Определители Свойства

Основные свойства определителя. Свойство 1 (равноправие строк и столбцов), при транспонировании матрицы ее определитель не меняется, т. е. det Л = det/1. Это свойство свидетельствует о полном равноправии строк и столбцов определителя. Следовательно, если некоторое утверждение справедливо относительно столбцов определителя, то аналогичное утверждение справедливо и для его строк. Поэтому в последующем все свойства сформулированы только для столбцов. [c.127]

Первую группу составляют задачи, связанные с определением метрических свойств положения данной фигуры относительно плоскостей проекций (расстояние, угол), определяющие параметры положения фигуры. Например, положение точки относительно плоскостей координат (проекций) определяется ее координатами, положение прямой можно определить координатами ее следов на плоскостях проекций или координатами следа на какой-либо плоскости проекций и углами наклона к двум плоскостям проекций. В случае задания плоскостей и поверхностей в качестве параметров положения выступают метрические характеристики определяющих их элементов (геометрической части определителя поверхности). Например, сфера имеет три параметра положения — координаты се центра. За параметры положения плоскости можно принять три отрезка, отсекаемые плоскостью на осях системы координат. [c.145]

Произвольная кривая Z, лежащая на поверхности и пересекающая все ее параллели, может быть принята за образующую поверхности. Это свойство образующей используется в дальнейшем для построения проекций точек, принадлежащих поверхности вращения. Так, для построения второй проекции точки, лежащей на любой поверхности, применяется общий прием, состоящий в том, что через заданную проекцию точки проводится линия, принадлежащая к одному из двух семейств линий на поверхности. Линия одного или другого семейства выбирается исходя из ее графической простоты (например, для линейчатых поверхностей используются их прямолинейные образующие). Эти рассуждения тесно связаны с критерием графического задания поверхности вращения ее определителем Ф(г, q), состоящим в задании проекций образующей поверхности и ее оси. Приведем алгоритм решения следующей позиционной задачи. [c.87]

Поверхность однополостного гиперболоида обладает одним замечательным свойством направляющие d,, dj, d, можно принять за образующие, а образующие g,, g считать направляющими, при этом получится та же самая поверхность, т. е. определители [c.99]

На рис. 156 поверхность параллельного переноса задана на эпюре Монжа. Для того чтобы перейти от задания поверхности проекциями ее определителя (красные линии) к заданию поверхности каркасом достаточно на кривой d d, d ) наметить ряд точек Ai(A iA l), А2 (A A i),. .., An (А пА п )через эти точки провести кривые g2,. ... .., g n, параллельные кривой g. Проведение проекций параллельных кривых сводится к проведению параллельных линий. Это следует из свойства параллельного проецирования, состоящего в том, что проекции равных и параллельных отрезков равны и параллельны. На рис. 156 такими отрезками являются стороны параллелограмма A A A A i, аппроксимирующего участок криволинейной поверхности отсеком плоскости. Из чертежа видно, что образующую и направляющую можно поменять местами. Если за образующую взять кривую d, а за направляющую кривую , то мы получим ту же самую поверхность параллельного переноса. [c.111]

Первые три равенства сразу следуют из свойств определителей, входящих в формулу (29), а равенство 4" непосредственно проверяется по этой формуле i). [c.268]

Функциональные определители (9.5) широко применяются в термодинамике для преобразования частных производных. Не вдаваясь о теорию определителей Якоби (см., например, [И]), перечислим некоторые их важные для практического применения свойства. [c.77]

Выражение (23) можно получить непосредственно из свойств векторного произведения, если представить векторное произведение определителем третьего порядка [c.63]

По свойству взаимности определителя можно приравнять элементы его первой строки алгебраическим их дополнениям, т. е. положить [c.122]

При составлении определителя использовались свойства коэффициентов 612=621, с 2 2г 612= —624. = — Сг - Развернув определитель (6), [c.294]

В заключение отметим, что применение термодинамики к решению различных физических задач сильно облегчается использованием свойств якобианов (определителей Якоби). Это связано с тем, что обычные частные производные, а они входят во многие термодинамические соотношения, представляются в виде якобианов. [c.111]

