Определитель возмущения

БН—борелевский носитель ВО—волновой оператор МР—матрица рассеяния ОВ—определитель возмущения п.в.—почти везде ПИ— принцип инвариантности ФСС—функция спектрального сдвига. [c.9]

Функцию спектрального сдвига для пары самосопряженных, (или унитарных) операторов удобно вводить через определитель возмущения для этой пары. Свойства определителей возмущения изучаются в 1. Теория ФСС для ядерных возмущений самосопряженных операторов строится в 2-4. В 5, [c.328]

Определитель возмущения (ОВ) естественно рассматривать для произвольных замкнутых операторов Ао и А без предположения об их самосопряженности (или унитарности). Через р А) обозначаем множество регулярных точек оператора [c.329]

Пусть V Ao) = (А) и VRo z) е i для какой-либо точки 2 G р(Ао) Тогда в силу тождества Гильберта оператор VRo(z) будет ядерным при всех г G р(Ао). Определитель возмущения для па,ры операторов Ао,А вводится равенством [c.329]

Остановимся здесь специально на случаях самосопряженных и унитарных операторов. Для самосопряженных операторов Ао — Но VI А Н определитель возмущения (1) голоморфен по Z и не обращается в нуль в верхней полуплоскости. Для изучения его поведения при Imz оо нам понадобится элементарная [c.331]

Обсудим теперь обобщение понятия определителя возмущения на случай операторов, для которых ядерной является лишь разность резольвент. Ограничимся при этом рассмотрением самосопряженных операторов Яо,Я. Через [c.333]

Остановимся еще на некоторых модификациях понятия определителя возмущения. Предположим сейчас, что возмущение представлено в виде произведения V = О Со, где сомножители Со,С удовлетворяют при о б [1/2 = 1 -- о, условиям [c.334]

Отметим, что в силу равенства (1.7.17) при VRq G регуляризованный определитель возмущения выражается через обычный [c.335]

Пусть V = Я — Яо Е 1 и определитель возмущения = Он/Но ) задан равенством (11). При 1тг ф О функция В(г) голоморфна и 0 г) ф 0. Согласно (110) условием 1пВ г) — О при 1тг — оо в верхней и нижней полуплоскостях фиксируются однозначные ветви аналитической функции пП(г). При этом из (1.11) вытекает, что [c.337]

О Достаточно сложить представления (4) для 1п Вн /Но( ) и Ы/ я/яД ) и применить теорему умножения определителей возмущения (1.2.). Кроме того, надо учесть (см. замечание 3) единственность [c.340]

О При А = А Е />о П /> определитель возмущения 0 ) веществен и не равен нулю. Поэтому значения функции (5) на ро р целочисленны. Кроме того, на каждом из составляющих интервалов открытого множества ро р функция 0 Х) непрерывна. Тем самым на этих интервалах ФСС (А) также непрерывна, а следовательно, и постоянна. Вычислим теперь скачок (А) при переходе через А1. Согласно свойству 4 1 определитель возмущения В г) имеет в точке А1 полюс (или нуль) порядка ко — к (соответственно к — ко)). Лля доказательства (18) нужно лишь применить принцип аргумента и учесть симметрию 0(г) = 0(г). [c.341]

Для распространения (2.1) на достаточно произвольные функции будем исходить из представления (2.4) для логарифма определителя возмущения. Прежде всего проверим (2.1) в частном случае /(А) = (А — 2 ) , 1тг / О, п = 1,2---- [c.342]

Что касается представления вида (2.4) для определителя возмущения, то оно переносится на унитарный случай и имеет вид [c.353]

В этом пункте будем считать, что, как принято в 5, ФСС т а, а следовательно и (а, определены по модулю целых чисел. Такую ФСС можно выразить через обобщенный определитель возмущения (1.16) пары Яо,Я. Именно, из второго равенства (5.14) следует, что [c.370]

