Начала теории векторов

НАЧАЛА ТЕОРИИ ВЕКТОРОВ [c.9]

Здесь приведены лишь немногие элементарнейшие сведения о векторах, которые необходимы на первых же порах при изложении статики. Подробное изложение теории векторов можно найти в книге Н. Е. Кочина, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, изд. 6, Гостехиздат, М. —Я, 1938. [c.10]

Запишем теперь теорему Вариньона о моменте равнодействующей для рассматриваемой СО и определим моменты каждой из сил относительно начала координатных осей с помощью векторных произведений радиусов-векторов сил на сами силы. [c.30]

В самом деле, примем за полюс начало координат О и построим векторы (ОО) и (ОК). Пусть Л , Ку и К будут координаты точки К они представляют собой проекции вектора (ОК) на оси Охуг, или, иначе говоря, результирующие моменты количеств движения относительно каждой из этих осей. Пусть далее 0 , О у, О — проекции вектора (00), которые в то же время равны результирующим моментам внешних сил относительно каждой из осей Охуг. Применяя теорему моментов относительно каждой из этих осей, получим [c.11]

Примем, что остаточные деформации при деформировании материала из так называемого естественного состояния появляются лишь после того, как вектор деформации превысит по модулю некоторое характерное для данного материала значение К/С, где К — пластическая постоянная (предел пластичности). При этом модуль вектора X окажется больше пластической постоянной К, что совпадает с формулировкой условия начала пластических деформаций в теории пластичности Генки-Ильюшина [230, 24]. [c.307]

Приведенные соотношения позволяют утверждать, что с точностью до постоянной пластический потенциал равен квадрату интенсивности напряжений Ф (о у) = о . Данную поверхность в системе координат 02, Од назовем поверхностью пластического потенциала. Она имеет такую же форму, как и поверхность начала пластического течения. Вектор приращения пластических деформаций перпендикулярен поверхности пластического потенциала. Аналогично теории пластического течения можно ввести понятие пластического потенциала и в теорию малых упругопластических деформаций. Тогда для случая несжимаемого материала имеем [c.132]

Обратимся теперь к весьма важному вопросу о том, как распределяются напряжения по всевозможным площадкам, проведенным через данную точку тела применим для этой цели весьма изящный и наглядный способ, найденный основателем теории упругости Коши. В выбранной точке тела М поместим начало координат, проведем элементарную площадку с внешней нормалью г и вдоль этой нормали построим вектор длиною р, которую временно оставим неопределенной. Координаты конца этого вектора будут [c.27]

В теории притяжения указываются разложения силовой функции неподвижной массы (имеющей три, два или одно измерение) в ряды функций Лапласа или гармонических многочленов. Такие разложения имеют различную форму в зависимости от того, больше или меньше радиус-вектор г точки Р наибольшего из расстояний точек тела М до начала координат. [c.306]

Рассмотрение вопросов морфологического анализа разумно начать с более чем частной задачи, связанной с интерпретацией данных поляризационного зондирования атмосферных дымок. Теория соответствующего оптического метода зондирования строилась в п. 1.2, и в простейшем варианте привела к решению системы операторных уравнений (1.45) при известном поляризационном векторе Допустим, что для исследуемого локального объема дисперсной среды показатель преломления т известен. Тогда для определения )ц( в ) и последующего микроструктурного анализа достаточно решить первое уравнение указанной системы, рассчитав предварительно оператор W2 с использованием формул теории Ми. Но если правомерно применение теории Ми при обработке [c.84]

Набор плоскостей, которые, будучи перпендикулярны к различным векторам обратной решетки, делят их пополам, играет особо важную роль в теории распространения волн в кристаллах, поскольку волна с волновым вектором, проведенным и.з начала координат и оканчивающимся на какой-либо из этих плоскостей, будет удовлетворять условиям дифракции. Эти плоскости делят фурье-пространство кристалла на неравные части, [c.85]

Почему мы начали именно с электрического поля, а не магнитного Сила Лоренца, действующая на заряженную частицу в магнитном поле, перпендикулярна скорости частицы. Функция распределения частиц по скоростям, будучи скаляром, в первом порядке теории возмущений по магнитному полю определяется скалярным произведением скорости на силу Лоренца, но последнее равно нулю из-за взаимной перпендикулярности этих векторов. Поэтому, имея в виду слабые поля, мы ограничимся эффектами, линейными по полю, и, следовательно, нужно обратиться к случаю электрического поля. [c.46]

Рассмотрение интегральных уравнений для векторов состояний системы рассеяния вновь проще всего начать, используя нестационарную теорию. Нас главным образом интересуют интегральные уравнения (6.15) и (6.17) или (6.21) и (6.22). Как было показано в гл. 6, 3, эти уравнения эквивалентны уравнениям (6.33) и (6.34) [c.252]

