Степени свободы конечного пространства конечных элементов

Перейдем к изучению дискретных функционалов, в которых переменная А аппроксимируется суммой конечного числа членов. Так как рассматривается концепция метода конечных элементов, выберем аппроксимацию в виде (5.5а), т. е. А= L N J А . Для простоты рассмотрим случай одной переменной А. Случай, когда рассматривается поле переменных (например, А= и V w J), изучается аналогичным образом. При изучении свойств дискретного функционала полезно представить его в виде поверхности в (п+1)-мерном пространстве, где п ортогональных координат отвечают п степеням свободы Ах, Да,. . ., А , а на (п+1)-й оси откладываются значения функционала П( А ). Каждая точка на такой поверхности — значение величины П( А ). Поверхность в задаче с двумя степенями [c.166]

Пусть задано пространство конечных элементов X с множеством степеней свободы вида (2.3.26). Тогда с произвольной достаточно гладкой функцией V такой, что степени [c.98]

Все приведенные рассмотрения могут быть продолжены на случаи пространств конечных элементов, пос1роенных с помощью эрмитовых конечных элементов. Предоставляем это проделать читателю (упр. 2.3.8). Укажем только, что часто приходится выбирать между различными возможными множествами степеней свободы (соответствуюн],ими одному и тому же конечному элементу), чтобы однозначно определить множество 1/ степеней свободы соответствующего пространства конечных элементов. Эти соображения иллюстрировались в различных местах разд 2.2. [c.97]

Аналогичный эффект может быть достигнут при использовании прямоугольной сетки с неравными щагами Ал ф Ау реальное преимущество такой сетки продемонстрировали Хын и Макано [1966]. Рыбицки и Хуппер [1970] решали двумерное уравнение диффузии при помощи полностью неявных разностей первого порядка О (А/) по времени и конечных элементов, имеющих 36 степеней свободы, по пространству. [c.172]

Чтобы подытожить свойства кусочно полиномиальных функций, описанных в этом разделе, сведем основные свойства в таблицу. В столбце й приведено число параметров, необходимое для определения полинома внутри каждой подобласти, т. е. число степеней свободы, если на соседние элементы не наложено ограничений. Целое число к—1 указывает на наивысшую степень полинома, аппроксимируемого точно в данном пространстве пробных функций это означает, что полином степени к уже нельзя точно представить комбинацией пробных функций, и (как мы еше докажем) порядок ошибки и—Ф равен 0 Ф). Наконец, N—размерность пространства пробных функций 3 в предположении, что О — квадрат, разбитый на 2п малых квадратов, разбитых на два треугольника диагональю с наклр ном +1. В N = Мп даегся только основной член будут, конечно, дополнительные члены, зависящие от условий на границе, но постоянная М самая важная. Коэффициент М для эле- "мента, каждая вершина которого является р-кратным узлом, на каждой стороне лежит узлов и внутри каждого треугольника содержится г узлов, равен р- -Зд- -2г. В любой триангуляции в одной вершине сходятся два или более треугольников сумма углов треугольника равна 180°, а вепшине соответствует 360°. Далее, число сторон относится к числу треугольников, как [c.105]

Существует целый класс так называемых несовместных конечных элементов, которые образуются на основе функций ф , удовлетворяющих второму и третьему требованиям, т. е. линейной независимости и полноты, и не удовлетворяющих nepBOMv требованию принадлежности к энергетическому пространству Нд. В связи с этим оценки (1.13) —(1.17) непригодны для таких элементов и для доказательства сходимости здесь требуются новые приемы. Впервые доказательство сходимости для конкретного несовместного конечного элемента было получено в работе [83]. Рассматривался прямоугольный элемент плиты (элемент Клафа) с тремя степенями свободы в узле. При доказательстве существенно использовалась геометрия области (прямоугольнан плита) и граничные условия (защемление по контуру). Более общие приемы доказательства сходимости несовместных элементов были получены в работах [45, 69]. Здесь доказательство сходимости сводилось к проверке устойчивости системы (1.5) и выполнения условий кусочного тестирования. [c.11]

Х = (д, р). Таким широко используемым представлением является представление Вигцера [678]. Вангно отметить, что с учетом конечности размерности гильбертова пространства, отвечающего копечному фазовому объему Q N — Q/ 2nh), где г—число степеней свободы), операторы, представляемые функциями /о(Х), равными нулю вне Q, имеют вид квадратных NXN матриц и требуют для своего описания конечного числа базисных элементов. Это означает, что континуальный набор базисных элементов е(X), где Хей, является переполненным. Предельный переход й делает очевидной переполненность базиса е(Х) и в неограниченном фазовом объеме. Это обстоятельство означает возможность неоднозначного представления Л- -/(Х), которая устраняется после выбора соответствующего наиболее прост о правила в представлении Вигнера /(Х) = = 2я%ут тАе ) [136]. [c.385]

Пока что мы рассматривали вопрос о формировании оптического изображения, не учитывая шумов, обусловленных флуктуациями числа фотонов, создающих изображение, или флуктуациями параметров чувствительного элемента (глаза, фотоэлемента, пленки и т. д.). При фотографической регистрации изображения основным источником шума являются флуктуации, обусловленные неоднородной зернистой структурой. Конечно, с точки зрения теории информации для того, чтобы передать определенную плотность информации в битах ) на 1 мм , необходимо учесть не только ширину полосы пропускания (разрешающую способность), но и шумовые ограничения (гранулярность), Это справедливо для всех физических измерений- Каждый реальный физически11 сигнал ограничен во времени, в пространстве и по частоте. Кроме того, при любых измерениях неизбежны шумы. Ограниченной шириной полосы пропускания определяется конечное число степеней свободы формы сигнала, но если бы не было шума, дискретные значения ординаты можно было бы отличать друг от друга с любой степенью точности. [c.165]

