Мера с максимальной энтропией

Гуревич Б. ГЛ., Единственность меры с максимальной энтропией для символических динамических систем, близких к марковским, ДАН СССР, 204, Ке 1 (1972), 15-17. [c.58]

Теорема. р.ф—единственная мера с максимальной энтропией тогда и только тогда, когда такова [c.136]

Проблема. Пусть — гиперболический символический поток на Л ст,/). Будет лн (Х г единственной мерой с максимальной энтропией [c.136]

Подчеркнем, что данное свойство меры аналогично свойствам меры Лебега для линейного растягивающего отображения и однородной меры Бернулли для полного сдвига (см. следствие 4.4.1). В следующем параграфе мы увидим, что на этих мерах энтропия достигает максимального возможного значения на множестве всех инвариантных мер данного преобразования. Следствие 20.1.5 показывает, что — единственная мера с максимальной энтропией. [c.186]

Теорема 4.5.4. Разделяющие отображения компактных метрических пространств обладают мерой с максимальной энтропией. [c.191]

Весьма естественен вопрос об условиях единственности такой меры. Очевидно, можно брать объединение нескольких непересекающихся копий одной и той же разделяющей системы, которое представляет собой разделяющую систему, или объединение нескольких различных систем с одинаковой энтропией, и по второму утверждению предложения 3.1.7 и второму утверждению предложения 4.3.16 мера с максимальной энтропией тогда не будет единственной. Не помогает и добавление условия топологической транзитивности (упражнение 4.5.2). Однако, как мы увидим в 20.1, для большого естественного класса разделяющих динамических систем, который, в частности, включает все транзитивные топологические цепи Маркова, гиперболические автоморфизмы тора, подковы, растягивающие отображения и т д, инвариантная мера с максимальной энтропией единственна. [c.191]

Постройте пример гомеоморфизма компактного метрического пространства с конечной топологической энтропией, который ие имеет меры с максимальной энтропией. [c.191]

Постройте пример топологически транзитивного разделяющего гомеоморфизма компактного метрического пространства, который обладает более чем одной мерой с максимальной энтропией. [c.191]

В этой главе мы доказываем некоторые из центральных результатов эргодической теории гиперболических динамических систем. Существуют два специальных вида инвариантных мер для гладких динамических систем меры с максимальной энтропией и гладкие меры. Мы покажем, что для гиперболических систем эти меры являются частными случаями равновесных состояний, представляющих собой аналог мер Гиббса в статистической механике. Первые четыре параграфа этой главы посвящены анализу равновесных состояний, который завершает в данной книге тему, начатую в гл. 18 и 19, причем особое внимание уделяется вышеупомянутым специальным мерам. В качестве двух основных инструментов этого анализа используются спецификация и теорема Лившица. [c.616]

Меры с максимальной энтропией........146 [c.113]

Меры с максимальной энтропией. Теорема 3.3 позволит нам свести многие вопросы о топологических и эргодических свойствах гиперболических аттракторов к проблемам статистической механики ы-гиббсовских мер. [c.146]

Эта теорема выражает замечательное свойство меры с максимальной энтропией индуцируемые ею условные меры на ГУМ и ГНМ равномерно сжимаются (соответственно растягиваются) под действием 5. Можно показать, что Цо — единственная мера с таким свойством. [c.146]

Тогда Ч> (л ) = Ф ( 1)"Чл )) — непрерывная функция на 2д. Рас смотрим на 2д последовательность мер 1л = р 1Ло > где (Хо — указанная выше мера с максимальной энтропией на 2д, а плотность [c.147]

Сдвиг Г на Мп называется топологической цепью Маркова. Аферой с максимальной энтропией для сдвига Т называется такая инвариантная мера fio, что (Г) = тах (Г), где [c.69]

Максимально полезная работа. Эксергия и анергия. Так как всякая необратимость приводит к уменьшению полезной работы, то увеличение энтропии изолированной системы из-за необратимости протекающих в ней термодинамических процессов может служить мерой потери максимально полезной работы max, которую могла бы совершить система при протекании в ней обратимых термодинамических процессов. Действительно, при необратимых термодинамических процессах потерянная работа самопроизвольно превращается в теплоту, которая также самопроизвольно переходит к телам с более низкой температурой, увеличивая их энтропию (а следовательно, и системы) на значение AS". [c.39]