До сих пор никаких предположений о величине деформаций не делалось, поэтому полученные выше результаты применимы к случаю конечных деформаций. Однако для большинства приложений достаточно приближенной теории малых деформаций. Прежде чем перейти к описанию этой приближенной теории, нужно ввести понятие вектора перемещения. Для простоты предположим, что начала систем координат Хк и совпадают. Тогда вектор перемещения и с компонентами и в системе координат Хк и компонентами и в системе Хк определяется соотношениями [c.86]

Равенство (1.13) выражает теорему об изменении момента количеств движения твердого тела относительно начала системы координат производная момента количеств движения равна моменту внешних активных сил. Величины Р, /( (Г) называются соответственно главным вектором и главным моментом относительно точки О поля активных сил. [c.118]

Вернемся к рис. 111.21 и вновь рассмотрим вопрос о применении законов механики к системе переменного состава, но постоянного объема, имея теперь в виду не теорему об изменении количества движения, а теорему об изменении кинетического момента. Дословно повторяя рассуждения, которые привели нас к формулам (86) и (87), но рассматривая для системы I, и W не векторы / лрил количества движения, а векторы кинетического момента, подсчитанного от- Рис. III.23. носительно какого-либо полюса О (например, относительно начала координат), получаем вместо формул (86) и (87) соответственно формулы [c.115]

Пример 3.7.3. Движение точки в поле параллельных сил тяжести. Основные формулы для такого движения можно найти в примере 3.5.2. Здесь проиллюстрируем действие основных теорем динамики точки. Пусть вектор ез задает направление вертикали, и на материальную точку действует сила тяжести Р = —тдеа. Выберем ор-тонормированный репер Оехвзвз с началом в произвольной точке О трехмерного пространства. Векторы в1 и ез образуют горизонтальную плоскость V, проходящую через начало координат О Количество движения материальной точки подчиняется уравнению [c.196]

Вывод гамильтониана. Чтобы сформулировать задачу расчета взаимодействия между электронами и фононами в металле, мы выведем здесь выражение для гамильтониана в форме, где с самого начала включено куло-новское взаимодействие между электронами и движениями ионов, но в то же время сделаны некоторые приближения для упрощения уравнений. Например, можно пренебречь анизотропией, которая, по-видимому, не очень существенна для проблемы сверхпроводимости. Предполагается, что колебания решетки можно разделить на продольные и поперечные и что электроны взаимодействуют только с продольными компонентами. Это приближение справедливо для волн с большой длиной волны, но неправильно для коротких волн (исключая некоторые напрапления распространения). Предположим также, как это часто делается в теории Блоха, что матричные элементы для электронно-фононного и кулоновского взаимодействий зависят лишь от разности волновых векторов в начальном и конечном состояниях. При вычислении кулоновских взаимодействий сделаны предположения, которые равнозначны рассмотрению валентных электронов как газа свободных электронов. [c.757]

Осью называют бесконечную прямую, для которой одно из двух направлений вдоль прямой выбрано как основное (положительное). Ввиду особой важности для теории и для решения задач напомним известное из математики определение проекции на ось всякого вектора, в нашем случае - вектора силы. Проекцией вектора Р = АВ на ось I (рис. 7) называют отрезок A Bi оси I, заключенный между двумя плоскостями, перпендикулярными оси I и проходящими через начало (точка А) и через конец (точка В) вектора Р. Точка Ai определяет начало проекции, а точка Bi - конец проекции. Таким образом, проекция силы на ось является геометрической фигурой — прямолинейным отрезком. Следует отличать проекцию от величины проекции. Если в выбранном масштабе сил измерить длину проекции и приписать полученному числу знак (плюс или минус), то полученное алгебраическое число называют величиной проекции. Если направление от начала проекции Ai к концу проекции Bi совпадает с положительным направлением оси, то величину проекции берут со знаком плюс, а в противоположном случае — со знаком минус. В дальнейшем, подразумевая величину, проекции, будем для кратности говорить просто - про-ек1щя. Так как плоскости I и II перпендикулярны оси I, то и прямые AAi и BBi перпендикулярны этой же оси. Поэтому проекцию P, = AiBi вектора силы Р = АЁ можно получить, опустив перпендикуляры из начала и конца вектора на ось I. [c.17]

Сразу же после открытия кйсттойой механики начались попытки расширить её на релятивистскую область. На этом пути возникла принципиальная трудность, связанная с тем, что в формализме квантовой механики (и в исходном для неё гамильтоновом методе, и в ур-нии Шрёлин-гера) время играет существенно выделенную роль. С др. стороны, в теории относительности время и пространственные координаты должны выступать совершенно симметрично, как компоненты одного 4-вектора. [c.125]

