но при этих условиях также и площадка смятия, получающаяся при сжатии двух тел, принимает круглую форму, и к ней можно будет применить без всякого изменения все формулы, выведенные прежде для шара и плитки. Это следует из того, что согласно нашим предположениям радиус г в сравнении с радиусом а площадки смятия следует считать очень большим, и потому упругое сжатие Sj или должно получиться таким же большим, как если бы цилиндрическая или какая-либо другая криволинейная поверхность тела была заменена плоскостью ). [c.232]

Многочисленные исследования были посвящены в XIX в. вопросу колебаний упругих тел, в том числе струн, стержней, пластинок и оболочек. Интегралы уравнений колебания упругого пространства для любых начальных условий были даны в конце 20-х годов Д. Пуассоном и М. В. Остроградским. Тогда же Пуассон обнаружил существование двух волн, распространяющихся но изотропному упругому телу с различными скоростями, относящимися как У"Ъ 1. Стокс показал впоследствии что более быстрая волна является продольной волной объемного сжатия материала, а более медленная— поперечной волной вихря смещений, не вызывающей изменения плотности. В упомянутом выше мемуаре Пуассона (1829) рассмотрена и первая конкретная пространственная задача о колебаниях шара. Следует отметить исследо [c.58]

Основной отличительной чертой колебаний грунтов и пород является то, что в них, как во всяком упругом теле, могут распространяться волны двух типов волны сжатия (продольные) и волны сдвига (поперечные). [c.195]

Важным этапом на пути решения этой проблемы является теория Герца [3 контактного взаимодействия упругих тел с плавно изменяющейся кривизной поверхностей в месте контакта при нормальном сжатии. Трение в зоне контакта предполагается пренебрежимо малым. При наличии тангенциальных сил и учете трения в зоне контакта существенно меняется картина контактного взаимодействия упругих тел. Хотя для тел с одинаковыми упругими свойствами распределение нормальных контактных напряжений строго следует теории Герца, а для тел из разнородных материалов по-видимому мало отличается от эпюры Герца, наличие касательных напряжений приводит к разделению области контакта на зону сцепления и зону проскальзывания. Это явление впервые установил О. Рейнольдс [4], обнаружив экспериментально зоны проскальзывания у точек входа и выхода материала из области контакта при несвободном перекатывании цилиндра из алюминия по резиновому основанию. Теоретическое обоснование открытого О. Рейнольдсом явления частичного проскальзывания в области контакта содержится в статьях Ф. Картера [5] и Г. Фромма [6]. Причем в работе Г. Фромма дано завершенное решение задачи о несвободном равномерном вращении двух идентичных дисков. По всей видимости, им впервые введена в рассмотрение так называемая защемленная деформация и постулируется утверждение, что в точке входа материалов дисков в область контакта проскальзывание отсутствует. Ниже конспективно изложены результаты работы Г. Фромма. [c.619]

Рассмотрим однородное всестороннее растяжение или сжатие упругого тела или жидкости. Объем V определяется средним напряжением а и абсолютной температурой 0. Любые две из этих трех переменных состояния можно принять за независимые, третья будет от них зависеть. Здесь важно заметить, что от двух упомянутых переменных, например от среднего напряжения о и температуры 0, должна зависеть, вообще говоря, не [c.23]

Успехи динамики упругих тел в Советском Союзе были в известной мере подготовлены достижениями ученых дореволюционной России. Первые работы по общим методам интегрирования уравнений динамической теории упругости были выполнены еще в 1831 г. М. В. Остроградским, построившим (одновременно с С. Пуассоном) решения уравнений движения при произвольных начальных данных. Суммируя решения простого гармонического типа, М. В. Остроградский получил решение, соот-ветствующее распространению в неограниченной упругой среде волн двух типов волн расширения и волн искажения. При распространении волн первого типа в среде возникают сжатия, растяжения и сдвиги, но отсутствуют вращения волны второго типа вызывают сдвиги и вращения, не создавая объемного расширения. [c.292]

