Расслоение векторное

Векторные расслоения. Векторными Р. ваз. Р. у к-рых слой есть векторное пространство Q, а группа В действует как подгруппа ОЦп, Q) группы всех линейных преобразований Q. Наиб, существ, примерами являются вещественные Р., = Д", [c.284]

Касательное расслоение векторного расслоения. Пусть ц = = ( , р, М)—дифференцируемое векторное расслоение размерности т с базой М, Рассмотрим касательное расслоение к расслоенному пространству Е. Имеет место коммутативная диаграмма [c.55]

Пример. Касательное расслоение ТМ на многообразии М является векторным расслоением здесь т равно размерности М, а группа О = СЦт, К) действует линейными заменами координат в касательных пространствах — слоях, индуцированными заменами координат в базе. Сечения этого расслоения — векторные поля. Если задано не обращающееся в нуль векторное поле на М, то одномерные подпространства, которые определяются линейными оболочками в каждой точке, задают одномерное распределение. [c.706]

Разрешение особенности 28, 108 Расслоение векторное 147 [c.255]

Воспользуемся расслоенностью векторного ноля п и выберем криволинейные координаты специальным образом координатные новерхности [c.45]

Пусть V — произвольное вертикальное (касающееся слоев t ХС) векторное поле в расслоенном над произведении S x ХС. Усредним его по времени вдоль интегральных кривых предыдущего уравнения. Под этим понимается следующее. Поле v определяет поле v на универсальной накрывающей Rx пространства S x , переходящее в себя при сдвигах R на 2я. Фиксируем начальное сечение, скажем о ХС. Все пространство расслоения Rx отображается на это сечение так, что каждая фазовая кривая поля i(nzd/dz- -d/dt переходит в свою точку на начальном сечении. Это отображение переносит векторы накрывающего поля v в начальное сечение. В каждой точке начального сечения возникает периодически зависящий от t вектор. Усредняя его по t, получаем вектор усредненного по ля в рассматриваемой точке плоскости С. [c.57]

Быстрые и медленные движения. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящую от параметров. Иными словами, пусть дано гладкое расслоение Е- В и вертикальное (касающееся слоев) векторное поле на Е. [c.167]

В регулярных точках на медленной поверхности возникает векторное поле — поле медленной скорости. Оно определяется проекцией возмущения исходного вертикального поля на касательную плоскость медленной поверхности вдоль слоев расслоения. [c.168]

Таким образом, закон Дарси применим к течению жидкости в упакованном слое, когда поток ограничен в одном направлении стенками контейнера, в том смысле, что падение давления будет прямо пропорционально количеству жидкости, протекающему за единицу времени. Можно видеть также, что любое жесткое расслоение частиц, систематически отклоняющееся от изотропного, может привести к появлению бокового усилия, приложенного к стенкам контейнера (примером может служить ансамбль сфероидов, расположенных под углом к направлению среднего потока жидкости). Рассматриваемый в более широком смысле, когда справедливо векторное соотношение (8.5.6), закон Дарси неприменим к течениям в неоднородных средах, в которых итоговое направление течения не определяется внешними ограничивающими стенками. [c.473]

Пусть F — вещественное векторное пространство размерности т. Дифференцируемым векторным расслоением со слоем F называется тройка т]=( , JX, М), где М — многообразие размерности п, база расслоения Е—(п+ )-мерное многообразие, расслоенное пространство п — отображение Е- М, называемое проекцией Е на Л1, причем п р) гомеоморфно пространству F для всех р М. F=n p) называется слоем над точкой р. [c.52]

Расслоением, трансверсальным к слоям расслоения т], называется дифференцируемое векторное расслоение р г(М) над Е р % М) = = р" ТМ, со, Е), Существует дифференцируемый гомоморфизм К над Е—К. ТЕ- р" ТМ такой, что следующая диаграмма коммутативна [c.55]

Фундаментальная форма. Введение дифференциальных.операций на касательных пространствах позволяет задать симплектическую структуру на касательном расслоенном пространстве и рассмотреть в дальнейшем лагранжевы динамические системы как векторные поля на ТМ или дифференциальные уравнения второго порядка на М. [c.57]

В статье рассматривается применение теории дифференцируемых многообразий к лагранжевой динамике. В статье [8] автора рассмотрены необходимые математические понятия и операции. Введение фундаментальной формы на касательном расслоенном пространстве задает на нем симплектическую структуру и позволяет задать лагранжеву динамическую систему, соответствующую голономной склерономной механической системе, как векторное поле на касательном расслоенном пространстве. [c.69]

