Гиперболический вариационный

Пример. Квадратичный лагранжиан из 8.1, равный разности между положительно определённой кинетической энергией и положительно определённой потенциальной энергией , является внутренней точкой области гиперболических вариационных принципов сигнатуры (тп, 2,п). При тп > 2 этот лагранжиан может определять не строго гиперболичную систему, так как положительно определённая симметрическая матрица а может иметь кратные собственные значения. [c.281]

Гиперповерхности Френеля типичных гиперболических вариационных принципов являются особыми в некоторых точках базового многообразия (в которых гиперболичность не строгал). Сейчас мы будем изучать особенности гиперповерхностей Френеля и световых гиперповерхностей, встречающихся при рассмотрении типичных гиперболических вариационных принципов. [c.282]

Зафиксируем сигнатуру (тп, й, п) т — число неизвестных, й — порядок дифференциального оператора, п — число независимых переменных (если рассмотрения глобальны, то вдобавок фиксируем векторное расслоение). Квадратичные вариационные принципы с фиксированной сигнатурой образуют линейное функциональное пространство. Гиперболические вариационные принципы образуют замкнутое множа- [c.282]

Если эти задачи имеют нетривиальные ответы, то подобные проблемы интересны для расслоений над В. Можно предположить, что наличие точек нестрогой гиперболичности необходимо для реализации некоторых классов, и что можно использовать особенности световой гиперповерхности для определения характеристических классов гиперболических вариационных принципов. [c.284]

Пример. Рассмотрим гиперболические вариационные принципы в пространстве-времени размерности п = V + 1 = 2 (размерность физического пространства равна 1). [c.286]

Теорема. Типичные особенности световых гиперповерхностей гиперболических вариационных принципов с одномерным физическим пространством диффеоморфны квадратичным конусам [с локальной нормальной формой х + = 2 , где (х,у,г) — локальные координаты на многообразии контактных элементов пространственно-временной плоскости). [c.286]

Здесь мы применяем полученную выше нормальную форму особенностей световых гиперповерхностей к изучению распространений волн, задаваемых гиперболическими вариационными принципами. [c.289]

Рассмотрим теперь случай 0 = 2 (двумерное физическое пространство). Мне не известно, возможен ли эллиптический случай ( -1- в нормальной форме особенности световой гиперповерхности) для типичных гиперболических вариационных систем ). Мы рассмотрим гиперболический случай ( — в нормальной форме), который, очевидно, возможен. [c.291]

Основное содержание работы связано с изложением иной концепции построения сеток, развиваемой, главным образом, в работах российских ученых в течение 30 лет [1]. Главная особенность подхода связана со специальным способом формализации критерия (Р), приводящему к нелинейному вариационному функционалу, в который входят как первые, так и вторые частные производные функций, реализующих отображение. Этот непрерывный функционал появляется естественным образом после рассмотрения дискретного функционала, минимизирующего меру относительной погрешности неравномерной сетки по сравнению с равномерной. Такая формализация приводит к системе уравнений Э-0 четвертого порядка, гиперболической в широком смысле. Это позволило рассмотреть новые более широкие типы краевых условий, а также разработать эффективные алгоритмы и программы построения сеток для весьма сложных областей. Экономичные и эффективные процедуры расчета сеток связаны с применением итерационных процессов, использующих как специальную нестационарную модификацию уравнений Э 0, так и прямые геометрические способы минимизации дискретных функционалов, формализующих все три критерия оптимальности. [c.513]

Алгоритм А естественно считать эллиптическим, если для соответствующих ему отображений f = А D) справедливы вариационные принципы теории конформных отображений. Гиперболические алгоритмы определяются так, чтобы для соответствующих отображений влияние локальных вариаций границы области сказывалось лишь в зонах, ограниченных кривыми, которые называются характеристиками алгоритма. Накладывая на алгоритмы целесообразные дополнительные свойства, можно выделять те или иные классы отображений. [c.160]

