Доказательство эргодической теоремы

Доказательство эргодической теоремы............313 [c.9]

Доказательство эргодической теоремы [c.343]

Множество Ks- Перейдем теперь к доказательству эргодической теоремы. Доказательство проведем в два этапа. Сначала докажем, что величина fig (р) почти для всех точек Р множества Q стремится к некоторому пределу, когда параметр Ъ растет до бесконечности, принимая целые значения. Затем мы от этого ограничения откажемся и докажем, что предел существует и тогда, когда Ь стремится к бесконечности, возрастая непрерывно. [c.444]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ ВТОРОЙ ЭТАП 447 [c.447]

Доказательство эргодической теоремы второй этап. Теперь нам остается доказать, что величина Р) стремится к пределу и в том случае, когда Ь растет до бесконечности, изменяясь непрерывным образом. [c.447]

Теперь легко получить доказательство эргодической теоремы для случая, когда оо, изменяясь непрерывным образом. [c.448]

Доказательство эргодической теоремы о том, что существует временная вероятность р такая, что точка Р траектории общего положения лежит в заданном объеме v многообразия М, имеет параллели с вышеуказанной теоремой о возвращении, как будет видно в дальнейшем. [c.343]

Доказательство эргодической теоремы 345 [c.345]

Доказательство эргодической теоремы 347 [c.347]

Суть проблемы состоит в обосновании принципа равной вероятности состояний. Многих физиков не удовлетворяет доказательство эргодической теоремы, о котором говорилось в гл. 1, 3, и отступлении 4. Математическое доказательство теоремы носит слишком общий характер и не использует характерные физические свойства тех динамических систем, которые рассматриваются в статистической механике. Поэтому мы склонны думать, что в этом доказательстве в действительности упущены какие-то основные свойства физических систем, благодаря которым статистическая механика оказывается справедливой. Можно предполагать, что соответствие между реально наблюдаемыми величинами и значениями, вычисленными при помощи теории вероятности, объясняется огромным числом частиц, из которого состоят реальные системы. Хотя такое интуитивное соображение, возможно, и верно, полной ясности в этом вопросе пока еще нет. [c.191]

Рассмотрим фазовую функцию х 1), т. е. функцию, зависящую от времени через динамические переменные, определяющие состояние, или фазу системы. Если фазовые корреляционные коэффициенты р(т), связывающие х (О и х(/- -т), обладают свойством р(т)->0 при т->оо, то функция х (/) есть эргодическая, т. е. ее среднее по времени равно ее фазовому среднему (по поверхности постоянной энергии) для почти всех начальных условий на поверхности постоянной энергии в фазовом пространстве. Фактически для доказательства эргодической теоремы необходимо показать, что корреляционная функция р(т) ведет себя именно нужным образом. Хинчин приводит интуитивные соображения, подтверждающие такое поведение x t) для случая, когда х 1) представляет собой фазовую функцию, зависящую от небольшою числа динамических переменных (координат одной молекулы), в системе с очень большим числом степеней свободы, т. е. с очень большим числом молекул. Однако необходимое свойство корреляционной функции является характерным для необратимого процесса, и его следует установить вполне строго, прежде чем доказывать таким путем эргодическую теорему. Мы исследуем здесь возможность обращения теоремы Хинчина, т. е. изучим, когда и при каких дополнительных условиях из эргодического характера фазовой функции следует ее необратимость, выражаемая асимптотическим поведением корреляционной функции р(т)->0 при т->оо. Это означает, что мы хотели бы изучить возможность получения статистической механики необратимых процессов, исходя из эргодического постулата, точно так же, как это делается в статистической механике равновесных процессов. В этой связи нас не интересует, является ли эргодическое свойство общим динамическим свойством или оно справедливо лишь в том случае, когда [c.305]

Несмотря на то, что опубликовано уже много работ, посвященных выяснению связи физической статистики и квантовой механики, до сих пор не внесена ясность в вопрос о том, в какой мере решена эта задача. Во всяком случае, в этом отношении нет никакого единогласия. До сих пор никто не предложил полной программы тех вопросов, которые должны быть выяснены для решения проблемы обоснования статистики никто не показал, что предложенные схемы, в частности те квантовомеханические схемы, которые могут рассматриваться как доказательства jff-теоремы, эргодической теоремы и других, дают все, что необходимо для обоснования статистики. В частности, никто не установил, каким образом квантовомеханические понятия, фигурирующие в этих схемах, переходят в понятия макроскопических опытов, имеющие существенно классический характер (в том смысле, что для соответствующих величин размерности действия — постоянная h пренебрежимо мала). [c.134]

Доказательство. Из эргодической теоремы следует, что ц(й (ц))=1. По теореме 1 Л(/, й(ц) )> Ац(/). Так как G ) QR(h (f)), из теоремы 2 получаем обратное неравенство. [c.192]

Доказательство. Применяя эргодическую теореме Биркгофа 4.1.2 к log С(а ) для почти каждого х еХ, получаем [c.659]