Здесь определены симплектические многообразия, гамильтоновы векторные поля на них и стандартная симплектическая структура в кокасательном расслоении. [c.175]

Введем теперь удобное расстояние на единичном касательном расслоении многообразия Н. Для v, ги 6 5 11 мы назовем угол .v, w расстоянием от V до W. Рассмотрим z, z еШ и v 6 5 Н, w е 5 ,Н. Имеется единственная геодезическая -у [0,1] —> Н, соединяющая z и z, и мы обозначим через X такое непрерывное векторное поле на 7, что X 0) = v и XX(t), j(t) = = Zv, 7(0) для всех t е [0,1]. Тогда можно определить расстояние [c.218]

Второе касательное расслоение ТТМ, очевидно, является векторным расслоением над ТМ, но оно также оказывается и векторным расслоением над М. В связи с этим отметим, что замены координат в М индуцируют замены координат в ТТМ которые вновь определяются линейными частями замен координат в М. Мы вернемся к этому замечанию, когда будем говорить о римановых многообразиях. [c.706]

В дальпейгпем особую роль будут играть расслоенные векторные ноля п. Векторное ноле, определенное в некоторой области пространства, называется [c.446]

Воспользуемся предположением о расслоенности векторного ноля п и выберем криволинейные координаты специальным образом поверхности = onst есть слои поля п, а поверхности = onst, = onst — интегральные поверхности векторного ноля п. [c.451]

В дальнейшем исследовапип особую роль будут играть расслоенные векторные ноля п. [c.39]

Поток векторного поля, отвечающего гамильтониану Я, сохраняет F, если [H,J скобки Пуассона алгебру А. Физ. величины — это элементы фактор-алгебры AiJ. Их можно воспринимать как ф-ции на физ. фазовом пространстве В — базе нек-рого расслоения F—>B. Скобка Пуассона в A/J наделяет В симплектич. структурой. Эта конструкция используется в калибровочно инвариантных теориях (см. Калибровочная инвариантность), где вместо проекции ИЯ F в В обычно фиксируют калибровку , т. е. сечение расслоения F — В в качестве физ. фазового пространства. [c.522]

В последние несколько лет математики й физикй, по-видимому, являются свидетелями столь же чудесной конвергенции идей. С одной стороны, в физике возникли калибровочные теории, развитые для единого описания электромагнитных, слабых и сильных взаимодействий, с другой чисто математическое развитие римановой геометрии привело к понятию расслоенных пространств. В середине семидесятых годов многих математиков и физиков озарило откровение они вдруг поняли, что в калийровочных теориях используются связности (векторные потенциалы) в расслоенных пространствах. Один из главных создателей калибровочных теории Ч. Янг писал Я был изумлен, увидев, что калибровочные поля —это в точности связности в расслоенных пространствах, теорию которых математики создали вне видимой связи с физическим миром . [c.8]

Касательное и кокасательное расслоения. 2п-мерное дифференцируемое многообразие ТМ, являющееся объединением всех касательных пространств в точках многообразия TM = UTpM, называется касательным расслоенным пространством. Касательное расслоение представляет важный пример дифференцируемого векторного расслоения [5. [c.52]

Пусть М — дифференцируемое многообразие, TM = UTpM. Касательное расслоение г=(ТМ, я, М) является примером векторного расслоения, где М — база расслоения ТМ — расслоенное пространство л ТМ- М — естественная проекция ТМ на М. [c.52]

Другим примером векторного расслоения является кокасательное расслоение — ассоциированное расслоение внешних форм на х[М). Это двойственное к х расслоение т =(7 Л1, q, М). T" M = UTpM — кокасательное расслоенное пространство. [c.52]

Векторные поля. Пусть М — п-мерное дифференцируемое многообразие, ТМ — касательное расслоенное пространство. Отображение Х М- ТМ, сопоставляющее каждой точке р М касательный вектор v TpM, называется векторным полем на М. Если тс ТМ- М — проекция касательного расслоения, то для любого векторного поля тсоХ М- - М — тождественно. Так как касательные пространства ТрМ являются векторными пространствами, векторные поля можно складывать, ум- [c.52]

