Малые колебания статического решения

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

Малые колебания около стАтического решения. Характеристические ПОКАЗАТЕЛИ. Критерий неустойчивости. Простой и в то же время очень важный для механики случай будем иметь, когда функции X не зависят явно от [c.384]

Различные между собой характеристические показатели определяют столько же решений вида (22), линейно независимых между собой, системы (21). Здесь нет необходимости останавливаться на рассмотрении того, как находятся путем алгебраических операций другие необходимые частные решения для построения основной системы в том случае, когда число этих различных между собой характеристических показателей окажется меньше л [ ] обратимся прямо к малым колебаниям около статического решения о. [c.385]

Отметим попутно, что из самой формы характеристического уравнения (28), которое действительно для всех дифференциальных систем вида (27) и, в частности, для уравнений малых колебаний, следует, что если 2 есть его корень, то корнем будет также и — 2. Отсюда имеем характеристические показатели статического решения дифференциальной системы типа (26) и, в частности, динамической задачи попарно равны по модулю и противоположны по знаку. [c.389]

Заметим, наконец, что формальный способ составления уравнений в вариациях можно также приложить к системам уравнений (16), правые части которых зависят от t, и по отношению к какому угодно решению о (будет ли оно статическим или нет, будет оно устойчивым или неустойчивым). Мы придем, таким образом, к системе дифференциальных уравнений (18),- которые все еще линейны относительно ко, вообще говоря, содержат в коэффициентах янно переменную t. Даже и в этих случаях можно сказать, что эти уравнения определяют малые колебания около рассматриваемого решения а, но при этом подразумевается та оговорка, что если [c.402]

В работе В. А. Бабешко [7] рассмотрены смешанные задачи о кручении круглым штампом радиуса Я упругого слоя толщины Л, покоящегося на жестком основании. Штамп совершает крутильные гармонические колебания. Режим предполагается установившимся. Исследованы случаи а) жесткого соединения слоя с недеформируемым основанием б) контакта слоя с основанием без трения. Обе задачи приводят к некоторой бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, эффективное решение которой строится при малых Я,=/i/ . Решение задачи—распределение контактных напряжений под штампом — приводится в двух различных формах, эффективных в соответствующих зонах. Используемый метод проверен на некоторой статической задаче. Приведены результаты численных расчетов. [c.326]

Пользуясь при решении этой задачи полученными в тексте статическими формулами, мы тем самым пренебрегаем упругими колебаниями шара, возникающими при столкновении. Возможность такого пренебрежения требует, чтобы скорость V была достаточно мала по сравнению со скоростью звука. Фактически, однако, применимость этой теории ограничивается еще раньше благодаря тому, что возникающие при столкновении деформации переходят за предел упругости вещества. [c.50]

Гидродинамические силы. При анализе динамики роторов, опирающихся на подшипники скольжения, необходимо решать совместную задачу теории колебаний и гидродинамики. Гидродинамическая сторона задачи сводится к решению ряда уравнений гидродинамической теории смазки при неустановившемся течении, окончательной целью решения которых, как правило, является определение так называемых статических и динамических характеристик. Статические характеристики определяют кривую стационарных положений цапфы, расход смазки, потери мощности на трение. Динамические характеристики (коэффициенты) определяют действующие на цапфу дополнительные силы, возникающие при малых перемещениях цапфы из стационарного положения. Знание этих коэффициентов позволяет решать задачи устойчивости и линейные задачи вынужденных колебаний при внешних периодических нагрузках, малых по сравнению со статической нагрузкой. [c.160]

Возникает вопрос о том, какие отклонения от исходного статического режима считать малыми, т. е. нужно знать предельные отклонения, при которых в принципе допустима еще линеаризация исходных характеристик (погрешности, вызываемые ею, не превосходят допустимых пределов). Выводы, которые могут быть сделаны в этой части, с одной стороны, зависят от требования к точности расчета переходных процессов при решении конкретных задач с другой стороны, они должны делаться с учетом характера исследуемого процесса. В дальнейшем ограничимся рассмотрением свободных колебаний давления в камерах (процессов установления режима после устранения начального возмущения, вызвавшего отклонение от статических условий). [c.306]