К такому результату, непосредственно не вытекающему пз содержания самой эргодической теоремы, можно прийти после внимательного анализа доказательства Биркгофа, если учесть свойства непрерывности групп преобразований х (которые всегда гарантируются благодаря условиям, налагаемым на правые части исходных дифференциальных уравнений) ). [c.114]

Таким образом, крайние точки множества ЗЛ(/) — эргодические меры. Мы уже использовали понятие крайней точки в доказательстве теоремы Перрона — Фробениуса 1.9.11 в конечномерном случае. Множество 9Л(/) в общем случае бесконечномерно. Докажем теперь существование крайних точек. [c.149]

Теперь нетривиальные инвариантные относительно потока меры определяются их асимптотическим циклом, т. е. мы получаем инъективное отображение пространства эргодических мер на множество асимптотических циклов. Это отображение аффинно, и потому взаимно сингулярные меры соответствуют линейно независимым точкам, как в доказательстве теоремы 14.7.6 следовательно, образ содержится в этом -мерном подпространстве, так что имеется не более чем д различных эргодических мер. [c.491]

Доказательство. Согласно вариационному принципу для энтропии (теорема 4.5.3) существует такая /-инвариантная борелевская вероятностная мера ц, что )>0. Пусть — разложение на эргодические компоненты меры /х по [c.665]

Доказательство теоремы Д 2.13. В силу условия (Д 2.5) мы можем считать, что мера ц эргодическая, откуда хЛх) = Х< постоянно почти всюду. Зафиксируем т > О и, используя компактность, найдем такое число что для О < й < [c.665]

В гл. XXII дается доказательство эргодической теоремы, но фундаментальная эргодическая теорема динамики является лишь отправной точкой для хорошо разработанной в настоящее время абстрактной теории. Хопф в своей работе [47] 1937 г. цитирует более пятидесяти работ по эргодическо теории, и это число к настоящему времени выросло в огромной степени ). Ни одно сочинение но механике не будет полным без задачи трех тел — проблемы, оказавшей на развитие этой науки, по-видимому, большее влияние, чем любая другая. [c.12]

Доказательство эргодической теоремы первый этап. Для величин, связанных с максимальными отрезками ранга s, а 0 с, Ь (лемма 5), удобно ввести новые обозначения. Пoлoн им [c.446]

Книга Дж.Биркгофа Динамические системы наряду со знаменитым сочиисписм Пуанкаре Новые методы небесной механики оказала решающее влияние на современное развитие теории дифференциальных уравнений и аналитической динамики. Изданная на русском языке в 1941 ( ) году, она давным давно стала библиографической редкостью. Поэтому мы решили переиздать книгу Биркгофа, добавив две его работы, содержащие доказательство эргодической теоремы. По словам И. Винера (кстати сказать, не любившего Биркгофа по причинам, которые он сам объяснил в своих воспоминаниях) эти работы — поразительное свидетельство пробивной силы Биркгофа. Он занялся эргодической теоремой без всякой предварительной подготовки, не обладая никакими специальными знаниями в области интеграла Лебега и даже не особенно им интересуясь. Несмотря на это, руководствуясь только своей математической интуицией, ои сумел получить одну из важнейших теорем, вплоть до настоящего времени занимающую центральное положение в теории интеграла Лебега. [c.10]

Используя предположения предыдущей задачи, перейдем теперь к упрощенному доказательству эргодической теоремы, т. е. к доказате.тгьству того, что средние по времени равны средним по ансамблю [1]. Рассмотрим фазовую функцию / Р), являющуюся функцией фазовых точек Р в Г-пространстве. Ее среднее по времени /, являющееся физически измеримым средним, определяется выражением [c.611]

Доказательство. В этом случае спектральное разложение имеет вид Ai = Q = Qo. Пусть еСШ). По эргодическо теореме существует функция g такая, что [c.87]

Эта работа может рассматриваться как скромный шаг к более честолюбивой цели описания теории неравномерно гиперболических динамических систем в современной форме с синтетической точки зрения, основанной на технических методах, использующих е-редуюдаю (см. п. Д 2. г), регулярные окрестности и допустимые многообразия. Основы этого проекта заложены в наших неизданных и незаконченных заметках Гладкая эргодическая теория , которые были доступны лишь узкому кругу специалистов. Эти заметки содержат весь материал представленной работы в общем случае, включающий законченное доказательство мультипликативной эргодической теоремы. Кроме того, в них содержится обширная коллекция классов примеров, более полный анализ регулярных окрестностей, включающий оценки объема, доказательство локальной эргодичности и мат иал, касающийся семейств устойчивых и неустойчивых многообразий. В настоящий момент трудно предсказать будущее этого проекта. Мы надеемся, однако, вернуться к нему, налагая гладкую эргодическую теорию, даже в более широком контексте. [c.657]

Отметим, что в то время, как теорема о типичности правильности вперед или назад является простым следствием субадди-тивной эргодической теоремы, доказательство типичности правильности по Ляпунову требует дополнительных специальных соображений. [c.24]

