Возможной работы гамильтоново

Однако Гамильтон и Мёбиус не рассматривали годографы с этой точки зрения (которая, очевидно, имеет более недавнее происхождение) они нашли и использовали замечательные свойства годографов как средство геометрического выражения динамических связей, определяющих траекторию в небесной механике. Интересно отметить математическую сторону вопроса работа Гамильтона опиралась на дифференциальные соотношения,ВТО время как Мёбиус использовал для наглядности отображения метод конечных разностей. В частности, Гамильтон пришел к понятию годографа естественным путем в результате своей классической работы по кватернионам [4]. Как следствие вполне объяснимый энтузиазм Гамильтона по поводу потенциальных возможностей годографов привел его к открытию множества фундаментальных теорем, которые имеют широкое применение в задаче двух тел. Общая теория годографов космических траекторий остается справедливой для движения в присутствии любых произвольно заданных притягивающих центров и для любых ускорений от приложенных сил (например, от силы тяги бортового двигателя или от сил атмосферного сопротивления). [c.41]

От разработки оптических проблем к динамике Гамильтон перешел вполне закономерно. Прежде всего внутренняя логика разработанного им метода исследования оптических проблем вела к распространению этого метода на динамику. Связь той математической формы, в которую он облек геометрическую оптику, с уравнениями механики была ему ясна еще задолго до написания мемуаров по динамике. Конечно, из того, что внутренняя логика оптических работ Гамильтона приводила к возможности расширения сферы применения его метода, не вытекает, что именно сам Гамильтон должен был проделать этот новый этап. Тот факт, что именно Гамильтон исследовал данную проблему, объясняется еЩе некоторыми дополнительными условиями. Прежде всего нужно указать на интересы Гамильтона в области астрономии. Будучи королевским астрономом Ирландии и профессором астрономии, он. [c.210]

В одном случае, часто встречающемся при исследовании, уравнение (9), выражающее принцип Гамильтона, может быть представлено в более простой форме. Это будет тогда, когда определяемая уравнением (3) работа и равна вариации (соответствующей возможному перемещению) некоторой [c.29]

Обозначим через т массу материальной точки, принадлежащей безразлично твердому телу или жидкости, через г , — координаты ее в момент времени I относительно неподвижной в пространстве системы координат, через U — работу всех действующих сил для бесконечно малых возможных перемещений их точек приложения, каковым перемещениям будет соответствовать обозначение O, наконец, через Т—живую силу всей системы. Тогда по принципу Гамильтона получим [c.198]

Из принципа виртуальных работ (3.4) можно вывести минимальный принцип для поля перемеш ений, который называют принципом Гамильтона. Согласно этому принципу переход системы из одного возможного состояния в другое за любой конечный промежуток времени [ti, 2] происходит таким образом, что функционал действия по Гамильтону принимает стационарное значение, т. е. [c.121]

В гл. 5 мы рассмотрели два способа описания динамических систем, возникающих в классической механике. Гамильтонов формализм приводит к рассмотрению динамических систем в пространстве четной размерности, задаваемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. При таком подходе координаты и скорости рассматриваются как равноправные координаты в фазовом пространстве. С другой стороны, лагранжев формализм работает исключительно с координатами в конфигурационном пространстве и описывает динамику с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Оказывается, что лагранжев формализм может быть введен посредством рассмотрения всех потенциально возможных траекторий системы, среди которых настоящие траектории выделяются как критические точки некоторого функционала, заданного на множестве всех кривых в конфигурационном пространстве. Описания такого рода обычно называются вариационными, поскольку необходимо варьировать потенциально возможные траектории, чтобы найти настоящие. Уравнения Эйлера — Лагранжа (5.3.2) представляют собой не что иное, как уравнения, описывающие критические в вышеописанном смысле кривые функционала действия, рассматриваемого в 4. [c.342]

В обоих последних параграфах этой главы мы перейдем к предельному случаю длинноволновых колебаний решетки. Когда длина волны велика по сравнению с атомными расстояниями, то микроскопическая структура твердого тела не играет роли. Здесь осуществляется переход к классической континуальной теории. В приближении, которым мы будем пользоваться, потенциальная энергия ионов решетки разлагается по степеням мгновенного отклонения и используется только первый, неисчезающий (гармонический) член. Это —гармоническое приближение. В этом приближении оператор Г амильтона может быть разложен в сумму независимых частей, которые имеют форму операторов Гамильтона гармонических осцилляторов. Это разложение лежит в основе квантования и дает возможность описывать колебания решетки как газ невзаимодействующих фононов. Учет более высоких ангармонических членов в разложении означает учет взаимодействия между фононами и является предметом последней главы (гл. XI). Область, связанная с рассмотрением колебаний решетки в гармоническом приближении, излагается во многих работах. Большое число нижеприведенных литературных ссылок выходит за рамки приводимого в этой главе материала поправки на ангармонические члены, взаимодействие фононов с другими элементарными возбуждениями и с локальными нарушениями решетки. Специальную литературу к этим вопросам мы приведем в последующих главах. [c.130]