В первом случае по свойствам определителя [c.206]

Развертывая определитель и учитывая свойства парности касательных напряжений, находим [c.44]

Отсюда на основании хорощо известных свойств определителей вытекает, что О может быть написано в виде [c.399]

Произведем замену переменных. Тогда, если У1, Уг,. ... Уп — новые переменные, то по известному свойству функциональных определителей получим [c.401]

Разделим на Z) и (пользуясь свойствами функциональных определителей) примем во внимание соотношения [c.295]

Отметим некоторые свойства определителя Якоби [c.460]

Схема рождения и смерти обладает рядом математических свойств, определяемых специальной формой определителей соответствующих систем уравнений. [c.174]

Из представления векторно-скалярного произведения в виде определителя вытекают следующие его свойства [c.11]

Соотношения (33.5) и (33.6) вытекают также из свойства адъюнкт определителя Д. Если, наоборот, значения (33.4) для q вставим в выражения (33.3), то правые части должны тождественно обратиться в р отсюда опять получаются соотношения (33.5), а также следующие [c.340]

Вводные замечания. В ряде случаев исследование колебаний систем как с конечным, так и бесконечным числом степеней свободы описанными выше точными методами затруднительно вследствие большой математической сложности, состоящей либо в том, что дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициенты, если, например, балка имеет неравномерное распределение масс и жесткостей вдоль оси, или в том, что порядок характеристического определителя очень высок и сложно не только решить характеристическое уравнение, но даже и составить его, т. е. раскрыть определитель. Встречаются случаи, в которых требуется быстрая, хотя бы и приближенная оценка динамических свойств системы. В перечисленных выше случаях приходится использовать или целесообразно использовать приближенные методы динамического анализа систем, состоящего в определении собственных частот колебаний, в установлении форм свободных колебаний, определении динамических коэффициентов и в проверке динамической прочности. В настоящем параграфе и рассматриваются такие методы. [c.238]

Определитель матрицы А обладает свойством [c.43]

Из формулы (2.32) и свойств определителя следует, что [c.43]

Из свойств определителя следует, что собственные значения матриц А и А совпадают. Для матрицы А можно построить матрицу V, столбцы которой являются собственными векторами матрицы А. Можно показать, что справедливы зависимости [59] [c.46]

Поскольку условие (7.12) выполняется и определитель матрицы не равен нулю, то свойство (3) оказывается доказанным. [c.195]

Отметим здесь еще одно свойство, присущее системам с фрик> ционной связью. Спектр собственных частот таких систем состоит из наложенных друг на друга спектров парциальных систем по обе стороны от фрикционной связи. Это вытекает из того, что в определителе Я (о>, содержащем в себе только собствен" ные элементы системы, будут пустовать все побочные ячейки между парциальными определителями, а следовательно, он может быть представлен по Лапласу через произведение двух последних [c.71]

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯХ И ИХ СВОЙСТВАХ [c.14]

Для вычисления определителей порядка п >3 эти правила не пригодны. Способ единственного деления — наиболее распространенный способ вычисления определителей п-го порядка с числовыми элементами, основан на использовании следствия 2 (см. 6-е свойство определителей). [c.17]

Отметим некоторые свойства ортогональных и унитарных матриц. Унитарная матрица ортогональна лишь в случае, если она действительна ортогональная матрица не вырождена, и ее определитель равен 1. [c.26]

При составлении определителей использовано свойство эрмитов-ской симметрии ядра. Поэтому все подынтегральные функции будут вещественными. [c.68]

При вычислении определителей полезны следующие два свойства их. [c.114]

ОБЗОР ТЕХ СВОЙСТВ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ, КОТОРЫМИ ПОЛЬЗУЮТСЯ В ТЕОРИИ ПОСЛЕДНЕГО МНОЖИТЕЛЯ. [c.75]

Это выражение определителя через произведение определителей низшего порядка было помещено впервые в Парижских- мемуарах от 1772 г. в одной из статей Лапласа относительно мировой системы. Лаплас и Крамер в Женеве были вообще первыми, исследовавшими должным образом свойства определителей. [c.77]