Данное обстоятельство приводит к тому, что дальнейшее исследование эргодических свойств биллиардов, по сравнению с гладкими равномерно полно гиперболическими системами (см. гл. 7, 3), значительно усложняется. В самом деле, для последних систем сразу можно доказать эргодичность. Это делается с помощью метода, впервые примененного Хопфом (Е. Hopf) для доказательства эргодичности геодезического потока на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Идея этого метода состоит в том, что для почти всех точек Х и Х2 фазового пространства рассматриваемой системы строится конечный набор W4, W , Л.У1А и ЛНМ (цепочка Хопфа) такой, что Wfdxi, и где y = i l. Тогда из эргодической теоремы Биркгофа—Хинчина, (см. гл. 1, 2) легко выводится, что точки Xi и Х2 принадлежат [c.183]

Предположение о равновероятности микросостояний поверхности заданной энергии (так называемое эргодическое распределение) было отвергнуто нами на основании непосредственного сопоставления его с опытом и, в частности, на основании сравнения с опытом определяемой этим предположением вероятности обнаружить неравновесное состояние. Сопоставление с опытом может быть проведено и несколько иным путем. Равномерное на поверхности заданной энергии распределение вероятностей, как известно, стационарно. Следовательно, математическое ожидание любой, относящейся к рассматриваемой системе величины, являющейся функцией состояния, не изменяется со временем. Между тем, ZT-теорема указывает на возрастание энтропии. Именно этот аргумент был выдвинут в свое время Цермело [4], рассматривавшим его как доказательство невозможности молекулярно-кинетического истолкования второго начала (аналогично предыдущему этот аргумент может быть усилен при помощи соединения его с законом больших чисел). Об этом доводе Цермело мы упоминали в 3. Мы отметили там также, что рассуждения Цермело должны быть дополнены совершенно новыми аргументами. [c.78]

Теорема об усреднении неявно встречается уже в работах Лапласа, Лагранжа и Гаусса по небесной механике она является одной из первых эргодических теорем . Строгое доказательство дали лишь в 1909 г. П. Боль, В. Серпинский и Г. Вейль в связи с задачей Лагранжа о среднем движении перигелия Земли. Ниже воспроизведено доказательство Г. Вейля. [c.252]

Доказательство леммы 4.2.4. Так как для каждого множества нулевой меры р его / [-и /х -меры также равны нулю, по теореме Радона — Никодима меры и р могут быть заданы плотностями и относительно р, т. е. J dp = p.ip dp, г = 1, 2. По условию Apj -f- (1 — A)pj = U I Pi dp = P2 dp = и Pi pj. Следовательно, p ф onst, и, поскольку pi — /-инвариантная функция из пространства L , мера р не может быть эргодической. [c.158]

Доказательство следствия. Рассмотрим отображение / вида f(x, у) = х- -а, y- -tp(x)), где tp — функция, построенная в предложении 12.6.3. По предложению 4.2.5 для отображения / имеется несчетное множество различных эргодических инвариантных мер в частности, у этого отображения есть неэргодические инвариантные меры. Если бы / не было минимальным, по предложению 4.2.6 мы имели бы tp(x) = lj(x- -a)— lj(x)- -r для некоторой непрерывной функции ф 5 -+R и reQ. Но тогда для F = rjj —Ф имело бы место равенство F(x- -a)-F(x) — r, причем г О, поскольку иначе F = onst из эргодичности R , что невозможно, так как функция Ф разрывна. Таким образом, мы можем предполагать, что г > О (сл ай г <0 рассматривается аналогично). Тогда i (x+ а) = F(x) - -г > F x) для всех xeS. Но существует множество А =F (—tx, с) положительной меры, что противоречит теореме Пуанкаре о возвращении 4.1.19. [c.422]

Д 2 д. Неравенство Рюэля. В этом пункте будет доказан фундаментальный результат эргодической теории диффеоморфизмов, известный как неравенство Рюэля, хотя следует упомянуть, что Маргулис доказал его ранее для случая преобразований, сохраняющих объем. Этот реэтльтат связывает метрическую энтропию с суммой положительных показателей Ляпунова и оказывается очень полезным инструментом в доказательстве существования мер, у которых имеются ненулевые показатели. Важность этого неравенства основана на непосредственно вытекающем из него утверждении о том, что если топологическая энтропия диффеоморфизма отлична от нуля, то существует мера, некоторые показатели которой положительны. В случае поверхностей отсюда следует, что показатели отличны от нуля. Подчеркнем, что, как было несколько раз отмечено в гл. 8, положительность топологической энтропии может быть установлена различными методами. Для применения некоторых из этих методов достаточно лишь топологической информации (теорема 8.1.1, следствие 8.1.3, теорема 8.3.1). [c.665]

Метод, используемый в доказательстве теоремы 12.6.1, был впервые предложен Аносовым и Катком в [19]. Среди его приложений были первые конструкции эргодических диффеоморфизмов с инвариантной мерой иа произвольных многообразиях, конструкции минимальных и вполне эргодических диффеоморфизмов многообразий, допускающих локально свободное действие 5, и т. д. Гамильтонов вариант метода представлен в [136]. Позже Эрмаи и Йоккос разрабатывали этот метод и использовали его для нахождения инвариантных торов с нестандартными свойствами для типичных возмущений вполне интегрируемых гамильтоновых систем. [c.731]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...