Построение областей неустойчивости

ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ [c.254]

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ [c.491]

Подобным построением мы можем при любых сочетаниях механических и гидравлических свойств гидросистемы получить на номограмме линии, соответствующие для этой системы условиям 1 Т5.2. Эти линии разбивают плоскость с — ру на несколько зон. Зона, лежащая выше II — II, со-. ответствует области неустойчивости, при которой под действием начального возмущения в системе происходит нарастание отклонения от установившегося режима по экспоненциальному закону. Зону, лежащую ниже линии II — II, линия I—/ делит на две области. При этом левая область соответствует сочетанию параметров, обеспечивающих устойчивость в системе, а правая — не обеспечивающих подобной устойчивости. [c.140]

Области неустойчивости 120, 133, 134, 254 — Влияние диссипации 131 — Относительная ширина 131 — Построение 254—256 — Расчет 125, 126 Область дивергенции 245 [c.346]

Пусть плоскость параметров, в которой требуется строить границу области неустойчивости, ограничивается двумя параметрами Р,- и Ру, остальным параметрам придаются фиксированные значения. Исходный принцип при построении границы области неустойчивости - это принцип дихотомии, который состоит в том, что [c.491]

Области неустойчивости - Методы численного построения 491, 492 [c.611]

Штриховыми линиями показаны неустойчивые ветви стационарного решения для й и Ои, штрихпунктирные линии ограничивают области неустойчивости при конкретных значениях параметров задачи. Как видно на приведенных графиках, даже для весьма простого уравнения (5.104) без выполненного специального исследования устойчивости невозможно провести классификацию отдельных ветвей стационарного решения. Результаты анализа могут быть использованы далее для построения стационарных распределений по методу условных решений. [c.168]

Из сказанного выше следует, что критерием параметрической неустойчивости систем с подвижными границами может служить условие непрерывного сгущения характеристик волнового уравнения. Это обстоятельство позволяет значительно облегчить задачу отыскания областей неустойчивости в пространстве параметров системы, так как избавляет от необходимости аналитических решений, что для случая параметрического возбуждения колебаний представляет еще не решенную на сегодня проблему. Изложенный в 4.1 графический метод позволяет определить наличие параметрической неустойчивости системы при разнообразных законах движения ее границ. Но чтобы в каждом отдельном случае не прибегать к построению соответствующих диаграмм на пространственно-временной плоскости (х, t желательно выявить критерий параметрической неустойчивости 2-го рода в аналитической форме, т.е. найти некоторые количественные соотношения между параметрами системы (характерный пространственный размер системы, частота и амплитуда смещения границ, коэффициент потерь и т.п.), при выполнении которых она будет неустойчивой. [c.144]

Области устойчивости и неустойчивости, построенные исходя из знаков корней уравнения (7), показаны на рис. 3. Эта картина совпадает с картиной, ранее представленной на рис. 3 работы [2] однако настоящая картина имеет ту отличительную особенность, что здесь показаны все области неустойчивости на некотором конечном промежутке, именно при Уа 4. [c.95]

Обработка спектров декрементов, построенных для разных значений числа Пекле, приводит к карте устойчивости (рис. 109). Точки на оси R соответствуют критическим значениям числа Рэлея при отсутствии просачивания (а = 0). При увеличении а уровни монотонной неустойчивости изменяются (линии I и II), причем происходит их замыкание ). В точке замыкания начинается область растущих колебательных возмущений. Нижняя граница области неустойчивости описывается линиями I и III. До точки замыкания (линия /) неустойчивость имеет монотонный характер правее точки замыкания (линия III) неустойчивость связана с колебательными возмущениями. [c.278]

Области неустойчивости равновесия для всех до 7 О имеют конечную ширину. Внутри незаштрихованных областей решение (1.2.28) остается конечным при всех 1. Однако, как показывают вычисления в следующих порядках, влияние вязкости приводит к их затуханию. Решения, построенные внутри областей неустойчивости, при всех до О экспоненциально нарастают. Таким образом, чтобы избежать нефизических, неограниченно возрастающих со временем решений, необходимо положить до — 0. Наиболее опасной является первая резонансная зона, поскольку, как показано в 1.1, обусловленный вязкостью порог возникновения резонанса для других зон лежит выше. [c.29]