Рассматривается применение теории дифференцируемых многообразий к лагранжевой механике. Введение симплектической структуры на касательном расслоении конфигурационного пространства позволяет задать лагранжеву динамическую систему, соответствующую голономной склерономной механической системе как векторное пол з на касательном расслоенном пространстве. Обобщение этих понятий на более сложныс неголономные системы, требующее ряда дополнительных построений, составляет основное содержание статьи. [c.127]

ПДО в соболевских пространствах векторных полей на 5. Нам понадобятся теперь соболевские пространства вектор-функций на 5 и псевдодифференциальные операторы, действующие в этих пространствах. Более точно, эти функции будут векторными полями на 5, т. е. сечениями касательного расслоения Т8 (см. п. 3 33). Мы сохраним для соболевских пространств векторных полей обозначение Я (5). В пространстве Но 8) векторных полей скалярное произведение двух полей ф, ф, локально записанных в виде Ф = у е1 + Л2 и ф = ш е] + ш е2, определяется формулой [c.392]

Если на базе расслоения дано векторное поле, то любое (гладкое) отображение периодов можно дифференцировать вдоль этого поля, и производная также есть отображение периодов. Действительно, близкие слои расслоения когомологий канонически отождествляются друг с другом целочисленной локальной тривиа-лизацией, после чего сечение становится (локально) отображением в один слой и дифференцируется, как обычная функция. [c.432]

В качестве базиса векторных полей (2.2) удобно выбирать левоинвариантные (правоинвариантные) векторные поля из ее алгебры Ли. При этом тензор не зависит от координат и определяется структурными константами алгебры Ли. Скобка (2.12) при этом определяет так называемую каноническую структуру на кокасательном расслоении с базой — группой Ли [31]. [c.37]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

Рассмотрим единичное касательное расслоение 5Т плоского тора с 1-формой а, полученной из стандартной l J opмы в, задаваемой соотношением (5.5.1), с помощью преобразования Лежандра (5.3.5). Опишите группы диффеоморфизмов и векторных полей иа 5Т", сохраняющих а. [c.240]

Определение П З.б. Под дифференцируемым векторным расслоением со структурной группой О, являющейся подгруппой СЦт, К), над базой М понимают такое многообразие Р, называемое тотальным пространством нли пространством расслоения, что проекция тг Р->М дифференцируема и, кроме того, локально Р = ЛГ х К , т. е. для каждой точки X 6 М существует такая окрестность и, что имеется диффеоморфизм А тг (г7) V х К ", и -> (тг( ), 1р(и)), и притом для любой точки X в пересечении Ц П двух таких окрестностей тривиализации отличаются на элемент из группы О. Подрасслоение или распределение — это расслоение, слои которого содержатся в слоях Р. Для двух распределений Е, Г их суммой Уитни Е + Г называется распределение вида (Е - - Р) , = + Р . Мы будем использовать знак ф , еслн сумма (в каждой точке) прямая, т. е. Я П = 0 для всех р М. Сечением расслоения Р называется такое отображение V М Р, что тг о и = [c.706]

Заметим, что у дифференцируемого многообразня ТМ есть свое касательное расслоение ТТМ. Это важный объект. С одной стороны, он открывает возможность для дифференцирования векторных полей. С другой стороны, в классической механике уравнения движения являются дифференциальными уравнениями второго порядка, и естественно рассматривать вторые производные как элементы второго (или двойного) касательного расслоения ТТМ. [c.706]

Вернемся ненадолго к изучению общих расслоений. Так как векторное расслоение Р представляют собой дифференщфуемое многообразие, у него есть свое касательное расслоение. Тогда оно обладает дополнительной структурой. [c.711]

Дифференциальные уравнения на многообразии. Все определения предыдущих разделов обобщаются на случай, когда -вместо-лбдасти-вещеетвеиног-о- или комплексного ли ЙногО пространства рассматривается вещественное или комплексное многообразие М. Например, автономное дифференциальное уравнение задается векторным полем на многообразии (сечением касательного расслоения). Подробности можно найти в кйигах [7], [24], [47]. [c.18]

Определяемые ниже сопрягающие отображения— это автоморфизмы тривиального векторного расслоении с одномерной базой В (сжрестностью нуля нли проколотой окрестностью нули) и слоем С . [c.124]

Обобщения. В современной литературе линейные системы дифференциальных уравнений интерпретируются как связности в векторных расслоениях. Это. позволяет решать проблему Римана—Гильберта с неклассическим временем (t пробегает произвольную рнманову поверхность или многомерно [82]). Приведем некоторые приложения теории векторных расслоений иа сфере к проблеме Римана—Гильберта первая половина [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...