Случай нагрузки, распределенной на границе полупространства, послужил Герцу исходным пунктом для решения задачи о сжатии двух тел, ограниченных кривыми поверхностями. В теории Герца формула (9.96) является основной. Эта же формула лежит в основе многих работ, касающихся теории расчета грунтов как упругих оснований для различного рода зданий и сооружений. [c.276]

Все эти процессы упругопластического деформирования, молекулярного взаимодействия, тепловые, окислительные и вызываемые ими изменения физико-механических и химических свойств металлов в поверхностно-активном слое в конечном счете и определяют изнашивание трущихся поверхностей реальных деталей машин. Анализируя эти процессы, И. В. Крагельский обращает внимание на двойственную молекулярно-механическую их природу молекулярное взаимодействие обусловлено взаимным притяжением двух твердых тел, их адгезией механическое — взаи.м-ным внедрением элементов сжатых поверхностей. Он выделяет пять основных видов нарушения фрикционных связей, обусловливающих характер изнашивания (рис. 25). Упругое оттеснение материала / характеризуется отсутствием остаточных деформаций. Разрушение в зонах фактического касания и отделение частиц износа происходит лишь после многократного повторения нагружения. Пластическое оттеснение материала // характеризуется появлением остаточной (пластической) деформации. Число циклов нагружения, приводящее к разрушению основы, сравнительно мало (малоцикловая усталость). С увеличением нагрузки [c.75]

Они выражают отношение относительного удлинения в продольном направлении к относительному сжатию в поперечном направлении (точнее, в двух перпендикулярных направлениях, которые для большинства упругих тел постоянны). Измерения показывают, что для материалов, применяемых в технике, коэффициенты Пуассона лежат в интервале 0,25 (стекло) — 0,45 (свинец) для геологических пород, смежно залегающих в земной коре в естественных условиях, они изменяются еще медленнее, отличаясь друг от друга лишь сотыми долями. По этой причине коэффициент Пуассона долго считался постоянным числом для всех упругих тел (Коши). Если примем эту гипотезу Коши, можем считать [c.98]

Упругие деформации сжатия двумерных контактирующих тел нельзя вычислить только через контактные напряжения, определяемые теорией Герца. Необходимо учитывать также форму и размеры самих тел, а также способы их закрепления. В больщинстве практических ситуаций такие вычисления трудно -осуществить, что привело к множеству приближенных формул для расчета упругих деформаций сжатия тел при контакте в условиях плоской задачи, как, например, в случае зубьев шестерен или подшипников качения [164, 309]. Между тем сжатие длинного кругового цилиндра, контактирующего с двумя другими поверхностями несогласованной с ним формы вдоль двух диаметрально противоположных образующих, может быть проанализировано достаточно удовлетворительно. [c.150]

Ниже рассматривается задача, которая с качественной точки зрения подобна исследованной в предыдущем параграфе и заключается в кручении двух сжатых постоянной нормальной силой упругих тел вокруг оси, совпадающей с их общей нормалью, под действием переменного скручивающего момента. Нетрудно представить возникающую при этом физическую картину контактного взаимодействия. Нормальное сжатие приводит к формированию области контакта и распределения нормальных давлений, определяемых теорией Герца. Действие скручивающего момента обусловливает поворот на малый угол [3 вокруг оси 2 одного тела относительно другого. Усилия трения, действующие по поверхности контакта, препятствуют скольжению. Каждое тело с точки зрения вычисления его упругих деформаций рассматривается как упругое полупространство. Под действием пары скручивающих моментов Мг в каждом теле реализуется напряженное состояние, соответствующее чистому кручению, когда все нормальные компоненты напряжений равны нулю (см. 3.9). В случае контакта шаров напряженно-деформированное состояние является осесимметричным т е и Тге — ненулевые компоненты напряжений, а ив — единственная отличная от нуля компонента перемещения. [c.265]