Хотя большинство тем, связанных с дифференциальной динамикой, разрабатывается в этой книге достаточно глубоко, мы не пытались написать энциклопедическое исследование дифференциальной динамики. Даже если бы это было возможно, результатом такой работы явился бы просто некоторый источник ссылок, бесполезный в качестве учебника или введения в предмет. Таким образом, мы отнюдь не пытаемся представить самые сильные из известных результатов, но вместо этого предоставляем читателю хорошо структурированный набор принципов, на которых базируются методы и результаты. Далее, данная книга не является введением в прикладную динамику, и наши примеры, вообще говоря, не выбираются из множества прикладных моделей, широко изучаемых в различных дисциплинах. Напротив, они возникают естественно из внутренней структуры изучаемого предмета и содействуют его пониманию. Внимание, которое уделяется различным направлениям в той или иной области, не определяется ни долей работ, опубликованных на эту тему, ни размахом научно-исследовательской деятельности в этих направлениях, а лишь отражает наше понимание того, что именно является основным и фундаментальным в данной области. Очевидное несоответствие возникает в случае одномерной (вещественной и особенно комплексной) динамики, активность в которой постоянно росла в течение последних 15 лет, что привело к появлению множества блестящих результатов. Эта область играет сравнительно скромную роль в данной книге. Вещественная одномерная динамика используется главным образом как источник простых моделей, в которых со значительным успехом могут применяться различные методы. Комплексная динамика, которая является с нашей точки зрения увлекательным, но довольно специальным предметом, появляется лишь как источник примеров гиперболических множеств. С другой стороны, мы стараемся отмечать и подчеркивать взаимосвязь динамики с другими областями математики (теорией вероятностей, алгебраической и дифференциальной топологией, геометрией, вариационным исчислением и т. п.) даже в некоторых ситуациях, в которых на сегодняшний день окончательное понимание еще во многом не достигнуто. [c.13]

Источники. Большая часть материала, содержащегося в этой книге, не содержит неизвестных ранее результатов. Тем не менее, способ изложения материала часто оригинален и представляет собой новые или значительно модифицированные доказательства известных результатов, объяснения структуры и взаимосвязей внутри данной темы и т. д. Приблизительно шестая часть материала, относящаяся в основном к частям 3 и 4, близко следует изложению в опубликованных источниках, большинство из которых представляет собой оригинальные научные публикации. Характерный пример такого типа — изложение элементов гиперболической теории в главах 18 и 20, заимствованное из статей Р. Боуэна семидесятых годов, которое было столь ясным, что едва ли может быть улучшено. В нескольких случаев мы следуем освещению соответствующей темы в существующих книгах. За исключением некоторых базовых тем, например гамильтонова формализма или вариационного исчисления, это происходит только в части 3. Причина этого состоит в том, что существует гораздо больше учебников по динамике малых размерностей, чем по теории динамических систем в целом. Мы упоминаем все заимствования доказательств и методов представления материала, о которых нам известно, в примечаниях в конце книги. [c.15]

Неравенство h (F) log A вытекает также из вариационного принципа (теорема 4.5.3). Другой способ вычисления энтропии гиперболического автоморфизма тора содержится в упр. 4.4.6 и 4.4.7. [c.187]

Вариационный принцип (теорема 4.5.3) говорит нам, что топологическая энтропия равна верхней грани метрических энтропий. Мы знаем также, что для разделяющих отображений эта верхняя грань достигается (теорема 4.5.4). Таким образом, естественно попытаться исследовать эти специальные меры, энтропия которых максимальна. Для линейного растягивающего отображения окр ности и топологического сдвига Бернулли меры максимальной энтропии определялись очевидным образом, а для гиперболических автоморфизмов тора мы установили, что мера Лебега обладает максимальной энтропией (4.4.7). В предложении 4.4.2 мы показали, что специальная марковская мера /X[j, так называемая мера Перри, обладает максимальной энтропией для любой топологической цепи Маркова. Кроме того, упражнение 4.4.2 позволяет утверждать, что эту меру можно рассматривать как предельное распределение периодических орбит. То же, очевидно, верно для меры Лебега в случае линейного растягивающего отображения. Теперь мы покажем, что при наличии свойства спецификации [c.616]