Тогда по теореме 2.1 для новой пары Но,1г существует ФСС (/х /I,/1о), строящаяся через определитель возмущения В /Но С) по формуле вида (2.5). При этом для любой функции д из указанных в 3 (например, в теореме 3.3) классов справедливо представление вида (2.1) для Тг[у(/г) — д Ьо)]> В терминах исходной пары это означает, что верна [c.391]

Нетрудно убедиться в том, что если в системе не могут возбуждаться колебания на частоте со с отличной от нуля амплитудой, то состояние покоя должно быть устойчивым. Для исследования устойчивости этого состояния используем известный метод возмущений, при котором необходимо потребовать равенства нулю следующего определителя [c.174]

Для исследования устойчивости прямолинейного полета при наличии возмущения каждого типа мы примем, как это обычно делается, независимые переменные пропорциональными количеству и определим возможные значения X. В случае уравнений (10) мы придем к определителю [c.173]

Определители пары однородных систем (7.34), приравненные нулю,— уравнения частот возмущенной системы они совпадают, отражая факт присутствия в спектре системы двукратных собственных частот. [c.133]

Для определения коэффициентов разложения С и Сг следует подставить (26.15) в исходную систему уравнений для возмущений, умножить на (г 1, Т, Н ) и (г г, Гг, Яг) и проинтегрировать. Пользуясь уравнениями для первого и второго решений, а также условием ортогональности этих решений (26.9), получим линейную однородную систему двух уравнений для С] и сг-Равенство нулю определителя этой системы дает квадратное уравнение для декремента в точке Мо -Ь ДМ. Решение этого уравнения можно записать в виде [c.185]

Д. Р. Меркин (1956) исследовал устойчивость линейной системы, находящейся под действием только гироскопических сил. Рассмотрением характеристического уравнения он доказал, что для устойчивости равновесия такой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы гироскопических коэффициентов 0. Показано также, что если на систему помимо гироскопических действуют и диссипативные силы с полной диссипацией, то положение равновесия всегда устойчиво в первом приближении. В. В. Румянцев (1957) показал, что положение равновесия нелинейной системы при указанных условиях асимптотически устойчиво по отношению к скоростям q i. В. М. Матросов (1959) обобщил эти результаты, доказав, что положение равновесия нелинейной системы устойчиво относительно qi и а всякое возмущенное движение асимптотически приближается к одному из положений равновесия qi = i, q = О, причем устойчивость сохраняется и при параметрических возмущениях. [c.38]

С теорией критических случаев устойчивости тесно связан вопрос о поведении динамических систем вблизи границ области устойчивости в пространстве параметров. Границей области устойчивости называется совокупность всех тех точек пространства параметров, в которых по крайней мере один из корней характеристического уравнения является критическим. Так, для линейной системы уравнений возмущенного движения с постоянными коэффициентами устойчивость может теряться либо когда по меньшей мере один из корней характеристического уравнения становится равным нулю, либо когда два корня становятся чисто мнимыми в этих случаях уничтожаются либо последний, либо предпоследний из определителей Гурвица. В первом случае уравнения возмущенного движения будут иметь новую последовательность равновесий, проходящую через отвечающую точку, а во втором — последовательность периодических движений (Н. Г. Четаев, 1946). [c.60]

Система уравнений (37) имеет тривиальное решение 1 = = - = = 2п— О, которое выражает возможность невозмущенной формы равновесия при любых значениях внешних сил. Для определения критического значения нагрузки следует предположить, что суш,ествует нетривиальное решение, соответствующее возмущенной форме равновесия, при которой не все перемещения 2,- равны нулю. Это возможно при условии, если определитель системы (37) обращается в нуль [c.43]

Теперь опишем все части с большей подробностью. Первая часть Общие методы не изменилась по содержанию, только исправлены некоторые недостатки и кое-где введены некоторые дополнения. А именно, в главу И прибавлены поясняющие примеры и введен дополнительный раздел, дающий понятие об устойчивости при постоянно действующих возмущениях и приведено доказательство теоремы Ляпунова о производном определителе, которая в 1-м издании дана без доказательства. Наконец, подробно рассмотрен важный пример Ляпунова составления характеристического уравнения для уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами. [c.7]