Прежде всего остановимся на контактной задаче Г. Герца [23, 28] определения статического сжатия двух упругих изотропных тел в предположении, что их поверхности идеально гладкие и заданы уравнениями 2г = /г ху) 1 = 1, 2) в системе координат Охугг (рис. 44). [c.130]

Задача о контакте двух упругих тел, прижимаемых друг к Другу силами, перпендикулярными к площадке контакта, рассматривается в работе Каттаньо [120]. После сжатия этих тел к ним прикладывается две пары постоянно возрастающих сил. Изучается вопрос о распределении касательных напряжений на площадке контакта при учете сил трения. [c.323]

Жидкости и газы ведут себя как упругие тела только в отношении изменения объема. Из двух элементарных деформаций — сжатия (растял<ения) и сдвига — только первая связана с изменением объема. Поэтому только в отношении деформаций сжатия и растяжения жидкости и газы ведут себя как упругие тела. Однако и в отношении этой деформации есть существенное различие в поведении жидкостей и газов, с одной стороны, и твердых тел — с другой. [c.497]

Более точные границы можно получить при помощи теоремы Хилла об упрочнении [85]. Она утверждает, что для любого неоднородного упругого тела, ограниченного фиксированной поверхностью, энергия деформаций возрастает, если материал ка-ким-либо способом упрочняется . При этом Хилл предполагал, что после упрочнения при тех же локальных деформациях плотность энергии в каждом измененном элементе материала будет выше, чем до упрочнения. Применяя эту теорему, Хилл показал, что уточненные верхняя и нижняя границы для модуля объемного сжатия даются формулой (18), в которой величину л надо приравнять сначала наибольшему, а затем наименьшему из модулей сдвига двух фаз. То, что эти границы оказались лучше, было проверено сравнением результатов с моделью концентрических сферических слоев. [c.82]

Волновая теория удара начала развиваться благодаря работам Бусинеску и Сен-Венана. Ими впервые была рассмотрена теоретическая задача о поперечном ударе двух твердых тел в предположении, что, полный период удара определяется временем, необходимым для прохождения через тело и обратного возвращения волны упругого сжатия. В предположении, что после удара груз движется вместе с балкой, с помощью метода Фурье было найдено решение в форме разложения динамического прогиба балки в ряд по фундаментальным функциям. Допущение, принятое в работе о совместном движении груза и балки после удара, не соответствует истине, так как скорость балки с момента соударения и до получения балкой наибольшего прогиба монотонно убывает до нуля, а скорость груза после удара монотонно возрастает. Кроме того, теория Сен-Венана и Бусинеску не учитывает местных пластических эффектов. [c.8]

Решение нек-рых контактных задач для упругих тел впервые дано Г. Герцем (G. Hertz). В основу его теории К. н. положены след, предположения материал со прикасающихся тел в зоне контакта однородеи и следует закону Гука линейные размеры площадки контакта малы по сравнению с радиусом кривизны и линейными размерами соприкасающихся иоверхностей в окрест-иости точек контакта силы трения между соприкасающимися телами пренебрежимо малы. При этом найдено, что при сжатии двух тел, ограниченных плавными поверхностями, площадка контакта имеет форму эллипса (в частности, круга или полоски), а пнтенспвпость распределения К. н. но этой площадке следует эллипсоидальному закону. [c.445]

Созданная Герцем теория твердости дала плоды в двух направлениях, которые нужно отличать одно от другого, но которые оба весьма содействовали прогрессу науки. С одной стороны, эта теория дала обоснование для установления метода, пригодного Д1Я измерения твердости, как опргделенного свойства тела, а с другой стороны, ее результаты вышли далеко за пределы первоначально поставленной цели и лали детальные сведения о напряженном состоянии, получающемся при сжатии двух тел с криволинейной поверхностью. При этом не следует упускать из виду, что эти результаты, как и все следствия, для которых можно получить точные вьшоаы из теории упругости, остаются правильными лишь до тгх пор, пока напряжения не превосходят предела упругости ), в то время как при обычном определении твердости всегда получаются остаточные деформации, по которым собственно и судят о степени твердости. По этой-то причине и следует различать два направления в приложениях теории Герца, хотя они и тесно связаны друг с другом. [c.219]