Электродинамика. Состояние эл.-магн. поля в теории Максвелла характеризуется двумя осн. векторами напряжённостью электрич. поля Е и магн. индукцией В, являющимися ф-циями координат и времени. Эл.-магн. свойства вещества задаются тремя величинами диэлектрич. проницаемостью е, магн. проницаемостью ц и уд. электропроводностью ст, к-рые должны быть определены экспериментально. Для векторов Е и В и связанных с ними вспомогат, векторов электрич. индукции D и напряжённости магн. поля Н записывается система линейных диф-ференц. ур-ний с частными производными — Максвелла уравнения. Эти ур-ния описывают эволюцию эл.-магн. поля. По значениям характеристик поля в нач. момент времени внутри нек-рого объёма и по граничным условиям на поверхности этого объёма можно определить и в в любой последующий момент времени. Векторы Вт В определяют силу, действующую на заряж. частицу, движущуюся с определ. скоростью в эл.-магн. поле (Лоренца силу). [c.315]

Для нахождения реакции стенки F вьще-лим отрезок струи АВ = ит, движение которого будет рассматриваться (рис.). Здесь г — малый промежуток времени. Для этого промежутка времени от начала движения ti = t цо момента = г + г применим к рассматриваемому объему воды теорему об изменении главного вектора количеств движения материальной системы [c.229]

Первое основательное исследование механики прибора, опубликованное за рубежом (1932), принадлежит И. Геккелеру В своей работе автор пользуется прецессионной теорией. С самого начала. он полагает, что сфера не поворачивается вокруг вектора суммарного кинетического момента двух гироскопов и модуль его остается постоянным, углы а и Р отклонения северного диаметра сферы от плоскости меридиана и от горизонтальной плоскости считает малыми и, кроме того, принимает во внимание малость направляющего момента, отнесенного к единице угла а, сравнительно со статическим моментом маятника. Вместе с углами а и р в рассмотрение вводится еще угол 6 возвышения линии, соединяющей уровни жидкости в сообщающихся сосудах, над осью фигуры (т, е. над вектором сзшмарного кинетического момента) гироскопов. В результате получаются три линейных дифференциальных уравнения с постоянными коэффициентами для трех независимых переменных а, р, 0. Решая эти уравнения, автор исследует девиации компаса, обусловленные движением основания, сначала в отсутствие демпфирования, а затем и нри наличии его. [c.158]

Для построения точной теории гировертикалей и гирокомпасов важно правильно учитывать механику движения маятника. В этом отношении характерны работы С. С. Тихменева (1954) и А. Ю. Ишлинского (1956) о равно- 165 весии физического маятника на подвижном основании. Последний рассматривает ориентацию чувствительного элемента гироскопического прибора в системе координат, начало которой связано с объектом, одна из осей направлена к центру Земли, а другая — но вектору абсолютной скорости объекта. [c.165]

Предположим теперь, что различные элементы тела изготовлены из одного и того же стареющего вязкозгпругого материала в различные моменты времени и, кроме того, по причинам, которые здесь не конкретизируем, загружаются неодновременно. В этом случае момент изготовления или зарождения и момент начала загружения элемента, характеризуемого радиус-вектором х, будут функщ1ями Т1(х) и го(х) соответственно. Из изложенного выше, естественным образом, вытекают определяющие соотношения линейной теории ползучести неоднородно стареющих тел. Для изотропного материала они имеют вид [21,22,38] [c.18]

Первый пункт, который мы хотим обсудить, — это сепарабельность гильбертовых пространств, встречающихся в квантовой теории поля. Напомним, что множество /5 векторов плотно в Ж, если для каждого вектора Ф е и е>0 найдется вектор Ч "е5 такой, что Ф —Ч ИСе. Гильбертово пространство сепарабельно, если оно содержит счетное плотное множество или же, другими словами, если в нем имеется последовательность векторов, являющаяся плотной. Альтернативно эта особенность описывается в терминах полных ортонормированных множеств. Гильбертово пространство сепарабельно, если оно содержит счетное полное ортонормированное множество оно не сепарабельно, если полные ортонормированные множества не счетны. От одного описания к другому можно перейти с помош ью ортонормализащш плотного множества, чтобы получить счетное полное ортонормированное множество, 11ли же, образуя конечные линейные комбинации счетных полных ортонормированных множеств с комплексными числами, вещественные и мнимые части которых рациональны,— чтобы получить счетное плотное множество. В первоначальную аксиоматизацию фон Неймана требование сепарабельности входило как определяющее свойство гильбертова пространства. В наше время вошло в обиход употребление этого термина также в несепарабельяом случае. Недавно физики начали рассматривать векторные пространства со скалярным произведением, на которое требование (2-111) и (2-112) не налагается (индефинитная метрика). Такие пространства мы не будем называть гильбертовыми и даже вообще не будем их рассматривать. [c.120]

