Гиперболический вариационный принцип

Пример. Квадратичный лагранжиан из 8.1, равный разности между положительно определённой кинетической энергией и положительно определённой потенциальной энергией , является внутренней точкой области гиперболических вариационных принципов сигнатуры (тп, 2,п). При тп > 2 этот лагранжиан может определять не строго гиперболичную систему, так как положительно определённая симметрическая матрица а может иметь кратные собственные значения. [c.281]

Гиперповерхности Френеля типичных гиперболических вариационных принципов являются особыми в некоторых точках базового многообразия (в которых гиперболичность не строгал). Сейчас мы будем изучать особенности гиперповерхностей Френеля и световых гиперповерхностей, встречающихся при рассмотрении типичных гиперболических вариационных принципов. [c.282]

Зафиксируем сигнатуру (тп, й, п) т — число неизвестных, й — порядок дифференциального оператора, п — число независимых переменных (если рассмотрения глобальны, то вдобавок фиксируем векторное расслоение). Квадратичные вариационные принципы с фиксированной сигнатурой образуют линейное функциональное пространство. Гиперболические вариационные принципы образуют замкнутое множа- [c.282]

Если эти задачи имеют нетривиальные ответы, то подобные проблемы интересны для расслоений над В. Можно предположить, что наличие точек нестрогой гиперболичности необходимо для реализации некоторых классов, и что можно использовать особенности световой гиперповерхности для определения характеристических классов гиперболических вариационных принципов. [c.284]

Пример. Рассмотрим гиперболические вариационные принципы в пространстве-времени размерности п = V + 1 = 2 (размерность физического пространства равна 1). [c.286]

Теорема. Типичные особенности световых гиперповерхностей гиперболических вариационных принципов с одномерным физическим пространством диффеоморфны квадратичным конусам [с локальной нормальной формой х + = 2 , где (х,у,г) — локальные координаты на многообразии контактных элементов пространственно-временной плоскости). [c.286]

Здесь мы применяем полученную выше нормальную форму особенностей световых гиперповерхностей к изучению распространений волн, задаваемых гиперболическими вариационными принципами. [c.289]

Алгоритм А естественно считать эллиптическим, если для соответствующих ему отображений f = А D) справедливы вариационные принципы теории конформных отображений. Гиперболические алгоритмы определяются так, чтобы для соответствующих отображений влияние локальных вариаций границы области сказывалось лишь в зонах, ограниченных кривыми, которые называются характеристиками алгоритма. Накладывая на алгоритмы целесообразные дополнительные свойства, можно выделять те или иные классы отображений. [c.160]

Неравенство h (F) log A вытекает также из вариационного принципа (теорема 4.5.3). Другой способ вычисления энтропии гиперболического автоморфизма тора содержится в упр. 4.4.6 и 4.4.7. [c.187]

Вариационный принцип (теорема 4.5.3) говорит нам, что топологическая энтропия равна верхней грани метрических энтропий. Мы знаем также, что для разделяющих отображений эта верхняя грань достигается (теорема 4.5.4). Таким образом, естественно попытаться исследовать эти специальные меры, энтропия которых максимальна. Для линейного растягивающего отображения окр ности и топологического сдвига Бернулли меры максимальной энтропии определялись очевидным образом, а для гиперболических автоморфизмов тора мы установили, что мера Лебега обладает максимальной энтропией (4.4.7). В предложении 4.4.2 мы показали, что специальная марковская мера /X[j, так называемая мера Перри, обладает максимальной энтропией для любой топологической цепи Маркова. Кроме того, упражнение 4.4.2 позволяет утверждать, что эту меру можно рассматривать как предельное распределение периодических орбит. То же, очевидно, верно для меры Лебега в случае линейного растягивающего отображения. Теперь мы покажем, что при наличии свойства спецификации [c.616]

В главе 7, 3 (ч. И) аналогичный вариационный принцип встретится в теории гладких гиперболических систем. [c.68]

Главные результаты зтой главы приведены в 8.3-8.4, в которых мы приводим нормальные формы особенности световых гиперповерхностей, систем лучей и лежандровых многообразий ). Для простоты обсуждается только случай линейных гиперболических по Петровскому систем дифференциальных уравнений с частными производными) выводящихся из вариационных принципов. [c.276]

Внутренние точки пространства гиперболических многочленов являются строго гиперболическими многочленами. Для гиперболических систем, задаваемых вариационными принципами, и, в частности, для гиперболических систем Эйлера-Лагранжа зто утверждение не верно (см. [182]-[186]). [c.281]

Определение. Вариационный принцип называется гиперболическим, если гиперболична его система Эйлера-Лагранжа (гиперболичны поверхности Френеля) по отношению к некоторой функции времени . [c.282]