Но S и S не могут быть независимыми друг от друга они связаны условием, что точки поверхностей обоих тел, совпадавшие до деформации, должны совпадать и после деформации. Чтобы выразить это условие аналитически, воспользуемся чертежом на фиг. 112. На нем начерчены сперва шар и поверхность плитки до деформации, когда они касались в одной точке. Затем в весьма утрированном виде показана деформация обеих поверхностей вблизи поверхности смятия, причем оба тела начерчены в первоначальном положении. Для того, чтобы поверхности давлений вошли в соприкосноЕе-ние, нужно оба тела сблизить на расстояние А. Этот отрезок А можно назвать сближением , он указывает, насколько тела в целом сближаются ) вследствие деформации. Нахождение этой неличины и представляет главную задачу теории упругого сжатия двух тел. Пусть до деформации вертикальное расстояние между соответственными точками шара и плитки, [c.227]

Задача С . Пусть круговой цилиндр г R, 2 /г из нелинейноупругого изотропного несжимаемого материала равномерно сжат или растянут силами, приложенными к боковой поверхности г — R. Торцы цилиндра свободны от нагрузки. На описанную однородную конечную деформацию накладывается малая деформация, обусловленная внедрением в торцы цилиндра при г а двух симметрично расположенных круговых штампов. Трение между штампами и упругим телом отсутствует, а на боковой поверхности цилиндра г = R заданы условия отсутствия касательных напряжений и нормальных перемешений (см. рис. 2.6 на стр. 79). В силу предположений о малости добавочной деформации контактная задача рассматривается в линеаризованной постановке. [c.23]

О ТОМ, что главные напряжения в каждой точке улругого тела пропорциональны соответственным главным удлинениям. Но наряду с упругим телом Коши рассматривал и неупругое тело и жидкость. В своей основной работе ), сообщение по которой было сделано ещё в 1822 г., в 3 Коши рассматривает движение внутри неупругой среды и вместо проекций смещений вводит проекции вектора скорости смещения и свою основную гипотезу формулирует так главные напряжения в каждой точке пропорциональны мгновенным главным удлинениям или сжатиям. На основании этой гипотезы Коши получает дифференциальные уравнения, отличающиеся от современных уравнений движения вязкой жидкости только отсутствием слагаемого с давлением. Затем он видоизменяет свою гипотезу, полагая напряжение состоящим из двух слагаемых, из которых первое считается пропорциональным мгновенным сжатиям или расширениям, а второе считается зависящим только от положения точки. Далее, второе слагаемое принимается пропорциональным скорости объёмного расширения. Вследствие этого получаются дифференциальные уравнения, сходные с уравненрмми движения вязкой сжимаемой жидкости. Таким образом, Кощи, создавая основные понятия теории упругости, вместе с этим установил и некоторые основные понятия теории движения вязкой жидкости. [c.19]

Мы изложили здесь в самых общих чертах вывод основных уравнений математической теории изотропного упругого тела, подвергнутого бесконечно малой деформации. Необходимо, по крайней мере вкратце, отметить, что некоторые материалы, хрупкие или обладающие пористой структурой с мягкими и слабыми включениями (чугун, бетон), но следуют линейным зависимостям между напряжениями и деформациями, выраженным уравнениями (25.2), (25.3) или (25.14). Кривая простого растяжения или сжатия для таких материалов в пределах малых деформаций состоит из двух сегментов—одного Qx f ( х) для стадии нагрузки и другого, с более крутым уклоном d x d x> для разгрузки. Эти материалы обнаруживают обычно весьма заметный упругий гистерезис с характерными для него петлями в кривых деформирования иод иеременными циклами нагрузки и разгрузки (гл. 1П). Делались разнообразные попытки использовать аппарат математической теории упругости также и для этих материалов, соответствеппо его обобщив. Поскольку такие материалы обнаруживают отчетливые изменения объема, то в определенных случаях представляется достаточным принять для них линейную зависимость между малым упругим изменением объема [c.445]