Асимптотика интегралов типа (30.8) определяется особенностями подынтегрального выражения. Если бы однородное уравнение, соответствующее (30.1), имело собственные функции, то одно и то же решение удовлетворяло бы граничным условиям как при х так и при х- В результате при собственных значениях частоты функциональный определитель И 4 обращался бы в нуль, а функция Грина имела бы полюс. Но однородное уравнение, соответствующее (30.1), не имеет собственных функций с 1т со О (теорема Релея). Поскольку, помимо того, полное уравнение четвертого порядка регулярно и, следовательно, его решения (а не их асимптотические представления ) также, регулярны, функций Грина не должна иметь особенностей. Отсюда следует, что все возмущения нри должны затухать, т. е. среду следует считать асимптотически устойчивой. Однако это не означает, что амплитуда начальных возмущений будет монотонно стремиться к нулю. Как мы увидим в следующем параграфе, начальные возмущения могут в течение некоторого-времени нарастать, и, вообще говоря, не исключено, что за это время их амплитуда достигнет значительной величины. [c.95]

В 17 и 19 мы подошли к зонной модели, рассматривая брэгговское отражение. Непрерывный спектр Е (Л) свободных электронов в периодическом поле ионов решетки расщепляется на зоны. В 19 наше рассмотрение было ограничено случаем слабых потенциалов. Только в этом случае можно считать V г) в уравнении Шредингера малым возмущением. В этом приближении зонная структура вытекает из решения секулярного определителя в первом приближении теории возмущений [c.124]

Если бы мы воспользовались для расчетов энергетической зон-Hon структуры псевдопотенциалом, мы немедленно пришли бы к секулярному определителю, совершенно эквивалентному тому, который мы получили в методе OPW. При этом псевдопотенциал будет фигурировать в виде матричных элементов по плоским волнам <к 4- q 1 W 1 к ). Теперь же мы будем пользоваться теорией возмущений, но поскольку волновые функции нулевого приближения — плоские волны, псевдопотенциал снова будет входить во все выражения через такие же матричные элементы. Мы примем для псевдопотеициала оптимизированную форму [c.118]

Более того, коль скоро Е(Х) — о(А) Е 61 для п.в. А и функция (2) принадлежит то /(Я) — /(Яо) Е 1 для любой / Е Со (Е) и имеет место формула (1). В действительности в теории ядерных возмущений оператор Е(Х) — о( ), как правило, не является ядерным. Причина этого—в негладкости характеристической функции (интервала (—оо,А)). Тем не менее соотношение (1) при некоторой функции оказывается выполненным. При этом ФСС можно построить через определитель возмущения / я/Яо( )- Свойства функции и объем класса допустимых функций / зависят от близости операторов Яо и Я. [c.336]

В этом пункте мы установим представление (2) при некоторой вещественной функции rj G L T). Напомним, что в силу леммы 1.3 при U — Щ Е определитель возмущения Z)( ) = Du/Uq ) 1 при I I —> оо и удовлетворяет соотношению симметрии (1.12). Ветвь nD Q при С > 1 зададим условием argD( ) О, I I оо, а при С < 1 ветвь 1пZ)( ) выберем произвольно. Лл. любой такой ветви [c.354]

Понятие определителя возмущения (1.1) имеет смысл при условии УЯо х) 1. Обсудим возможность представления его логарифма пО г) в виде (2.4). Согласно лемме 1.2 в случае VКо г) 61 ветвь логарифма можно фиксировать условием aгgJD(z) О при 1т,гг —> оо. Кроме того, при достаточно больших ао и всех х справедливо неравенство (1). Поэтому корректно определена (см. п. 1) не зависящая от а ФСС (Я, Яо). При одном условии УКо г) 61 правая часть (2) конечна лишь [c.376]

О Рвиду равенства симметрии (1.11), представление (2.4) достаточно проверить при 1т,2г < 0. Будем исходить из представления (7.14) для обобщенного определителя возмущения nDaiz). Напомним, что ветвь этой функции фиксируется уело-вием пОа а) = 0. На основании соотношений (1.20) и (3), где г = О, представление (7.14) можно преобразовать к виду [c.377]