Могут быть рекомендованы и другие способы определения частот собственных колебаний, например, метод С. М. Бернштейна [Л. 19], предложенный им на основе исследования спектральных свойств определителя (8). Этот способ позволяет определить верхнюю и нижнюю границы искомой частоты собственных колебаний с любой степенью точности. [c.46]

Второе издание подверглось значительной переработке. При подготовке рукописи к изданию были учтены отзывы и предложения, полученные сштором от читателей и относящиеся как к содержанию, так и объему некоторых разделов учебника, в частности внесены изменения в систему обозначений проекций геометрических фигур строже изложен вопрос, касающийся инвариантных свойств ортогонального проецирования, и более четко подчеркнута их роль в создании теоретической базы курса начертательной геометрии подробнее изложен материал, связанный с определителем поверхностей, и уточнена построенная на его базе систематизация наиболее распространенных видов поверхностей внесены уточнения в классификацию позиционных и метрических [c.6]

Для расчета термодинамических свойств, не (входящих непосредственно в фундаментальное уравнение, используют условие равенства вторых смешанных производных (4.10) и некоторые другие математические соотношения и методы. Так, очень часто возникает потребность перейти от одного набора независимых переменных к другому. Для этой цели удобно применять метод функциональных определителей Якоби. Пусть, например, требуется заменить переменные хи.. .,Хп на новые леременные уи...,уп. Это означает, что каждая из у (i = = 1,...,л) может рассматриваться как функция старых переменных yi = yi(xi,..., Хп), причем все у,- должны быть независимыми между собой. Дифференцирование функции у,- дает систему п линейных относительно dxj (/= ,...,л) уравнений [c.77]

Во-вторых, ограничения пригодны только для таких изменений состояния системы, при которых меняются интенсивные свойства фаз, так как иначе частные производные сопряженных переменных либо тождественно равняются нулю, как, например, (dPjdV)T при равновесии жидкость—пар в однокомпо-нентной системе, либо не существуют (бесконечны), как, например, Ср при температуре плавления индивидуального вещества. В гомогенных системах такие процессы также должны учитываться, что делалось выше при выборе и обосновании знака неравенства (12.29), но они, как нетрудно заметить, не влияют на ограничения (13.9) — (13.11) и другие, которые получаются из (12.29) при условии постоянства хотя бы одной из термодинамических координат системы. Этим исключается влияние процессов, единственным результатом которых было бы изменение массы системы. Так, неравенства (13.9) — (13.11), (13.21) относятся к закрытым системам и для их вывода важно знать значение не полного определителя формы (12.29), а его главных миноров. Последние должны быть определены положительно в термодинамически устойчивой системе (см. примечание на с. 123). [c.128]

Метод численного определения фундаментальной матрицы решений К " изложен в 2.1. Если свойства системы уравнений таковы, что среди элементов фундаментальноой матрицы есть быстрорастущие элементы (точнее, элементы — частные решения, содержащие быстрорастущие части), то компоненты вектора из краевых условий при е=1 будут определены с большой ошибкой [из-за плохой обусловленности определителя системы алгебраических уравнений, зависящего от элементов матрицы К "Ч1)]- [c.87]

Теперь мы можем докавать следующее весьма важное свойство множителя М если известно значение множителя Л1 для системы (40.1), то мы найдём множитель для системы (40.16), полученной выше упомянутым способом при преобразовании системы (40.1) к новым переменным, если УИд умножим на определитель [c.431]

Матрицы и определители. Теория размерности основана на теореме, впервые доказанной Букингэмом и иногда называемой я-тео-ремой. Чтобы понять эту теорему, необходимы некоторые познания из области элементарных свойств матриц ). [c.450]

Определители и-го порядка сводят к определите-, лям 3-го или 2-го порядка, применяя свойство 8 необходимое число раз предварительно определитель преобразуют, пользуясь остальными свойствами, преимущественно свойством 7, чтобы об-> ратить в нуль возможно большее число элементов. [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...