В типичной вариационной гиперболической системе главный символ оказывается нестрого гиперболичным в некоторых внутренних точках области гиперболичности. Соответствующее многообразие особых точек имеет коразмерность два на гиперповерхности нулей главного символа в пространстве кокасательного расслоения пространства-времени. На трехмерной трансверсали к этому многообразию типичных особенностей множество нулей главного символа оставляет след, диффеоморфный невырожденному конусу [c.143]

В главе 7, 3 (ч. И) аналогичный вариационный принцип встретится в теории гладких гиперболических систем. [c.68]

В теории гиперболических дифференциальных уравнений с частными производными математики никогда не различали вариационные и [c.273]

Главные результаты зтой главы приведены в 8.3-8.4, в которых мы приводим нормальные формы особенности световых гиперповерхностей, систем лучей и лежандровых многообразий ). Для простоты обсуждается только случай линейных гиперболических по Петровскому систем дифференциальных уравнений с частными производными) выводящихся из вариационных принципов. [c.276]

Внутренние точки пространства гиперболических многочленов являются строго гиперболическими многочленами. Для гиперболических систем, задаваемых вариационными принципами, и, в частности, для гиперболических систем Эйлера-Лагранжа зто утверждение не верно (см. [182]-[186]). [c.281]

Вариационная гиперболическая система над пространством-временем В размерности п = П+1 задаёт (в каждой точке из В) отображение сферы [c.281]

Определение. Вариационный принцип называется гиперболическим, если гиперболична его система Эйлера-Лагранжа (гиперболичны поверхности Френеля) по отношению к некоторой функции времени . [c.282]

Тргшсформации волн, определённых гиперболическими вариационными принципами [c.273]

Во-первых, рассмотрим случай 0=1 одномерного физического пространства. Световая поверхность в 3-пространстве контактных элементов двумерного пространства-времени для гиперболического вариационного принципа общего положения имеет особенности типа квадратичного конуса, которые приводятся контактоморфизмами к нормальным формам, приведённым в 8.3. [c.289]

При составлении уравнений в методе Бубнова—Галеркина никакие связи с вариационными задачами вообще говоря не используются, поэтому этот метод является универсальным. Он может быть применен к уравнениям в частных производных различных типов эллиптическим, гиперболическим, параболическим.Однако для вариационных задач метод Бубнова—Галеркина находится в тесном взаимоотношении с методом Ритца, а в ряде случаев эквивалентен последнему в том смысле, что приводит к тому же приближенному решению, но с помощью более простых выкладок. [c.118]

Если посмотреть на это с теоретической точки зрения, то можно отметить следующее. Напомним, что на ба,/ из (3.15) мы наложили требования о равновесии. Если материал упрочняющийся, мы приходим к уравнениям эллиптического типа при отсутствии упрочнения, а также при удовлетворении некоторых других условий мы получаем уравнения гиперболического типа[17,23]. Гиперболичность означает, что решение уравнений существует только на некоторых кривых (или поверхностях). С физической точки зрения это равносильно тому, что образуются линии скольжения или линии Людерса, имеющие существенно более сложный характер по сравнению с теми, которые возникают в простых испытаниях на растяжение, что объясняется более сложной геометрией образцов, предназначенных для исследования разрушения. С вычислительной точки зрения это значит, что вариационную теорему, использованную в приложении [(А.5), (А.6)], необходимо заменить другой, которая будет нечувствительной к изменению типа дифференциальных уравнений от эллиптического к смешанному эллиптически-гипер-болическому. Этот подход был рассмотрен только недавно [34,35] он оказался вполне работоспособным. Короче, существует реальная возможность моделирования материалов, деформационное упрочнение которых меняется от нуля до некоторого положительного значения, однако следует пользоваться специальными мерами предосторожности в предельном случае нулевого упрочнения, т. е. в случае так называемой идеальной пластичности. [c.335]

В предлагаемом подходе при любых положительных весовых коэффициентах тип системы уравнений Э-0 не меняется. Однако, так как при Ар = О, Ао 7 О система становится смешанного эллиптико-гиперболического типа, то и для устойчивости вы-числений при решении уравнений Э-0 весовые коэффициенты выбирались таким образом, чтобы вклад слагаемых, соответсвующих /о, /а, не превосходил /р. В противном случае в дискретной ситуации задача может оказаться неустойчивой. Подробные рекомендации для выбора весовых коэффициентов в вариационных методах, основанных на решении уравнений Э О, на примере уравнений Брекбилла-Зальцмана приведены в [10, 21]. Отметим, что численное решение уравнений Э-0 не единственный путь для реализации вариационных принципов. Более эффективными при построении сеток могут оказаться прямые методы минимизации дискретных функционалов [16, 23]. [c.521]