Такое наименование объясняется тем обстоятельством, что при трех стандартных способах интерпретации, определенных таблицей из предыдущего параграфа, в случае, когда температура постоянна во времени и пространстве, второе соотношение (1) сводится к определяющему соотношению (VII. 2-7) упругого материала, а если выбрать и поддерживать постоянной некоторую деформацию (например, жесткую), то третье соотношение принимает вид классического соотношения теории теплопроводности. Классическая теория уравнений состояния , изложенная в XIV. 5, также представляет собой некоторый частный случай, а именно случай, когда векторы ц и совсем отсутствуют и внутренняя диссипация исключается с самого начала. Термоуйругий материал и сам является весьма специальным, поскольку он не проявляет эффектов памяти. В классе термомеханических материалов он занимает положение, во многом сходное с положением, занимаемым упругим материалом в классе простых материалов в рамках чисто механической теории. [c.443]

Для логич. структуры К. м. характерно присутствие двух разнородных по своей природе составляющих. Вектор состояния (волн, ф-ция) однозначно определён в любой момент времени, если задан в нач. момент при известном вз-ствии системы. В этой части теория вполне детерминистична. Но вектор состояния не есть наблюдаемая величина. О наблюдаемых на основе знания ф> можно сделать лишь статистические (вероятностные) предсказания. Результаты индивидуального измерения над квант, объектом в общем случае непредсказуемы. Предпринимались попытки восстановить идею полного детерминизма в классич. смысле введением предположения о неполноте квантовомеханич. описания. Напр., высказывалась гипотеза о наличии у квант, объектов дополнит, степеней свободы — скрытых параметров , учёт к-рых сделал бы поведение системы полно- стью детерминированным в смысле классич. механики неопределённость возникает только вследствие того, что эти скрытые параметры неизвестны и не учитываются. Однако амер, Зг ёный Дж. фон Нейман доказал теорему о невозможности нестатистич. интерпретации К м. при сохранении её осн. положения о соответствии между наблюдаемыми (физ. величинами) и операторами. [c.262]

ПЕРЕНОСНОЕ ДВИЖЕНИЕ в механике, движение подвижной системы отсчёта по отношению к системе отсчёта, принятой за основную (условно считаемую неподвижной). См. Относительное движение. ПЕРЕОХЛАЖДЕНИЕ, охлаждение в-ва ниже темп-ры его равновесного перехода в др. агрегатное состояние Т ф п. или в др. кристаллич. модификацию (см. Полиморфизм). Фазовые переходы, связанные с отдачей теплоты конденсация, кристаллизация, полиморфные превращения) на нач, стадии, требуют, как правило, нек-рого П., содействующего возникновению зародышей новой фазы — мельчайших капель или кристалликов. Образование зародышей при Гф.п. затруднено тем, что они, обладая повыш. давлением или растворимостью, не могут находиться в равновесии с исходной фазой. В условиях, когда процессы возникновения и роста зародышей новой фазы протекают замедленно (перекристаллизация в тв. фазе, кристаллизация очень вязкой жидкости, напр, стекла, и др.), глубоким П. можно получить практически устойчивую фазу (в метастабильном состоянии) со структурой, характерной для более высоких темп-р. На этом основаны, напр., закалка сталей и получение стекла. Следует также отметить, что степень П. водяного пара в атмосфере влияет на хар-р выпадающих осадков (дождь, снег, град). ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ (коммутационные соотношения), фундаментальные соотношения в квант, теории, устанавливающие связь между последоват. действиями на волновую функцию (или вектор состояния) двух операторов Ь и расположенных в разном порядке (т. е. L-yL п L L ). П. с. определяют алгебру операторов (д-чисел). Если два оператора переставимы (коммутируют), т. е. LiL L Li, то соответствующие им физ. величины и могут иметь одновременно определённые значения. Если же их действие в разном порядке отличается числовым фактором (с), т. е. Ьф —Ьф с, то между соответствующими физ. величинами имеет место неопределенностей соотношение I, где Ail и ДЬа — неопределённости (дисперсии) измеряемых значений физ. величин 1 и 2- Важнейшими в квант, механике явл. П.с. между операторами обобщённой координаты q и сопряжённого ей обобщённого импульса р, qp—pq=ih. Если оператор L не зависит от времени явно и переставим с гамильтонианом системы Н, т, е. ЬЙ= НЬ, то физ. величина L (а также её ср. значение, дисперсия и т. д.) сохраняет своё значение во времени. [c.529]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...