Лагранжа множители обобщенные

Таким образом, показано, что и при существовании связей (голономных) уравнения движения можно записать в форме Лагранжа. Дальнейшее обобщение возможно только применительно к таким неголономным системам, для которых связи выражаются как неинтегрируемые дифференциальные соотношения. Рассмотрение этого случая мы отложим до изучения вариационных принципов в гл. VI. Тогда можно будет изложить и способ (метод неопределенных множителей) для определения величин реакций связей. [c.34]

Но теперь отпадает представление с как обобщенного модуля упругости — эта неизвестная для несжимаемого материала величина (лагранжев множитель) определяется из уравнений статики, к которым присоединяется условие несжимаемости (2.1.12). [c.635]

Метод множителей Лагранжа является обобщением правила множителей Лагранжа для функций нескольких переменных и состоит в том, что для отыскания точки условной стационарности функционала [c.23]

Чтобы получить дифференциальные уравнения движения, применим к первому из уравнений (8.69) и уравнениям (8.70) метод неопределенных множителей Лагранжа. В результате придем к уравнениям Лагранжа в обобщенных координатах для систем с голономными и линейными неголономными связями [c.381]

Метод обобщенных координат. Для определения положения равновесия, кроме метода неопределенных множителей Лагранжа, можно пользоваться методом независимых параметров (обобщенных или криволинейных координат). [c.290]

Как видим, с помощью обобщенных координат положения равновесия определяются быстрее, чем с помощью множителей Лагранжа. Но зато, зная множитель Л, мы можем дополнительно найти реакцию сферы. [c.294]

Из сказанного выше видно, что основная идея С. А. Чаплыгина получения уравнений движения неголономных систем заключается в отказе от метода множителей Лагранжа и применении непосредственного исключения зависимых обобщенных скоростей. Ограничения, наложенные С. А. Чаплыгиным на уравнения связей, кинетическую и потенциальную энергии, легко устранимы. Это, собственно, и было выполнено П. Аппелем, а затем Больцманом и Гамелем. [c.164]

Кроме того, сравнение уравнений (8,7) и (8.20) показывает, что члены, содержащие неопределенные множители в уравнениях Лагранжа, могут рассматриваться как обобщенные снлы реакций неголономных связей. [c.161]

Весьма поучительно также проделать на этом примере предусмотренное в (34.11) обобщение уравнений Лагранжа, вводя в рассмотрение, наряду с 13, ср, излишнюю координату г. Хотя эта координата уже определена условием г = /, но она интересует нас потому, что дает возможность с помощью множителя Л определить давление материальной [c.258]

Физическая интерпретация метода неопределенных множителей Лагранжа. Пусть мы имеем механическую систему с п степенями свободы, определяемую обобщенными координатами q , q , на которую наложено кинематическое условие вида [c.107]

Уравнения (ЗГ) обычно называются уравнениями Лагранжа а первой форме. Они дают естественное обобщение уравнений движения одной точки, удерживаемой на гладкой поверхности (гл. II, п. 42), и замечательны с различных точек зрения. В частности, для отдельных множителей X имеет место истолкование, аналогичное истолкованию, указанному в статике (т. 1, гл. XV, п. 36). [c.287]

Впервые уравнения для неголономной системы в обобщенных координатах и не содержащие неопределенных множителей Лагранжа получил С. А. Чаплыгин ). В его уравнения, аналогично уравнениям Лагранжа 2-го рода, входит некоторая квадратичная функция от обобщенных скоростей, имеющая вид дифференциального выражения первого порядка. Развитие идей Чаплыгина было проведено П. Воронцом ). [c.848]

Запись системы дифференциальных уравнений движения и исключение множителей Лагранжа Л,-. Используя полученные выше коэффициенты а, и , и имея в виду полное число координат Я + /г = 5 + 2 = 7, записываем левую часть дифференциальных уравнений в форме (2.16), как в предыдущем примере. В правой части этих уравнений в соответствии с (2.20) помимо обобщенных сил Q,- стоит, сумма А h ,- +. .. Ч Л /г у. [c.67]

Множитель Лагранжа определяется из последнего уравне-ння системы (2.38). Не останавливаясь здесь снова на определении обобщенных сил Qy, перейдем непосредственно к составлению [c.71]

После выполнения подготовительных операций приступим к вариационной формулировке задачи статики. Рассмотрим кольцевой элемент оболочки вращения, нагруженный внешними поверхностными нагрузками и реакциями отброшенных частей. Для получения разрешающих. уравнений воспользуемся принципом возможных перемещений. Чтобы считать независимыми переменными как коэффициенты вектора обобщенных перемещений X , так и коэффициенты вектора производных , введем с помощью множителей Лагранжа (х) условие связи (4.112), записанное для возможных перемещений, тогда [c.152]

Отдельного рассмотрения требует последний интеграл в уравнении (4.120), учитывающий дополнительное дифференциальное условие связи между компонентами вектора обобщенных перемещений X и их первыми производными F . Разложив в тригонометрические ряды по угловой координате р аналогично (4.113) множители Лагранжа fx , выполним интегрирование по Р [c.153]

В теории конечных деформаций упругого тела принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа стационарности потенциальной энергии при условии, что существуют функция энергии деформации материала тела и функции потенциалов внешних сил. Как только принцип стационарности потенциальной энергии установлен, он может быть обобщен с использованием множителей Лагранжа. [c.19]

Развитые методы распространяются на динамические задачи теории упругости путем учета сил инерции. Таким образом, принцип виртуальной работы для динамических задач выводится с помощью понятия кинетической энергии. Принцип виртуальной работы преобразуется в новый вариационный принцип, если предположить, что существуют функция энергии деформации и функции потенциалов внешних сил. Полученный таким образом вариационный принцип можно рассматривать как принцип Гамильтона, распространенный на динамические задачи теории упругости. Он может быть далее обобщен с применением правила множителей Лагранжа. [c.19]