В самом деле, любое мгновенное состояние системы классических частиц можно рассматривать как точно заданное, т.е. с нулевой энтропией и полной информацией / = 1п Г. Поэтому понятия мгновенной температуры ввести нельзя (можно считать ее равной нулю, но это мало что значит). И только при наличии слабых внешних возмущений, усиливаемых парными столкновениями частиц, по прошествии промежутка времени, порядка среднего времени столкновений, наступает реальный молекулярный хаос с соответствующей температурой, являющейся мерой хаотического теплового движения. При этом любая начальная информация исчезает, а энтропия достигает своего максимального значения 5 = 1п Г. Именно такой процесс появления температуры с одновременным превращением информации в энтропию происходит в узком слое фронта необратимости на рис. 14. [c.177]

Пусть с Пг — множество, определенное в упражнении 1.9.10, и 3 = <г2 д. Докажите, что 3 обладает единственной мерой максимальной энтропии. [c.623]

Пока все хорошо. Оптическая система описывается функцией т ( ), структура объекта — функцией Фоо ((о), а характер назначения прибора укажет, какой фактор качества необходимо выбрать. Но чтобы практически использовать эти соотношения, необходимо сделать некоторые предположения относительно Фоо ( ). При отсутствии конкретных данных об объекте мы можем прибегнуть к теории информации и исходить, так сказать, из принципа максимального незнания . Именно, мы выберем для Фоо ( ) форму белого (т. е. со спектром, равномерным по крайней мере до частоты среза фильтра) гауссова (нормального) шума. Это связано с тем, что среди всех структур объектов, характеризуюш ихся фиксированной величиной среднего квадрата флуктуаций яркости, структуре с нормальным распределением величин яркости соответствует максимальная энтропия. Выбор спектра, равномерного вплоть до пределов разрешения, позволяет нам вынести Фо ( ) за знак интеграла и сконцентрировать внимание на зависимости показателей качества от параметров оптической системы [через х((о)]. [c.162]

Работа в необратимом цикле будет меньше, чем в обратимом, и уменьшение работы, совершаемой в цикле, так же как и увеличение энтропии, может служить мерой необратимости процессов, происходящих с рабочим телом цикла. Максимальное количество полезной работы в цикле при данных источниках теплоты называется работоспособностью, или эксергией, теплоты. [c.186]

Смысл энтропии как меры вероятности состояния сохраняется и для неравновесных состояний. В этом случае ф-лу (И) следует рассматривать как общее определение энтропии состояния. Ясно, что в природе самопроизвольно (т. е. в замкнутой системе) могут идти лишь процессы, приводящие к увеличению вероятности состояния. Обратные процессы являются крайне маловероятными. [Энтропия системы пропорциональна числу частиц в ней, поэтому статистич. веса двух физически достаточно близких состояний, будучи пропорциональны ехр —S/k), различаются очень сильно.I Это даёт статистич. обоснование закону возрастания энтропии, согласно к-рому энтропия Замкнутой системы может только увеличиваться. В состоянии равновесия энтропия имеет максимально возможное в. данных внеш. условиях значение. Следовательно, равновесное состояние является состоянием с макс, статистич. весом, т. е. наиб, вероятным состоянием. [c.668]

Формально выражение (3) для информации и (27) для энтропии тождественны между собой. Но они имеют совершенно различный смысл. А именно, информация (3) соответствует одной-единственной выборке из огромного, скажем Г, числа возможных состояний. И мера этой информации есть / = In Г. Энтропия же соответствует возможности нахождения системы с некоторой вероятностью 1 /Г в каждом из доступных состояний. Величина S = In Г соответствует максимальному "заполнению" всех состояний. Величины / и S оказались формально равными именно потому, что I отвечает максимальной информации только одного состояния, а S определена по множеству всех состояний. [c.32]

Мерой непредсказуемости в системе служит информационная энтропия. Иначе говоря, в случае, когда все ячейки равновероятны, или. V = /N, величина / максимальна. Если же все точки сосредоточены в одной ячейке (максимальная предсказуемость), то / = 0. Б этом нетрудно убедиться с помощью вычислений. Действительно, [c.224]