Метод, оспованный на применении теории малых упруго-пла-стических деформаций (теории деформаций) с учетом эффекта разгрузки, Применение теории деформаций равнозначно расс.мотрению пластинки в пластической стадии как нелинейно-упругого тела. Теория деформаций без учета эф Ьекта разгрузки в случае сжатого стержня сводится к теории двух модулей , [c.113]

Теория устойчивости О. существует в двух вариантах. Первый основывается" на представлении, что потеря устойчивости соответствует такой нагрузке, при к-рой О. находится в состоянии безразличного равновесия. Это приводит к системе линейных однородных дифференциальных ур-ний в частных производных, в к-рую входит неизвестный параметр внешней нагрузки. Граничные условия в данном случае также однородны. Отсюда находят спектр собственных чисел (критич. нагрузки) и систему ( )ундамонтальных ф-ций (фюрмы потери устойчивости). Этот способ (обычный при решении задач об устойчивости де< )ор-мации упругих тел) в нек-рых случаях приводит к результатам, удовлетворительно совпадающим с опытом — напр., при расчете устойчивости цилиндрич. О., находящейся под действием равномерного внешнего нормального давления. Однако иногда (напр., при расчете устойчивости сферич. О. на внешнее давление или при расчете цилиндрич. О., сжатых вдоль оси) он приводит к значительным расхождениям с опытом, давая при этом большую ошибку в Опасную сторону (т. е. в сторону преувеличения критической нагрузки). В связи с этим для О. был предложен принципиально иной подход к оценке их устойчивости, Специфшч. особенность О. — возможность потери ею устойчивости т. н. хлопком при этом осуществляется переход от одного положения равновесия к другому, с более низким энергетич, уровнем, отличающимся от первого на конечные перемещения. В процессе этого перехода О. должна пройти через промежуточные стадии де [c.465]

В теории упругости классическая во.тновая теоррш также по-иу чается после линеаризации. Однако даже в линейном случае ситуация оказывается более сложной, поскольку исходная система уравнений приводит по существу к двум волновым уравнениям вида (1.1) для двух функций фх, фг и двух скоростей отвечающим движению продольной и поперечной волн (волны сжатия и волны сдвига). Функции и фа связаны надлежащими граничными условиями, так что в общем случае задача гораздо сложнее, чем просто решение уравнения (1.1). На свободной поверхности упругого тела возникает новое усложнение, поскольку возможно появление поверхностных волн, так называемых волн Рэлея, [c.11]

Для общего случая сжатия двух тея, имеющих одинаковые модули упругости , пусть 1/Г1 и l/fl являются главными кривизнами в точке соприкасания. Одного из тел, а 1/г и 1/г —кривизнами другого и пусть означает угол между нормальными плоскостями, содержа 9ими кривизны 1/Г и 1/Гв. Поверхность общем случае пр Ц Ставдяех ллинс, 11олуоси у [c.283]

Уравнения состояния кондеисироваипых тел и их фаз. Уравнения для внутренней энергии и давления твердых тел или жидкостей соответствуют двухпараметрпческой среде, когда внутренняя энергия н давление зависят от двух переменных — истинной плотности вещества р° и температуры. Прп этом внутреннюю энергию и давление при температурах, меньших 10 К, представляют в виде суммы двух составляющих, которые соответственно описывают упругие свойства холодного тела прп гидростатическом сжатии up, Рр) и эффекты гармопичсскпх колебаний атомов в решетке (ut,Pt), характеризуемых температурой [c.242]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...