Наличие двух внешних частот и Юе приводит к довольно сложным дифференциальным уравнениям упрощенной системы с гамильтонианом К. В работе [144] сделана попытка исключить все члены с частотой сОе- Оказалось, что это можно сделать, так как процедура их исключения не приводит к появлению больших по величине коэффициентов в производящей функции W преобразования ь Рг -> at, Pi- Следует еще добавить, что при получении нового гамильтониана К из-за громоздкости проводимых вычислений и ограниченности вычислительных возможностей в [144] члены [elm) учитывались только до третьей степени и только в К . [c.259]

Я полагаю, что принцип наименьшего действия следует рассматривать как один из наиболее важных принципов механики. В самом деле, мы видим, как молодой Лагранж в одной из статей в Mis ellanea Taurinensia, представляющей собой бессмертную работу, стоящую выше всякой похвалы, в один прием выводит из этого принципа целиком всю аналитическую механику. Принцип возможных скоростей был введен лишь в последующих работах только для проведения методических доказательств. Почему же аналитическая механика, эта неблагодарная дочь, нашла нужным осудить принцип наименьшего действия как бесполезный Если работы Гамильтона и исследования, о которых я говорил выше, добавляют нечто существенное к аналитической механике, то этим мы обязаны как раз этому принципу. [c.290]

В конце XVIII в. Гамильтон показал, что законы, управляющие траекторией движения частицы и луча света, могут быть выражены м атйматячегаси подобными уравнениями. При этом поле сил в первом случае будет играть ту же роль, что и переменный показатель преломления во втором. Эта ранняя работа Гамильтона была написана в терминах старой геометрической оптики. Открытие интерференции привело к развитию волновой теории света, с помощью которой объяснялись также все факты, описанные в старой геометрической оптике. Таким образом, оказалось возможным сделать задачу движения частицы в поле сил математически подобной той же задаче в волновой теории. Известно, что переход от геометрической оптики к волновой теории не приводит к заметному различию в результатах решения задач распространения света в такой среде, где показатель преломления не меняется заметно на расстоянии порядка длины волны. Однако в тех случаях, когда показатель преломле- [c.15]

Принцип Далпмбера. Работа. Принцип Гамильтона. Потенциал, или силовая функция. Равновесие. Принцип возможных перемеш,ений) [c.25]

Приведенный здесь пример (показывающий, что варьированный путь для неголо-номиой системы, вообще говоря, но является возможным путем) представляется наиболее естественным. Его рассматривали многие ученые, работавшие в этой области механики. Он содержится, например, в известной работе Гёльдера о вариационных принципах динамики О. Гёльдер, О принципах Гамильтона и Мопертюи, в сборнике Вариационные принципы механики под ред. Л. С. Полака, М., Физматгиз, 1959. Другие примеры см. в 5.11. [c.50]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Доказательство подвижности кластеров Аи на поверхности Na l и КС1 получено в работе [221 на основании изучения вариаций поверхностной плотности агрегаций, визуализированных осаждением пара d, в зависимости от времени выдержки подложки в потоке атомов Аи. Декорирование кластеров Аи производилось непосредственно после окончания выдержки, причем с увеличением их размеров критическая 1штенсивность потока атомов d уменьшилась. В отличие от Гамильтона с сотр. [12—201, предполагавших возможность декорирования одиночных атомов Ag, Аи, Pd, Pt, закрепившихся при комнатной температуре в активных местах алюрфно подложки, авторы работы [221 считают, что пары d побуждают динамическую коалесценцию мельчайших агрегаций атомов Аи, вследствие чего существует нижний предел размера зародыша, меньше которого последние не могут быть визуализированы без изменения исходного распределения агрегаций Аи по размерам. Ожидается, что критический зародыш должен содержать 7—8 атомов. [c.8]

Привлекательность первой работы Вильсона заключается в том, что она открыла совершенно новый путь в теории критических явлений (и, возможно, также и в других областях). Она четко показывает, из каких допущений следует то или иное свойство. В этом отношении весьма неожиданным оказался тот результат, что законы подобия лишь весьма слабо связаны с гамильтонианом. Было установлено, что они отражают внутренние характеристики РГ-уравнений. Эти уравнения не описывают свойства данного гамильтониана они лишь говорят о том, как мы связываем два гамильтониана внутри бесконечного класса. Окончательные результаты первой работы Вильсона, конечно, не отличаются от результатов Каданова. Вильсон показал, что, если сделать следующие предположения [c.386]