Мы не получим удовлетворительного описания системы из нескольких частиц, если зададим только вероятность найти одну частицу в определённом месте. Представим себе, например, систему, состоящую из двух материальных частиц, находящихся в замкнутом ящике. Пусть этот ящик разделён на две части перегородкой с небольшим запирающимся отверстием. Закрывая внезапно отверстие и разделяя тем самым обе половины, можно установить, в какой из половин ящика находится каждая из частиц в соответствующий момент. Можно не только исследовать, как велика для каждой частицы вероятность находиться в одной или другой половине, но также определить, как часто частицы находятся в той же самой или различной половинах ящика. Пусть вместо разделяющей перегородки применяется микроскоп с коротковолновым излучением и вместо разделения конечного объёма только на две части пусть будет произведено разделение пространства на произвольно малые части. Допустим, что имеется N частиц с координатами х , х 2) , причём мы для простоты будем писать Qi,. .., q , где / = 3iV означает число степеней свободы, системы далее будем писать просто dq вместо многомерного элемента объёму f i dqt...dqj. [c.54]

Есть также метод экономизации, уменьшающий порядок системы за счет того, что в вычислениях участвует лишь небольшое число ведущих переменных. Априори предполагается зависимость других подчиненных переменных, тем самым эти степени свободы исключаются [7]. Фрид описал эту идею так поместим точечную нагрузку в узел и обозначим через решение стационарной задачи, построенное по методу конечных элементов тогда эти функции образуют базис (не локальный в отличие от базиса, образованного исходными функциями ф ) для пространства пробных функций в экономизированной задаче. Можно ожидать, что эти функции достаточно хорошо представляют низкочастотные колебания, именно их и надо вычислять. Тем не менее у нас создается впечатление, что, по мере того как будут разрабатываться эффективные алгоритмы для исходной задачи, эта экономизация будет становиться менее необходимой и менее популярной. [c.273]

В разд. 2.2 описываются различные примеры конечных элементов, являющихся или и-симплексами [симплициальные конечные элементы), или -прямоугольниками (прямоугольные конечные элементы) со всеми степенями свободы—значениями в точках (лагранжевы конечные элементы) или некоторыми степенями свободы — производными по направлениям (эрмитовы конечные эле-менгы), что приводит к включению Хд(=Я (й) (конечные элементы кло1(а ё ) или включению Х (=Я ( 2) (конечные элементы класса й ), если они объединяются в пространство конечных элементов Х/у [c.46]

Если стенеии свободы всех конечных элементов—одного из видов (2.3.4), то степени спободы пространства конечных элементов—одного из следуюншх видов [c.97]

U) Пусть ф р g Р р (а)—одна из степеней свободы конечного элемента и р — соответствующая базисная фрикция. Тогда функция р обращается в нуль вдоль всякой грани, не содержащей узел а. Из построения базисных функций пространства Хд, исходя из базисных функций конечных элементов (см. (2.3.38)), в свою очередь получаем глобальное свойство, что базисные функции пространства действительно имеют малые носители (МКЭЗ). [c.104]

Хотя мы ограничивались случаем однюго дифференциального уравнения с частными производными, однако должно быть ясно, что проведенный в этом разделе анализ включает системы уравнений двух- и трехмерной теории упругости (см. (1.2.40)), поставленные на многоугольных областях. В этом случае пространство V —произведение двух или трех одинаковых пространств конечных элементов С каждой степенью свободы пространства ассоциируются два или три неизвестных, являющихся соответствующими компонентами приближенного перемещения. [c.141]

Определим далее подпространство из Хд, возможно лучше учитывающее краевое условие и = 0 вдоль 1раницы Г множе- ства о. Например, если общий конечный элемент—лагранжев элемент, то все степени свободы равны нулю в граничных узлах. Но опять, так как конечный элемент не принадлежит классу 5 (см. замечание 2.3.10), то функции из пространства Х д, вообще говоря, будут обращаться в нуль только в граничных узлах. [c.207]

Как было указано в разд. 2.3, треугольники Аргириса и Белла, вообще говоря, не могут быть вложены в аффинные семейства, так как нормальные производные в некоторых узлах или используются в качестве степеней свободы (для треугольника Аргириса), или участвуют в определении пространства Р,. (для треугольника Белла). Это, вообще говоря, правило для конечных элементов класса но имеются и исключения. Например, прямоугольник Богнера— фокса — Шмита —прямоугольный конечный элемент класса 6 , который может быть вложен в аофинное семейство. [c.327]

Для каждого конечного элемента огшсать соответствующее пространство конечных эле.ментов Х и положить затем У,, = Хоол, где Хоой образуется из функций, принадлежащих со степенями свободы, обращающимися в нуль вдоль границы Г. [c.364]

Если конечный элемент семейства имеет й степеней свободы, то значение / (х) в точке х представляет собой наложение значений й линейно независимых функций, принадлежаш их Говорят, что эти линейно независимые функции характеризуют единичные моды элемента. Хотя обычно принимается, что значение / (х) в точке X можно сделать любым при помотци соответствующего подбора амплитуд единичных мод, для нас важна возможность придать функции / (х) нужное значение в нормированном пространстве лишь с точностью до членов порядка б . Это приводит нас к следующей теореме. [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...