Здесь, в развитие некоторых идей Э. Т. Уиттекера, была построена теория локализации траекторий и теория построения полос, заключающих внутри себя траектории некоторого типа, например, периодические (замкнутые). Кроме того, была разработана общая теория построения областей сплошной устойчивости и неустойчивости траекторий в задачах рассматриваемого типа и были указаны некоторые достаточные признаки частных видов устойчивости, названные авторами устойчивостью по Якоби и орбитальной устойчивостью . [c.345]

Сразу же возникает вопрос действительно ли существует некоторая граница, отделяющая островки устойчивости от области неустойчивости Из общих соображений можно заключить, что траектория не может быть и устойчивой, и неустойчивой в одно и то же время. Поэтому поставленный вопрос вырождается в следующий не могут ли малые островки устойчивости сильно повлиять на общую картину движения во всем фазовом пространстве и ликвидировать стохастичность Строгой теории преобразования (1.9) не существует. Трудности в ее построении как раз и связаны с тем, что островки устойчивости имеют конечную ме- [c.78]

При ЭТОМ поле скорости, построенное в виде суперпозиции полей Wi, Жб, 10. 11 с коэффициентами, являющимися неустойчивыми решениями системы (58), соответствует визуально наблюдаемому в эксперименте (рис. 12). Более детальный анализ показывает, что других областей неустойчивости уравнение (58) не дает. [c.92]

Докажем теперь, что всякий предельный цикл С системы (10.15а), лежащий в построенной области (е), является при достаточно малых л устойчивым тем самым мы докажем, что при достаточно малых в области (ё) существует только один предельный цикл системы (10.15а), так как если бы там существовало несколько предельных циклов, то среди них обязательно были бы неустойчивые. С этой целью рассмотрим характеристический показатель предельного цикла С — интеграл [c.768]

Таким образом, область локальной неустойчивости течения совпадает с областью развивающихся вторичных течений, а в области локальной устойчивости вторичные течения отсутствуют. Поэтому построение областей локальной неустойчивости и [c.56]

Наибольшее затруднение в использовании (18.173) для отыскания границ между устойчивыми и неустойчивыми состояниями системы состоит в большой сложности построения частных решений fl и Ь хотя бы в пределах первого периода. Областей динамической неустойчивости бесконечное множество. Общий характер расположения этих решений можно исследовать, предполагая, что периодическая составляющая внешней продольной силы очень мала. На рис. 18.113 этому соответствует область, примыкающая к оси абсцисс. Обнаруживается, что при р О решения с периодом 2Т лежат попарно вблизи частот 0 = 2П/А (к = 1, 3, 5,. ..), а решения с периодом Т — вблизи частот О. = 20/ к = 2, 4, 6,. ..). Оба случая объединяются формулой [c.462]

На рис. 116 изображена типичная кривая р = р (1 ) при Я == 1 и / о = 0,1, построенная на основе уравнения (6.25) (кривая I). Там же приведена нейтральная кривая П, разделяющая области устойчивости и неустойчивости, и кривая П1, отвечающая идеально-хрупкому разрушению. [c.318]

Построение строгой в математическом отношении теории устойчивости движения принадлежит знаменитому русскому ученому Александру Михайловичу Ляпунову (1857— 1918). Содержание этой теории А. М. Ляпунов раскрыл в своих общих теоремах об устойчивости и неустойчивости. В 1892 г. он написал работу Общая задача об устойчивости движения , которой было положено начало ведущей роли русской науки в области теории устойчивости. [c.9]

Было показано (Б. 3. Брачковский, 1942 Г. Ю. Джанелидзе, 1953, и др.), что подстановка типа (12.1) приводит к разделяюш,имся уравнениям типа Матье — Хилла в том и только в том случае, если формы собственных колебаний упругой системы совпадают с формами потери устойчивости при статических нагрузках (собственными элементами задачи о бифуркациях). Уравнения для обш его случая впервые исследовались В. Н. Челомеем (1938). В. В. Болотин (1953) предложил метод для построения областей неустойчивости в обш,ем случае этот метод основан на разложении решения в матричные ряды. В. А. Якубович (1958), отправляясь от результатов М. Г. Крейна (1955), развил метод, основанный на введении малого параметра. Подозрительным с точки зрения устойчивости являются частоты, лежаш ие вблизи [c.354]