Работа состоит из шести глав. Первая глава посвящена разбору возможностей, предоставляемых классической механикой для решения названной основной задачи, и критике относящихся сюда работ, основанных на классической механике. Вторая глава посвящена аналогичному рассмотрению в квантовой механике. В третьей главе разбирается вопрос об описании немаксимально полных опытов, в частности об условиях применимости понятия статистического оператора матрицы плотности). В четвертой главе выводятся некоторые ограничения, которые накладываются на возможности измерений, производимых над макроскопическими системами, условием сохранения их заданной макроскопической характеристики. Значительная часть вопросов, затронутых в третьей и четвертой главах, заключается в получении свойств релаксации, Я-теоремы и т. д.— утверждений макроскопических, т. е., казалось бы, не связанных с вопросами о возможностях измерения. Поэтому, чтобы при решении поставленной в работе задачи не казалось странным возникновение этих вопросов, отметим сразу же, что самая суть поставленной задачи заключается в выяснении связи макроскопических утверждений с микромеханикой, а уравнениям последней можно, как известно, придать физический смысл лишь в связи с возможностями измерений. Пятая глава посвящена общим понятиям о релаксации физических систем, об j/У-теореме и о средних во времени значениях физических величин. В шестой главе выясняется связь между существованием релаксации и определенными свойствами гамильтониана системы. [c.16]

Все сказанйое до сих пор в этом параграфе относилось к характеристике принципиальных возможностей, предоставляемых классической механикой для интерпретации статистики. Отметим сейчас один хорошо известный недостаток, присущий всем проводившимся до сих пор многочисленным исследованиям по эргодическим системам отсутствие эффективного критерия, который позволил бы судить, принадлежит ли физическая система к тому или иному из математически определяемых классов динамических систем. Это, конечно, не принципиальный недостаток классической механики, а недостаток того направления, в котором до сих пор развивались такие исследования. Даже после исследований Биркгофа в 1931 г. [11] и появления многих замечательных работ, указанный недостаток продолжает сохраняться. В частности, существующие исследования не дают возможности установить не только точную, но и приближенную, качественную связь между теми или иными свойствами эргодичности динамических систем (например, свойствами спектра унитарного оператора движения) и типом гамильтониана. [c.42]

Тем более подобные ситуации возможны при распространении метода Гамильтона — Якоби на системы с неголономными связями. Мы проиллюстрировали предложенный нами описанный способ применения метода Гамильтона — Якоби к неголономным системам на примере частного случая задачи Каратеодори — Чаплыгина, а также на примере движения без скольжения однородного шара по горизонтальной плоскости. Для данной задачи уравнение Гамильтона — Якоби было составлено в нормальных неголономных координатах, полный интеграл был найден и с его помощью выявлен один первый интеграл уравнений движения — неизменность проекции угловой скорости шара на вертикаль. Этого было достаточно для решения всей задачи в силу наличия двух дифференциальных уравнений связей, интеграла энергии и вытекавшей из элементарных соображений общей механики прямолинейности движения центра тяжести шара. Наши работы по данному вопросу получили в дальнейшем отклик. В конце сороковых годов итальянский механик Пиньедоли опубликовал статью по данному вопросу с той же методикой. В настоящее время данной проблемой занимались в своих кандидатских диссертациях молодые научные работники (Назнев X. А., Титкова С. И.). [c.8]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

Решение последней задачи методами численного интегрирования строгих уравнений движения неэффективно. Однако, используя теорию возмущений, можно получить приближенное аналитическое описание многообразия условно-периодических траекторий. По-видимому, к настоящему времени с наибольшей полнотой поставленная задача рассмотрена в работе [133]. Этой же задаче посвящена и настоящая глава книги. Примененный метод построения условно-периодических (и всех возможных других) траекторий вблизи Ь.2 основан на проведении ряда последовательных канонических преобразований переменных, приводящих функцию Гамильтона задачи к нормальной форме, для которой начальные условия, обеспечивающие различные (например, условно-периодические) тразктории, находятся весьма просто. Проведенные в настоящей главе построения могут быть положены в основу теории пассивного движения КА вблизи Ь . [c.266]

Нужно, однако, подчеркнуть, что формулировка (3.9.1) есть распространение принципа Д Аламбера на электромагнитные эффекты. Поэтому этот принцип имеет существенно механистическую природу он не является таким общим термодинамическим принципом, который мог бы позволить учесть такие эф- фекты, как тепло- и электропроводность, и он действительно их не охватывает. С другой стороны, этот принцип не имеет ограничений, присущих вариационным принципам типа Гамильтона или Лагранжа, так как не нужно выдвигать никаких гипотез об определяющих параметрах материала. Формулировка принципа в виде (3.9.1) особенно ценна в том случае, когда возможное кинематическое поле v ограничивается так, что некоторые условия или рабочие гипотезы учитываются автоматически, позволяя, тем самым, наиболее просто провести исследование подходящих механических структур (например, теория Кирхгофа—Лява магнитных пластин, — см. работу [Maugin, Goudjo, 1982]). [c.216]

Это уравнение выраасгшт принцип Гамильтона-Остроградского действительное двго сение механической системы с голономными двусторонними идеальными связями отличается от всех мх возможных ее движений, удовлетворяющих условию (145.2), тем, что только для действительного движения выполняется равенство (145.3)-В случае, если раздельно рассматривать работу задаваемых консервативных и неконсервативных сил, уравнение (145.3) можно представить в следующем виде [c.581]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...