Теорема. — единственная мера с максимальной энтрО пией для ф, тогда и только тогда, когда единственная мера с максимальной энтропией для [c.107]

Еслн Мшах(Х, Ф)= л , ТО называется единственной мерой с максимальной энтропией для потока Ф Х- Х (здесь через обозначена энтропия по мере л). [c.136]

Мера максимальной энтропии и распределение периодических точек. В работах данного сборника гиббсовские меры для А-снстем строятся с помощью марковских разбне-нин. Возможен н другой подход, развитый Боуэном в рабо тах [24], [25], [26], для мер с максимальной энтропией. При STOM подходе мера с максимальной энтропией получается как предел мер, сосредоточенных на периодических траекториях. [c.230]

Теорема 13.3 ([А, теорема 7.4]). Пусть f Х- Х —транзитивный А -гомеоморфизм, h — индекс цикличности f, ц — мера с максимальной энтропией, Nn(A)—число точек периода п, содержаищхся в множестве А. Тогда [c.233]

Пусть Л — ЛМГМ диффеоморфизма 5, причем 5]Л — топологически транзитивно. Пусть также (2л, о) — символическое представление Л, построенное посредством марковского разбиения . Рассмотрим стационарную цепь Маркова с вероятностями переходов Pij = aijZilX A)Zi, где Я(Л)—максимальное положительное собственное значение матрицы А и Z= zi —соответствующий собственный вектор (см. [3]). Пусть далее (Хо — марковская мера на этой цепи Маркова и fxo — прообраз меры (Хо под действием отображения г з. Как показано в [3], (хо — мера с максимальной энтропией для S на Л (определение см. ниже п. 3.5). Сейчас будут указаны и некоторые другие важные свойства меры хо- [c.146]

Теория систем Аносова, сохраняющих меру Лиувилля, изложена в монографии [4], представляющей собой первое систематическое и фундаментальное исследование в гиперболической теории. Общие результаты теории систем Аносова имеются также в книге [8] и обзорной статье [6]. Теория гиперболических множеств (топологические свойства, различные примеры) и связанные с ией пробл1емы (Л-оисгемьг и др.) освещены в иниге [86] (см. также [21], где приведено полное доказательство теоремы о семействах е-траек-торий). Символическая динамика для систем Аносова (марковские разбиения, равновесные состояния, меры с максимальной энтропией) построена к-[41] (см. также [40], [43]) обобщение на случай гиперболических множества осуществлено в серии работ Боуэна (см. [13]) некоторые дальнейшие обобщения имеются в [3] (там же дан краткий обзор по топологическим марковским цепям). Основы теории РЧГ-систем развиты в [14]. НПГ-снстемы введены в [31], где исследованы их локальные свойства и эргодические свойствас по отношению к мере Лиувилля (ом. также [70]). Обобщение на меры Синая дано в [75]. [c.227]

В случае когда ф --постоянная функция, является едннстоенной инвариантной мерой, максимизирующей энтропию (ф = 0 и ф имеют одно и то же равновесное состояние). Для гиперболического автоморфизма двумерного тора является мерой Хаара, а конструкция 4.1 принадлежит Адлеру и Вейсу [1], Эта статья играет важную роль в развитии предмета к хорошо читается. Еслн = ь С, мера t максимальной энтропией все же имеет следующий геометрический смысл периодические точки па Й равномерно распределены относительно [5]. К. Зигмунд [19] рассмотрел типичные свойства мер па i2j. [c.90]

Теорема 4.5 (о распределении периодических точек для ТМЦ). Пусть (2л,а) — неразложимая ТМЦ с индексом цикличности к, NniB)— число точек периода п, содержащихся в подмножестве В Ъа, Nn = Nn A) —общее число точек периода п, ц — мера максимальной энтропии. Если дВ)== = ц(В 1п1В) = 0, то [c.210]