На рис. 124, б показан график, построенный по формуле (533), тах = i (< о) при fi = onst = 6000 н-м/рад. Как видно из графика, наименьшее значение Л4тах может быть равно однако такое значение будет при относительно малых величинах Сц, т. е. в области неустойчивых значений, определяющих Мтах = Лучше ПрИМенЯТЬ Со близкое к с , хотя в этом [c.229]

Метод обобщенных определителей Хнлла. Метод малого параметра приводит к простым формулам первого приближения типа (49)—(53) для границ главных областей неустойчивости. Уточнение этих формул, а также расчет побочных резонансов требует построения высших приближений. Эти приближения громоздки и плохо алгоритмизируются для численной реализации. К тому же метод становится ненадежным, если глубина модуляции параметров и (или) коэффициенты диссипации у/, не малы. Наконец, применение метода встречает затруднения при переходе к существенно неканоническим системам. [c.128]

Последующий анализ колебаний твердого тела, описываемых уравнениями (5), предполагает рассмотрение двух основных задач, каждая из которых может иметь самостоятельное значение. Первая задача состоит в определении условий возникновения так называемых пространственных нелинейных колебаний твердого тела [4]. Это такие связанные колебания изучаемой системы, которые возникают в условиях резонансов благодаря наличию нелинейных связей между обобщенными координатами данной системы В ряде случаев решение этой задачи сзоднтся к исследованию устойчивости некоторых резонансных вынужденных периодических или почти периодических режимов колебаний тел Вторая задача — это исследование релонансных характеристик пространственных колебаний твердого гела В математическом отношении вторая задача более трудна и сводится к построению указанных периодических или почти-пернодических решений, а также к изучению их устойчивости а областях неустойчивости равновесных состояний, или некоторых вынужденных режимов колебаний изучаемых систем. [c.267]

Реализация и трудоемкость алгоритма существенно зависят от топологии области неустойчивости на рассматриваемой части плоскости параметров. В общем случае область неустойчивости может быть многосвязанной (рис. 7.4.7). Отыскание границ в этом случад начинается с построения сетки шагом ДР -, ДРу, узлы которой [c.492]

На рис. 6.12 построены области неустойчивости для бесконечной цилиндрической оболочки с параметрами r//i= 100, 125,150 (кривые 1, 2, 3). Для времени t=0,48-10 2 заштрихованы области динамической устойчивости, определяемые условием p i (т) >pn2(t) для rlh=lOO (знаком (4-) указана область динамической устойчивости, знаком (—) область, где движение неустойчиво). Здесь же для отношения г//г=125 построены области для оболочки со свободными краями (кольцо — посредине оболочки). Цифрами 4, 5, 6 обозначены кривые для оболочек безразмерной длины =1, 2, 3 il=LI2r). Как видно, здесь длина оказывает незначительное влияние на вид областей устойчивости. На рис. 6.13 для г//г=125 построены области устойчивости для защемленной оболочки. Кривая 2 характеризует область устойчивости для бесконечной оболочки, кривые 7, 8, 9 — для защемленных оболочек безразмерной длины 1=1, 2, 3. В данном случае длина оболочки играет существенную роль при построении областей динамической устойчивости. С уменьшением длины эти области уменьшаются, что связано с резким увеличением жесткости системы. Для времени т = 0,48-10 2 для g = 2 соответствующие области заштрихованы. Для =1 во всем диапазоне чисел п Рп1 (т) >Рп2(т), т. е. движение оболочки при заданном импульсе устойчиво. При расчетах принято = 6,6-10 Н/м с = = 5 10 м/с- Do= 7 м/с /=2,81 10- м (кольцо прямоугольного сечения единичной ширины высотой 0,015 м) R = 0,75 м ц = 0,3. [c.217]

Метод построения границ основных областей неустойчивости [7]. Границы областей, которьп в формуле (38) отвечают згачения п = = 1,3,. . ., определяют нз уравнения [c.361]