Силы ЧР , 2,... произвольны, но, конечно, подчинены требованию не производить настолько больших перемещений или движений, чтобы квадраты малых величин стали заметны. Если, как это часто имеет место, действующие силы складываются из двух частей, одной постоянной во времени и другой периодической, то производимые ими эффекты удобно мысленно разделить на два класса. Эффект постоянных сил в точности такой же, как если бы действовали только они одни он находится путем решения статической проблемы. Поэтому вообще достаточно предполагать силы периодическими, влияние же постоянных сил, таких, например, как сила тяжести, выразится только в изменении конфигурации, около которой совершаются колебания. Мы можем, таким образом, не теряя общности, ограничиться периодическими и поэтому, в силу теоремы Фурье, гармоническими силами. [c.168]

Если при постановке статических задач о нагружении конструкций при малых напряжениях и температурах, когда пластические и вязкие эффекты пренебрежимо малы, а также ряда динамических задач (определение собственных частот и форм колебаний, определение амплитуд вынужденных колебаний в удалении от области резонанса и т. д.) допустимо чисто упругое решение, то существует большое число динамических задач, при решении которых нельзя не учитывать различные сопротивления неупругого характера. [c.393]

Пример 3. МЕТОД РЭЛЕЯ в ПРИМЕНЕНИИ К РАСЧЕТУ ОСНОВНОЙ ЧАСТОТЫ ОДНОРОДНЫХ СТЕРЖНЕЙ. Как известно, одно из первых предложений по поводу выбора минимизирующих форм было сделано Рэлеем. Рэлей предложил брать в качестве минимизирующей функции при расчете первой частоты стержня форму статической деформации от заданной нагрузки или от нагрузки более или менее близко воспроизводящей общий вид деформации стержня в первом главном его колебании. Эта рекомендация оказывается, как правило, весьма эффективной и при сравнительно малых затратах времени приводящей к замечательно точным результатам. Чтобы иметь возможность сравнить результаты применения метода Рэлея с известными точными решениями, рассмотрим некоторые из разобранных в гл. VI и VII примеров на колебания однородного стержня. [c.323]

Далее, иногда при схематической постановке конкретных задач оказывается возможным считать удовлетворительным такое приближенное представление явлений, которое сохраняет свое значение если не на все время, то по крайней мере в течение конечного, но достаточно длительного промежутка времени. Это и является основанием того, что в конкретных приложениях, если не удается прийти к устойчивости в строгом смысле, удовлетворяются лишь решением вопроса, 01сазывается ли данное статическое решение строго неустойчивым, или же оно устойчиво в только что рассмотренном линейном смысле. А для этой цели достаточно применить так называемый метод малых колебаний (т. е. решение уравнений в варигциях) и критерий, даваемый рассмотрением характеристических показателей. [c.391]

Большие колебания статически нагруженных роторов трудно описать с достаточной точностью. Из физических особенностей опор скольжения и приближенного решения уравнений для весьма малого статического эксцентрицитета следует, что достаточно большие воз-буждаюш,ие импульсы нарушают устойчивость роторов с жесткими опорами и приводят к установлению автоколебаний. Примерно такие же результаты получаются для слабо овальных подшипников скольжения. [c.123]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Важно заметить, что здесь рассматривается статическое приложение сил и моментов, т. е. большие перемещения при изгибе рассматриваются как непрерывная последовательность состояний (упругого равновесия изогнутого стержня в плоскости при постепенном изменении нагрузки. При расчете динамического поведения (колебаний) указанные статические характеристики стержня будут служить исходными нелинейными характеристиками, которые приведут соответственно к решению нелинейных динамических задач. При рассмотрении же малых колебаний упругого стержня около любого из его изогнутых состояний можно применить линейную теорию колебаний, взяв линейн(ую статическую характеристику в виде отрезка касательной в точке криволинейной характеристики, соответствующей центру колебаний. [c.11]

Было показано (Б. 3. Брачковский, 1942 Г. Ю. Джанелидзе, 1953, и др.), что подстановка типа (12.1) приводит к разделяюш,имся уравнениям типа Матье — Хилла в том и только в том случае, если формы собственных колебаний упругой системы совпадают с формами потери устойчивости при статических нагрузках (собственными элементами задачи о бифуркациях). Уравнения для обш его случая впервые исследовались В. Н. Челомеем (1938). В. В. Болотин (1953) предложил метод для построения областей неустойчивости в обш,ем случае этот метод основан на разложении решения в матричные ряды. В. А. Якубович (1958), отправляясь от результатов М. Г. Крейна (1955), развил метод, основанный на введении малого параметра. Подозрительным с точки зрения устойчивости являются частоты, лежаш ие вблизи [c.354]