Хотя большинство тем, связанных с дифференциальной динамикой, разрабатывается в этой книге достаточно глубоко, мы не пытались написать энциклопедическое исследование дифференциальной динамики. Даже если бы это было возможно, результатом такой работы явился бы просто некоторый источник ссылок, бесполезный в качестве учебника или введения в предмет. Таким образом, мы отнюдь не пытаемся представить самые сильные из известных результатов, но вместо этого предоставляем читателю хорошо структурированный набор принципов, на которых базируются методы и результаты. Далее, данная книга не является введением в прикладную динамику, и наши примеры, вообще говоря, не выбираются из множества прикладных моделей, широко изучаемых в различных дисциплинах. Напротив, они возникают естественно из внутренней структуры изучаемого предмета и содействуют его пониманию. Внимание, которое уделяется различным направлениям в той или иной области, не определяется ни долей работ, опубликованных на эту тему, ни размахом научно-исследовательской деятельности в этих направлениях, а лишь отражает наше понимание того, что именно является основным и фундаментальным в данной области. Очевидное несоответствие возникает в случае одномерной (вещественной и особенно комплексной) динамики, активность в которой постоянно росла в течение последних 15 лет, что привело к появлению множества блестящих результатов. Эта область играет сравнительно скромную роль в данной книге. Вещественная одномерная динамика используется главным образом как источник простых моделей, в которых со значительным успехом могут применяться различные методы. Комплексная динамика, которая является с нашей точки зрения увлекательным, но довольно специальным предметом, появляется лишь как источник примеров гиперболических множеств. С другой стороны, мы стараемся отмечать и подчеркивать взаимосвязь динамики с другими областями математики (теорией вероятностей, алгебраической и дифференциальной топологией, геометрией, вариационным исчислением и т. п.) даже в некоторых ситуациях, в которых на сегодняшний день окончательное понимание еще во многом не достигнуто. [c.13]

Тргшсформации волн, определённых гиперболическими вариационными принципами [c.273]

Во-первых, рассмотрим случай 0=1 одномерного физического пространства. Световая поверхность в 3-пространстве контактных элементов двумерного пространства-времени для гиперболического вариационного принципа общего положения имеет особенности типа квадратичного конуса, которые приводятся контактоморфизмами к нормальным формам, приведённым в 8.3. [c.289]

В предлагаемом подходе при любых положительных весовых коэффициентах тип системы уравнений Э-0 не меняется. Однако, так как при Ар = О, Ао 7 О система становится смешанного эллиптико-гиперболического типа, то и для устойчивости вы-числений при решении уравнений Э-0 весовые коэффициенты выбирались таким образом, чтобы вклад слагаемых, соответсвующих /о, /а, не превосходил /р. В противном случае в дискретной ситуации задача может оказаться неустойчивой. Подробные рекомендации для выбора весовых коэффициентов в вариационных методах, основанных на решении уравнений Э О, на примере уравнений Брекбилла-Зальцмана приведены в [10, 21]. Отметим, что численное решение уравнений Э-0 не единственный путь для реализации вариационных принципов. Более эффективными при построении сеток могут оказаться прямые методы минимизации дискретных функционалов [16, 23]. [c.521]

Обычно доказательства неинтегрируемости и хаотического поведения гамильтоновых систем основаны на построении трансверсальных гомоклинических траекторий к гиперболическим положениям равновесия или периодическим траекториям. Как правило, доказать существование таких траекторий удается только для систем, близких к интегрируемым, когда можно применить один из методов теории возмущений, например основанный на интеграле Пуанкаре-Мельникова 21]. Если в системе нет малого параметра, то методы теории возмущений неприменимы. Тогда приходится использовать непертурбационные методы, одним из которых является вариационный метод. В настоящей работе подход, основанный на вариационных принципах механики, проиллюстрирован на простейшем случае автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. По поводу других классов систем см., например, [1, 2, 6, 9, 10, 12, 16, 25-28] и библиографии в этих работах. [c.147]

Как мы видели в предыдущей главе, необратимые отображения отрезка могут иметь периодические точки различных периодов. Для /-периодической точки р областью притяжения В этой точки называется совокупность всех точек, положительно асимптотичных кр р может быть притягивающей нли полуустойчивой точкой). Мы называем объединение компонент связности, которые содержат точку орбиты 0 р), областью непосредственного притяжения точки р. Области притяжения, равно как и области непосредственного притяжения, очевидно, являются открытыми множествами. Рассмотрим объединение К полуустойчивых точек и дополнения к объединению всех областей притяжения периодических точек отображения /. Это множество называется универсальным отталкивающим множеством отображения /. По построению оно замкнуто и /-инвариантно. Это множество также / -инвариантно в том смысле, что f- R) = R. Очевидно, все сложные явления динамики происходят на R. Например, носители всех неатомарных /-инвариантных мер лежат в Л, так что по вариационному принципу 4.5.3 ьр(/) — 1ор(/1д)- Если существует лишь конечное множество притягивающих периодических точек, то Л — отталкивающее множество в традиционном смысле слова, т. е. для каждой малой окрестности П множества Л н точки X е U R существует такое п е N. что / х) 11. Это служит мотивировкой для анализа гиперболических отталкивающих множеств. Отталкивающее гиперболическое множество (см. определение 6.4.3) называется локально максимальным, если оно обладает открытой окрестностью, которая не содержит никакого большего инвариантного множества. [c.522]

Перестройки мгновенных фронтов. Предположим теперь, что световая гиперповерхность определяется вариационным принципом, а регулярное начальное условие трансверсально многообразию, состоящему из характеристик, проходящих через гиперболические особенности световой гиперповерхности. Снова рассмотрим какую-нибудь характеристику, начинающуюся на и заканчивающуюся в точке М преломления, отражения или псевдоотражения характеристик. Обозначим через 2 продолжение начального условия вдоль характеристик, достаточно близких к рассматриваемой. Приведённая ниже теорема 2 описывает перестройки мгновенных фронтов в окрестности точки п(М) при некоторых дополнительных условиях регулярности, накладываемых на точку М. [c.313]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...