Величина сдвига зависит от отношения амплитуд возмущений Са, при т фт и основного течения и может быть незначительной, если эти отношения пренебрежимо малы. Например, при /п= 1, как видно из рис. 14, течение носит ярко выраженный одновихревой характер без каких-либо мелкомасштабных возмущений. Поэтому соответствующие области неустойчивости, приведенные на рис. 16 и 20, почти совпадают. С ростом этих амплитуд сдвиг увеличивается. Если на фоне т-вихревой картины движения возмущено небольшое конечное число мод с т (это естественно при небольших числах Рейнольдса, как в экспериментах этой главы), то, согласно последним формулам, величина сдвига стремится к некоторому предельному значению. Это отражено на рис. 18, построенном по результатам экспериментов. [c.97]

Рассмотрим случай, когда подогрев слоя происходит со стороны свободной поверхности (5 = -1). Неустойчивость здесь также может возникать как монотонно, так и колебательным образом (фиг. 1, 3). Если свободная поверхность слабо деформируема, то характерное поведение нейтральных кривых иллюстрирует фиг. 1, построенная при е = 10 . Кривая 1 и часть кривой 3, лежащая ниже оси М = О, обозначают границу устойчивости равновесия относительно монотонно нарастающих возмущений, кривые 5,6- относительно осциллирующих. Существует еще одна нейтральная кривая для колебательных возмущений в области малых волновых чисел, которая не попадает в масштаб фиг. 1. Минимальное значение числа Марангони по абсолютной величине для этой кривой равно 2,9 10 , а неустойчивость реализуется в интервале волновых чисел О < а < 0,0164. Таким образом, эти кривая лежит внутри области неустойчивости, ограниченной кривой 1, и, следовательно, монотонные возмущения являются наиболее опасными при малых волновых числах. [c.10]

При значениях параметра выше критического (при котором i 2 = 0) система неустойчива. Это иллюстрируют кривые рис. 7, построенные для 7V = 4, га = 1,4. Сплошные линии соответствуют I = 10, пунктирные — i = 100. Средством возможного увеличения запасов устойчивости является увеличение N, что может представлять интерес в области низких I. На рис. 8 показано, как деформируются при этом границы устойчивости статических опор С2 (пунктирные линии) по сравнению с астатическими А2 (сплошные линии). Кривые построены для В = 2000 кгс, га = 1,4, ho = 5 см, = 0,1, i = 100 (штрихпупктирная кривая соответствует ho == 0,5 см). Влияние остальных параметров на динамические характеристики рассматриваемой системы остается прежним, т. е. таким же, как и для системы А2. [c.125]

Выше было установлено, что в типовых гидравлических следящих приводах с нелинейностями вида T v ) и p h, q) граничное подведенное давление рпг является границей между областью устойчивости равновесия, для (которой уравнение движения привода не дает периодических решений, и областями автоколебаний и устойчивости в малом , для которых это уравнение дает два периодических решения — устойчивое и неустойчивое, причем при граничном подведенном давлении рт оба периодических решения совладают по величине. Таким образом, граничное подведенное давление рпг может быть найдено в результате определения граничных условий совпадения амплитуды Ау устойчивых и Ан неустойчивых периодических решений уравнения движения гидра1влического следящего привода. Отыскание граничного подведенного давления Рт может быть осуществлено графическим способом по методике, изложенной в работе [71]. Такой способ нахождения решения, однако, громоздок и неудобен. Попробуем найти математическое выражение для граничного подведенного давления Рт привода, построенного по схеме на рис. 3.1 и имеющего управляющий золотник с открытыми щелями в среднем положении, из системы уравнений (3.40), первое из которых является квадратным, а второе — кубическим уравнением относительно амплитуды А периодических перемещений привода. Непосредственное аналитическое определение граничного подведенного давления рт из уравнений (3.40) произвести невозможно в связи с тем, что при отыскании его мы имеем дело с тремя переменными А, Q, рп, а уравнений в системе (3.40) только два. 152 [c.152]

Наиболее широкое применение получили водосливы криволинейного очертания, построенные по форме сво-бодно падающей струн. Если на гребне водослива под струей создается область пониженного давления, водослив является вакуумным, в противном случае — безвакуумным. Вакуум увеличивает пропускную способность водослива, но создает неустойчивый характер переливания струи, что может привести к разрушению водосливной грани. [c.287]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...