Расслоение контактных элементов

В частности, все контактные элементы, приложенные в одной точке, образуют лежандрово подмногообразие (слой расслоения контактных элементов). [c.450]

Пересечение наших двух гиперповерхностей есть линейное расслоение контактных элементов над пространством-временем, ограниченное на край [c.213]

Рассмотрим лежандровы проекции лежандровых поверхностей с полукубическими рёбрами возврата. Само ребро является гладкой интегральной кривой распределения контактных плоскостей. Типичная интегральная кривая контактной структуры нигде не вертикальна. Следовательно, её проекция является гладкой кривой, которая локально может быть преобразована в прямую диффеоморфизмом базового 3-пространства. Объемлющее контактное многообразие и его лежандрово проектирование могут быть отождествлены с расслоением контактных элементов базы. Элементы, соответствующие ребру возврата, могут быть сделаны параллельными при помощи нового диффеоморфизма, сохраняющего описанную выше прямую. [c.257]

Таким образом мы построили однопараметрическое семейство лежандровых кривых в пространствах лежандровых расслоений контактных элементов плоскости. В точке возврата любой кривой касательная прямая принадлежит контактной плоскости в этой точке. Для типичного значения параметра касательная прямая не вертикальна (не совпадает с направлением слоя). Однако, для некоторых значений параметра эта касательная становится вертикальной. В соответствующей точке появляется особенность Щ. [c.257]

Многообразие всех контактных элементов и-мерного многообразия является пространством расслоения, база которого — наше г-мерное многообразие, а слой — проективное пространство размерности и — 1. [c.320]

Пр и м е р ы. 1. Проективное кокасательное расслоение (сопоставляющее контактному элементу его точку приложения) лежандрово. 2. Расслоение 1-струй функций над 0-струями (забывание производной) лежандрово. [c.452]

Примеры. 1. Преобразование Лежандра гиперповерхность в проективном пространстве поднимается в пространство его контактных элементов в виде лежандрова подмногообразия. Многообразие контактных элементов проективного пространства расслоено и над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляется содержащая его плоскость). Это расслоение лежандрово. Проекция поднятого лежандрова многообразия отображает его на гиперповерхность, проективно двойственную исходной. [c.452]

Теорема (1978). Поверхность в пространстве контактных элементов плоскости, расслоенном над плоскостью, образованная всеми контактными элементами эвольвент кривой общего положения вблизи точки перегиба кривой, локально диффеоморфна поверхности, образованной всеми многочленами с кратными корнями в пространстве многочленов х Ч- ах +Ъх- -с, расслоенном на прямые, параллельные оси Ъ. [c.462]

Спроектируем гиперплоскость, определяющую контактную структуру, из точки пространства лежандрова расслоения вдоль слоя на базу. Её образ есть контактный элемент к базе в точке, являющейся образом исходной точки. [c.63]

Таким образом мы сконструировали отображение из пространства лежандрова расслоения в пространство контактных элементов к базе. Это отображение является (локальным) диффеоморфизмом, так как невырожденность контактной структуры влечёт тот факт, что проекция гиперплоскости, задающей контактную структуру, вращается с ненулевой скоростью, когда точка пространства расслоения движется с ненулевой скоростью вдоль слоя. [c.63]

Это отображение переводит исходные контактную структуру и лежандрово расслоение в контактную структуру и естественное лежандрово расслоение пространства контактных элементов базы, что и доказывает теорему. [c.63]

Проективная структура слоёв лежандрова расслоения имеет даже большее геометрическое содержание, так как любое отображение лежандровых расслоений (сохраняющее контактную структуру и слои) автоматически индуцирует единственное проективное отображение слоёв (определённое действием диффеоморфизма баз на контактных элементах к базам). В симплектическом случае аффинные отображения слоёв определены только с точностью до сдвигов. [c.63]

В работах [106] и [107] определены десятки различных теорий кобордизмов (принимал во внимание или нет ориентацию лагранжевых и лежандровых многообразий, кобордизмов, баз расслоений и контактных элементов). Соответствующие группы были вычислены для кривых и поверхностей. [c.122]

Подмногообразие в проективном пространстве определяет лежандрово подмногообразие в пространстве контактных злементов объемлющего проективного пространства оно образовано контактными элементами, содержащими касательное пространство исходного подмногообразия. Пространство контактных элементов проективного пространства расслоено над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляем содержащую его гиперплоскость). Это расслоение является лежандровым (см. 3.1, рис. 35). Лежандрово подмногообразие, образованное контактными элементами, касающимися исходного подмногообразия, определяет лежандрово отображение в двойственное проективное пространство. Образ этого отображения (то есть множество касающихся исходного подмногообразия гиперплоскостей) является фронтом зтого лежандрова отображения. Для краткости будем называть его фронтом исходного подмногообразия. Лежандрово отображение называется фронтальным отображением (ассоциированным с подмногообразием). [c.233]

Рассмотрим типичное расслоение на плоскости базового 3-пространства. Фронт нашего лежандрова многообразия пересекает эти слои вдоль плоских кривых. Контактные элементы слоя, содержащие касательные направления к любой из таких кривых, образуют лежандрово многообразие в трёхмерном контактном пространстве контактных элементов плоскости. Это лежандрово многообразие является лежандровым краем исходной лежандровой поверхности. Оно имеет полукубическую точку возврата в точке, соответствующей ребру возврата исходной поверхности. [c.257]

Армированные волокнами металлы можно рассматривать как многоэлектродный элемент, для которого существенное значение имеет контактная коррозия и возможность избирательной коррозии, приводящей часто к расслоению материала. [c.226]