Заключительные замечания. Теоремы существования и единственности решения поставленной задачи представляют собой обобщение соответствующих теорем теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа [15]. Теорема существования будет локальной, поскольку в общем случае минимизируемые функционалы являются многоэкстремальными. Более того, для существования решения требуется свойство полной непрерывности отображения X —> К Х), которое в общем случае можно только постулировать. Проблема доказательства полной непрерывности для рассматриваемых здесь нелинейных прямых краевых задач, описываемых вариационными или квазивариационными неравенствами, по-видимому, пока не решена. [c.483]

В [28] при получении в рамках ОММЛ в вариационных задачах неравновесной и равновесной сверхзвуковой газовой динамики впервые были введены разрывы множителей Лагранжа (МЛ), вводящих в задачу уравнения течения. Было показано, что при непрерывных параметрах течения линиями разрыва МЛ могут быть и С -характеристики и линии тока, т.е. характеристики всех трех семейств уравнений течения. Кроме того, были получены конечные и дифференциальные условия для скачков МЛ на линиях их разрыва и выявлена одна из возможных причин их появления - изломы исследуемых на оптимальность контуров. Как и почему так получается, читатель узнает из Главы 4.15. Отметим, что в [28] разрывы МЛ были введены раньше, чем для вариационных задач, описываемых уравнениями гиперболического типа, это сделали математики - специалисты по [c.365]

Обычно доказательства неинтегрируемости и хаотического поведения гамильтоновых систем основаны на построении трансверсальных гомоклинических траекторий к гиперболическим положениям равновесия или периодическим траекториям. Как правило, доказать существование таких траекторий удается только для систем, близких к интегрируемым, когда можно применить один из методов теории возмущений, например основанный на интеграле Пуанкаре-Мельникова 21]. Если в системе нет малого параметра, то методы теории возмущений неприменимы. Тогда приходится использовать непертурбационные методы, одним из которых является вариационный метод. В настоящей работе подход, основанный на вариационных принципах механики, проиллюстрирован на простейшем случае автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. По поводу других классов систем см., например, [1, 2, 6, 9, 10, 12, 16, 25-28] и библиографии в этих работах. [c.147]

Другой подход к решению вариационных задач газовой динамики был предложен Т. К Сиразетдиновым. Этот подход дает возможность решать задачи при произвольных ограничениях, накладываемых на на поверхность обтекаемого тела, и состоит в том, что дифференциальные уравнения в частных производных, описывающих течение, используются в качестве связей между функциями в области влияния. При составлении функционала Лагранжа для задачи на безусловный экстремум эти. уравнения учитываются при помощи переменных множителей Лагранжа. Необходимые условия экстремума для такой задачи в общем случае представляют собой краевую задачу для системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с условиями на замкнутой поверхности, ограничивающей область влияния. При сверхзвуковых скоростях эта система, включающая уравнения для множителей Лагранжа, имеет гиперболический тип. [c.243]

Каждая из четырех частей книги может служить в качестве основы курса, приблизительно соответствующего тоовню аспиранта второго года. Этот курс может быть односеместровым или более длинным. Данная книга может служить источником множества специализированных курсов, посвященных таким, например, темам, как вариационные методы в классической механике, гиперболические динамические системы, закручивающие отображения и их приложения, введение в эргодическую теорию и гладкую эргодическую теорию и математическая теория энтропии. Для того чтобы облегчить выбор материала для курса как студентам, так и преподавателям, мы изобразили основные взаимозависимости между главами в виде диаграммы на рис. 1. Сплошная стрелка А —> В показывает, что основная часть материала из главы А используется в главе В (это отношение является транзитивным). Пунктирная стрелка А — — В показывает, что материал из главы А используется в некоторых частях главы В. [c.14]