К происхождению неустойчивости ударных волн в области (90,17) можно подойти также и с несколько иной точки зрения, рассмотрев отражение от поверхности разрыва звука, падающего на нее со стороны сжатого газа. Поскольку ударная волна движется относительно газа впереди нее со сверхзвуковой скоростью, то в этот газ звук не проникает, В газе же позади волны будем иметь, наряду с падающей звуковой волной, еще и отраженную звуковую и энтропийно-вихревую волны (а на самой поверхности разрыва возникает рябь). Задача об определении коэффициента отражения по своей постановке близка к задаче об исследовании устойчивости. Разница состоит в том, что наряду с подлежащими определению амплитудами исходящих от разрыва (отраженных) волн в граничных условиях фигурирует еще и заданная амплитуда приходящей (падающей) звуковой волны. Вместо системы однородных алгебраических уравнений мы будем иметь теперь систему неоднородных уравнений, в которых роль неоднородности играют члены с амплитудой падающей волны. Peuienne этой системы дается выражениями, в знаменателях которых стоит определитель однородных уравнений,— как раз тот, приравнивание которого нулю дает дисперсионное уравнение спонтанных возмущений (90,10). Тот факт, что в области (90,17) это уравнение имеет веш,ественные корни для os 0, означает, что существуют определенные значения угла отражения (и тем самым угла падения), при которых коэффициент отражения становится бесконечным. Это — другая фор- [c.476]

Для К. — де Ф. у. найдены точные решения разл. вида, одно из осн.— солитон, или уединённая волна, и 2к h (к x—A-K l — амплитуда солитона и положение его центра xq — произвольные постоянные. Убывающее при х оо нач. возмущение, эволюционируя согласно К.— деФ. у., распадается на ряд невзаимодействующих солитонов, распространяющихся влево, и на осциллирующий и затухающий фон, распространяющийся вправо. Поведение решения при t- oo вычисляется по нач. данным. При помощи обратной задачи рассеяния метода можно найти для К,— де Ф. у. бесконечные наборы точных решений, простейшим является jV-солитовное и 2дЧиА/дх , где Д — определитель матрицы Д// = % + -Щ (х/ + ку)-1 ехр [— (я,- + xj) X +8х г], [c.468]

В этой исключительно ясно и просто написанной работе дается законченное изложение всех вопросов, связанных с задачами канонических преобразований и с задачей интегрирования уравнений Гамильтона методом отыскания полного интеграла. Обпще положения развиваемой им теории Донкин прилагав к установлению уравнений теории возмущенного движения. В своем изложении предмета Донкин широко пользуется функциональными определителями и скобками Пуассона, устанавливая для них новые соотношения и формулируя получаемые теоремы с помощью этих скобок. [c.26]

Магнитное квантовое число 38 Магнитный дипольный момент 259 Матрица дипольного момента 271 индуцированного дипольного момента 275 Матричные элементы составляющих тензора полиризуемости 275. 279, 288, 291, 469 функции возмущения 234, 237 электрического дипольного момента 44, 71, 274, 288, 443 Мгновенная ось вращения асимметричных волчков 57 симметричных волчков 36 сферических иолчков 51 Междуатомные расстояния асимметричных волчков 519 изотопических молекул 424.466 линейных молекул 34, 192, 423 симметричных волчков 428, 466 тетраэдрических молекул 486 Механические модели для решения задачи о колебаниях 176 Миноры векового определителя, определение формы нормального колебания 83,87. 161, 164, 169, 172, 176 Множитель Больцмана 271, 283, 28Э Множитель, обусловленный ядерным спином, во вращательной части статистической суммы 539, 553 Модели молекулы, механические, для изучения колебаний молекулы 78,176 Модель потенциальной поверхности 219 Модификации, не комбинирующие асимметричных волчков 67, 498 влияние на термодинамические функции 538, 544, 553 линейных молекул 29 симметричных волчков 41—43, 444 тетраэдрических молекул 53, 482 Молекулы [c.604]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...