Теорема. Расслоение контактных элементов является проективизацией кокасательного расслоения его можно получить иа кокасательного расслоения, заменив каждое кокасательное линейное п-мерное пространство и — -мерным проективным пространством точка которого — прямая, проходящая через начало координат в кокасательном пространстве). [c.320]

Пример 3. Контактный элемент на У — это гиперплоскость в касательном к V пространстве. Все контактные элементы на V образуют расслоение над У, со слоем — проективным пространством контактных элементов, приложенных в одной точке контакта. Расслоение контактных элементов над V есть проективизация кокасательного расслоения V. Таким образом, пространство проективизации кокасательного расслоения РТ У имеет естественную контактную структуру (рис. 33). [c.61]

Световая гиперповерхность есть объединение алгебраических проективных гиперповерхностей, принадлежащих различным слоям расслоения контактных элементов базового пространства. Для системы и точки общего положения эти алгебраические гиперповерхности неособы (в зтом случае они строго гиперболичны). Но в некоторых точках базового многообразия эти гиперповерхности могут становиться особыми. Изучение этих особенностей для типичных вариационных гиперболических систем и есть главная цель настоящей главы. [c.279]

Источником симплектических структур в механике являются фазовые пространства (т. е. кокасательные расслоения к конфигурационным многообразиям), на которых всегда есть каноническая симплектическая структура. Источником контактных структур являются многообразия контактных элементов конфихурацион-ных пространств. [c.314]

Дело в том, что многообразие контактных элементов связано простой конструкцией с пространством кокасательного расслоения (проективизацией которого является многообразие контактных элементов). Причем невырожденность поля контактных плоскостей проективизированного расслоения тесно связана с невырожденностью 2-формы, задающей сиьшлектическую структуру кокасательного расслоения. [c.321]

Доказательство. Сиьшлектизация 2п — 1-мерного многообразия всех контактных элементов на и-мерном гладком многообразии, построенная по полю 2п — 2-мерных контактных плоскостей, есть по построению пространство кокасательного расслоения исходного и-мерного многообразия без нулевых кокасательных векторов. Каноническая 1-форма а на симплектизации есть, согласно ее определению, та самая 1-форма на кокасательном расслоении, которую мы назвали р д и которая лежит в основе гаьшльтоновой механики (см. 37). Ее производная йа. есть, следовательно, форма айр Д йд , задающая обычную симплектическую структуру фазового пространства. Стало быть, форма йа не вырождена. Значит, по предыдущему замечанию, поле контактных гиперплоскостей не вырождено. Следствие доказано. [c.325]

Пример 1. Проективизация коках ательного расслоения РТ У —) V, сопоставляющее контактному элементу его точку контакта, является лежандровым расслоением. [c.63]

Вооружённый фронт на V определяет коническое лагранжево подмногообразие в пространстве Т У кокасательного расслоения V. Это подмногообразие состоит иэ 1-форм, нулевых на касающихся фронта контактных элементах и положительных на вооружающих нормалях. Для типичного фронта это коническое многообразие гладко иммерси-ровано в Т У. Риманова метрика на V определяет иммерсию фронта в это коническое коническое многообразие (отправляет точку фронта в 1-форму, равную 1 на вооружающем нормальном единичном векторе). Индекс одномерного фронта, определённый выше как число точек перегиба (с учётом их знаков), равен индексу Маслова кривой, соответствующей этому фронту и лежащей на коническом лагранжевом подмногообразии в Т У (см. [107]). [c.123]

Геометрическая оптика лучей и фронтов, задаваемых системой гиперболических дифференциальных уравнений с частными производными, является геометрией гиперповерхности в контактном пространстве проективизованного кокасательного расслоения пространства-времени. Эта гиперповерхность, называемая световой гиперповерхностью, есть множество нулей (главного) символа. В теории дифференциальных уравнений с частными производными характеристики зтой гиперповерхности в контактном многообразии контактных элементов странным образом называются бихарактеристиками . [c.275]

При выращивании методом Чохральского некоторых кристаллов (например, боратов) из раствор-расплавов, обладающих высокими значениями динамической вязкости, конвективное течение расплава в тигле очень слабое. Вследствие недостаточного перемешивания может нарушиться однородность раствор-расплава, появиться термогравитационное и концентрационное расслоение расплава. Концентрационное переохлаждение и ячеистый рост очень часты для таких систем. Получение качественного кристалла становится проблематичным или даже невозможным. Необходимое в таких случаях принудительное перемешивание раствор-расплава может быть достигнуто при использовании формообразователя - мешалки, расположенной соосно с тиглем внутри него [1-3], вращением тигля [4], действием на расплав вращающихся перегородок, выступов, мешалок [5-6]. Этим контактным методам, как правило, сопутствуют вибрации вращательных механизмов, необходимость создания зазоров и/или уплотнений, усложняющих установки и, главное, вносящих случайные возмущения в процесс роста кристалла и являющихся источником загрязнения расплава. В работах [7-9] предложен новый подход, основанный на бесконтактном возбуждении азимутальных течений в расплаве путем вращения неоднородного теплового поля на стенке тигля. Тепловое поле формируется нагревательной печью, состоящей из равномерно расположенных по окружности вертикальных нагревательных элементов (фиг. 1, а). При поочередном подключении двух противоположных нагревателей 7-2, затем 1 -2 и т.д. (фиг. 1, б) на стенке тигля по ф создается распределение температуры, похожее на двухлопастной пропеллер. [c.36]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...