Для А -гомеоморфизмов меру максимальной энтропии можно связать с периодическими траекториями также и через марковское разбиение с использоваинем известных результатов про ТМЦ, приведенных выше (см. п. 4). Мы рассмотрим случаи А -гомеоморфизмов, следуя книге [А]. Результаты для А-потоков будут приведены в следующем разделе. Пусть / —транзитивный А -гомеоморфизм, ё" = = Яо, .., — марковское разбиение, (2 ,0-) — ТМЦ, соответствующая л 2,4— проекция, индуцироваииая разбиением Согласпо [Б1, предложение 3.19], (2, ,<т) — неразложимая ТМЦ. Пусть А —ее индекс цикличности, = = 21 и и 2л, а перемешивает. [c.231]

Последние два параграфа имеют несколько другой характер. Цель, которую мы в них преследуем, состоит в том, чтобы получить мультипликативную асимптотику роста числа замкнутых орбит для топологически перемешивающих потоков Аносова и, следовательно, подобную асимптотику числа замкнутых геодезических на компактном римановом многообразии отрицательной секционной кривизны с помощью метода, предложенного Маргу-лисом. Мы достигнем этой цели, используя альтернативное описание меры максимальной энтропии, которое содержится в 20.5. В 20.6 мы получим нужную мультипликативную асимптотику аналогично тому, как это было сделано в диссертации Толла. Ни первоначальное доказательство Маргулиса, ни работа Толла ранее не публиковались. [c.616]

Объединяя полученную характеризацию меры максимальной энтропии с результатами, полученными для марковских разбиений, мы находим асимптотическую оценку экспоненциальной скорости роста числа периодических орбит (см. (3.1.1)) для компактного локально максимального гиперболического множества, основанную на следствии 1.9.12 и предложении 3.2.5, которая гораздо более точна, чем оценка, полученная в теореме 18.5.6. [c.621]

Доказательство. Из Предыдущего доказательства видно, что полусопряжение, полученное с помощью марковского разбиения, сохраняет экспоненциальную скорость роста числа периодических точек, которая равна топологической энтропии. Таким образом, мера максимальной энтропии для сдвига индуцирует меру максимальной энтропии на Л посредством этого полусопряжения, и потому эта мера является мерой Боуэна. Но мера максимальной энтропии для сдвига — мера Перри, и, следовательно, согласно предложению 4.2.15 и предложению 4.4.2 она является перемешивающей [c.622]

В этом параграфе мы приведем другую конструкцию единственной меры максимальной энтропии в случае топологически перемешивающих потоков Аносова, принадлежащую Маргулису. В отличие от конструкции Боуэна из 20.1, где эта мера строится как предельное распределение периодических орбит, в конструкции Маргулиса мы имеем дело с пределами нормированной меры Лебега на очень длинных кусках неустойчивых многообразий. Конечно, данная конструкция также применима к случаю дискретного времени, но в этой ситуации она не дает особенно интересных новых результатов. Однако в следующем параграфе с помощью этой конструкции мы получим самую точную известную асимптотику скорости роста числа периодических орбит в случае потока. Таким образом, всюду в этом параграфе мы будем считать, что <р М М —топологически перемешивающий поток Аносова. Сначала введем необходимые обозначения. [c.643]

Всякий поток в системе может появиться лишь вследствие того, что в ней отсутствует равновесие соответствующих сил. С другой стороны, мерой отклонения состояния системы от равновесия является энтропия. Вто рой закон термодинамики учит, что каждый действительный процесс в изолиро ванвой системе приводит к увеличению энтропии этой системы. Максимальное значение энтропии наступает тогда, когда эта система приходит в состояние равновесия. [c.46]

Динамические системы - 2 (1985) -- [ c.2 , c.3 , c.4 , c.5 , c.6 , c.7 , c.8 , c.9 , c.10 , c.11 , c.12 , c.13 , c.14 , c.15 , c.16 , c.17 , c.18 , c.19 , c.20 , c.21 , c.22 , c.23 , c.24 , c.25 , c.26 , c.27 , c.28 , c.29 , c.30 , c.31 , c.32 , c.33 , c.34 , c.35 , c.36 , c.37 , c.38 , c.39 , c.40 , c.41 , c.42 , c.43 , c.44 , c.45 , c.46 , c.47 , c.48 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...