В связи с теорией продольных колебаний возникает важная проблема удара. Когда два тела сталкиваются, каждое из них приходит в состояние внутренних колебаний в свое время, повидимому, надеялись, что разрешение задачи о колебаниях двух стержней, возникающих вследствие их продольного столкновения, может пролить свет ка законы удара. Пуассон первый приступил к разрешению проблемы с этой точки зрения. Его метод интегрирования в тригонометрических рядах чрезвычайно осложняет получение общих выводов вследствие досадной ошибки в анализе, он пришел к парадоксальному заключению, что два стержня из одвого и того же материала и с одинаковым сечением не могут отделиться друг от друга, если только их длины ие равны между собою. Сен-Венан ш) исследовал эту проблему, решая уравнение колебаний при помощи произвольных функций и получил некоторые результаты, наиболее важные из которых относятся к продолжительности удара и к существованию коэфициента восстановления для совершенно упругих тел 11 ). Эта теория не подтверкдается экспериментами. Поправка, предложенная Фохтом 1 ), будучи разработана до конца, также мало улучииет дело. Таким образом попытка свести проблему удара к колебаниям, повидимому, должна быть оставлена. Гораздо более успешной была теория Герца ), основанная иа решении проблемы, которую мы назвали проблемой передачи силы. Герц исследовал независимо частный случай этой проблемы, относящийся к давлению двух тел друг на друга. Он предложил рассматривать деформацию как местный статический эффект, который постепенно возникает и убывает. Он нашел способы определения продолжительности удара, а также величины и формы тех частей поверхностей, которые приходят в соприкосновение. Согласие этой теории с экспериментами оказалось удовлетворительным. [c.38]

С. Большие деформации пластинок и оболочек. Теория тонких пластинок и оболочек была развита по преимуществу для целей изучения колебаний этих тел и затем уж применялась к вопросам статическим. Соответствующие смещения при колебаниях всюду крайне незначительны. Обычная приближенная теория изгиба пластинок под действием давления основывается на распространении на более общие случаи результатов некоторых точных нли приближенных решений уравнений равновесия упругого тела ). В этих решениях предполагается, что смещение, если не считать того, которое соответствует движениям тела как абсолютно твердого, всюду весьма мало по сравнению с линейными его размерами. Таким образом теория будет применима до тех пор, пока прогиб будет составлять весьма малую долю от толщины пластинки. Теории Кирхгофа и Клебша и теория гл. XXIV имели своей целью указать пределы возможных смещений средней поверхности, при которых оболочка не будет еще перенапряжена. Условие этого заключается в том, что при больших деформациях оболочки средняя поверхность должна либо точно налагаться на недоформированную среднюю поверхность оболочки, либо должна быть близка к поверхности, налагающейся на нее. [c.580]

Когда периоды действующих сил очень велики по сравнению с периодами свободных колебаний системы, иногда оказывается пригодной статическая теория, но в подобных случаях решение вообще легче найти без применения нормальных координат, Сюда относится, например, теория приливов Бернулли, которая исходит из предположения, что периоды свободных колебаний масс воды, находящихся на земном шаре, малы по сравнению с периодами действующих сил, благодаря чему инерцию воды можно не принимать во внимание, В действительности же это предположение является очень грубым и приложимо лишь частично. В силу этого нам все еще неизвестны многие важные моменты, касающиеся приливов. Основные силы имеют полусуточный период, который недостаточно велик в сравнении с соот-ветсгвующими собственными периодами, чтобы можно было пренебречь инерцией воды. Но если бы вращение Земли было много медленнее, статическая теория притивов могла бы быть вполне достаточной. [c.156]

Поперечный удар по балке.— Приближенное решение. Большое практическое значение имеет задача о напряжениях и прогибах, вызываемых при падении тела па балку. Точное решение 8Т0Й задачи требует исследования поперечных колебаний балки. В случаях, когда масса балки пренебрежимо мала по сравнению с массой падающего тела, можно легко получить приближенное решение, предположив, что кривая изгиба балки в процессе удара имеет форму соответствующей статической кривой изгиба. Тогда наибольший прогиб и наибольшие напряжения определяются из рассмотрения энергии системы. Возьмем, например, балку, опертую на концах, на которую посередине между опорами падает груз Нели б обозна- [c.396]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...