НОВЫЙ качественный подход к анализу проблемы п тел. Позднее в гамильтоновой динамике зародились два различных направления ( ) исследование динамической сложности, возникающей в этой задаче из-за определенной гиперболичности (Алексеев, Конли), и Ш) анализ интегрируемых систем и их возмущений, который привел к КАМ-теории. Хотя и гиперболическая, и интегрируемая модели были известны еще со времен Пуанкаре, потребовался глубокий анализ Колмогорова, для того чтобы осознать, что многие качественные особенности (весьма специальных) интегрируемых систем в определенной степени сохраняются под действием возмущений, а также возникают в типичных ситуациях (например, вблизи неподвижной эллиптической точки). На развитие обоих этих направлений повлиял вопрос об устойчивости солнечной системы, который изучался в рамках гиперболического подхода в терминах устойчивости системы п тел и в рамках КАМ-теории посредством анализа возмущений, например, (интегрируемой) системы центральных сил без учета взаимодействий между планетами. В работе Конли и Цендера была установлена взаимосвязь топологических и вариационных методов, ставшая краеугольным камнем современной глобальной симплектической геометрии. Возрождение анализа вполне интегрируемых систем началось с работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры и открытия П. Лаксом новых методов построения интегрируемых систем. Это привело к быстрому увеличению числа новых интересных примеров конечномерных интегрируемых систем, а также к построению теории бесконечномерных гамильтоновых систем. Применение этой теории к изучению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных стало крупным достижением впервые в ситуациях, когда асимптотическое поведение уже не может быть названо тривиальным, появились средства для законченного качественного анализа. [c.24]

Как мы видели в предыдущей главе, необратимые отображения отрезка могут иметь периодические точки различных периодов. Для /-периодической точки р областью притяжения В этой точки называется совокупность всех точек, положительно асимптотичных кр р может быть притягивающей нли полуустойчивой точкой). Мы называем объединение компонент связности, которые содержат точку орбиты 0 р), областью непосредственного притяжения точки р. Области притяжения, равно как и области непосредственного притяжения, очевидно, являются открытыми множествами. Рассмотрим объединение К полуустойчивых точек и дополнения к объединению всех областей притяжения периодических точек отображения /. Это множество называется универсальным отталкивающим множеством отображения /. По построению оно замкнуто и /-инвариантно. Это множество также / -инвариантно в том смысле, что f- R) = R. Очевидно, все сложные явления динамики происходят на R. Например, носители всех неатомарных /-инвариантных мер лежат в Л, так что по вариационному принципу 4.5.3 ьр(/) — 1ор(/1д)- Если существует лишь конечное множество притягивающих периодических точек, то Л — отталкивающее множество в традиционном смысле слова, т. е. для каждой малой окрестности П множества Л н точки X е U R существует такое п е N. что / х) 11. Это служит мотивировкой для анализа гиперболических отталкивающих множеств. Отталкивающее гиперболическое множество (см. определение 6.4.3) называется локально максимальным, если оно обладает открытой окрестностью, которая не содержит никакого большего инвариантного множества. [c.522]

Световая гиперповерхность есть объединение алгебраических проективных гиперповерхностей, принадлежащих различным слоям расслоения контактных элементов базового пространства. Для системы и точки общего положения эти алгебраические гиперповерхности неособы (в зтом случае они строго гиперболичны). Но в некоторых точках базового многообразия эти гиперповерхности могут становиться особыми. Изучение этих особенностей для типичных вариационных гиперболических систем и есть главная цель настоящей главы. [c.279]

Перестройки мгновенных фронтов. Предположим теперь, что световая гиперповерхность определяется вариационным принципом, а регулярное начальное условие трансверсально многообразию, состоящему из характеристик, проходящих через гиперболические особенности световой гиперповерхности. Снова рассмотрим какую-нибудь характеристику, начинающуюся на и заканчивающуюся в точке М преломления, отражения или псевдоотражения характеристик. Обозначим через 2 продолжение начального условия вдоль характеристик, достаточно близких к рассматриваемой. Приведённая ниже теорема 2 описывает перестройки мгновенных фронтов в окрестности точки п(М) при некоторых дополнительных условиях регулярности, накладываемых на точку М. [c.313]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...