Очевидно, что принцип стационарности потенциальной энергии, выведенный в 3.8, можно обобщить с использованием принципа множителей Лагранжа. Применяя аналогичную методику, получаем обобщенный функционал в виде [c.95]

Далее, вводя множители Лагранжа 5,у и pt, из (14.15) выведем, обобщенный функционал [c.369]

Будем считать, что д т имеет такую форму, как показано на рис. 17.1. Далее, используя условия стационарности, часть из которых дается формулами (17.66), исключим из Пох множители Лагранжа / , Ry, Pi, Р и Рз для вывода функционала второго обобщенного принципа ) [c.410]

Первый обобщенный принцип Функционал Пр обобщается введением множителей Лагранжа [c.413]

Таким образом, контактная реакция (г 0) может быть интерпретирована как множитель Лагранжа (К 0) соответствующей энергетической постановки задачи, а схема простых итераций (15.84) метода обобщенной реакции— как метод проекции градиента в задаче о минимуме соответствующего функционала. [c.525]

Вводя систему гладких функций у.1(х), хеГ (обобщенные множители Лагранжа), можно записать [c.52]

В самом деле, решение задачи В в односвязной области должно удовлетворять условиям (4.3), (4.40), (4.41). По определению обобщенного решения выполняются соотношения (4.3), (4.40) и второе из условий (4.4). Вводя систему гладких функций xi x), Е V (обобщенные множители Лагранжа), можно записать [c.236]

Для того чтобы в уравнении (1.93) считать независимыми переменными как обобщенные перемещения X, так и их производные Y, дополним (1.93) с помощью множителей Лагранжа бХ и X условиями связи (1.92) и (1.96). Тогда с учетом (1.97) получим следующую вариационную формулировку задачи sm [c.27]

Приравняв нулю сомножитель при 6Y в подынтегральном выражении (1.98), определим вектор-столбец производных Y через вектор-столбец обобщенных перемещений и вектор-столбец множителей Лагранжа [c.28]

Для произвольных 6% и бХ потребуем, чтобы на интервале ( 5(1), 5(2)) обобщенные перемещения X и обобщенные силовые факторы X /физический смысл множителей Лагранжа следует [c.29]

Соотношение (11.1.10) есть общее уравнение движения материальной системы с удерживающими совершенными связями. Оно позволяет, если воспользоваться (II. 1.9), вывести уравнения движения, соответствующие методу Лагранжа. С это№ целью проведем преобразования (И.1.10) к обобщенным координатам q , q ,. .., qi. Для сокращения записей сумм условимся опускать знак суммирования во всех одночленах, множители которых имеют одинаковые индексы. Например, выражение — согласно этому пра- [c.32]

Уравнения прямого изопериметрического пути, получаемые применением оператора Эйлера-Лагранжа к функции F q,t,q) (8), имеют множитель Л у группы слагаемых, определяемых функцией V q, t, q). Поэтому получаемые уравнения можно рассматривать как некоторое обобщение уравнений движения системы с функцией Лагранжа (5) и обобщённым потенциалом (6) (последние получаются при Л = 1). В частности, если функция Лагранжа и обобщённый потенциал не зависят явно от времени dF dt = 0), то в системе (7), (8) имеется первый интеграл [c.131]

Составим уравнения движения саней, используя динамические уравнения движени я в обобщенных координатах с множителями Лагранжа [c.322]

Уравнения Лагранжа второго рода с множителями применяются главным образом для исследования движений систем с неголономными связями, а также в тех случаях сложных го-лономных связей, когда выявление некоторых обобщенных координат оказывается затруднительным. Подробное изложениг теории уравнений Лагранжа, в том числе и уравнений с множителями, относится к специальному курсу аналитической механики ). [c.420]

Хорошо известно, что множители Лагранжа представляют собою реакции связей. Соответственно на уравнение (7.4.3) можно смотреть несколько иначе. Первые два члена представляют собою работу внешних сил, объемных и поверхностных. Третий член есть работа внутренних сил, величины 6e,j = А (би,, j + 6iij, i) представляют собою обобщенные перемещения, а Оу — соответствующие обобщенные силы. Очевидно, что ОцОец есть инвариант, поэтому Оц — симметричный тензор второго ранга, который называется тензором напряжений. Преобразуем третий интеграл в соотношении (7.4.3) интегрированием по частям. Заметим, прежде всего, что [c.220]

Для составления уравнений движения механизма с неголо" номными связями нельзя использовать обычные уравнения Лагранжа второго рода, а следует применять их обобщение, известное под названием уравнений Лагранжа с неопределенными множителями-. [c.153]

В этой книге представляет интерее глава X, в которой рассмотрено обобщение уравнений Лагранжа на случай неголономных систем с применением метода неопределенных множителей Лагранжа. [c.71]

Общий метод решения задачи о движении твердого тела. Уравнения Эйлера. Весь аппарат, необходимый для решения задачи о движении твердого тела, нами практически уже получен. В некоторых случаях, когда на это тело наложены не-голономные связи, нам потребуется применить специальные приемы, чтобы учесть их. Так обстоит дело, например, в том случае, когда на тело наложена связь качения , которая может быть учтена с помощью введения неопределенных множителей Лагранжа, как это делается в 2.4. Если, однако, исключить эти специальные случаи, то, как правило, нам придется иметь дело только с голономными и консервативными системами, а движение таких систем вполне определяется их лагранжианом. Если рассматриваемое тело является свободным, то нам потребуется полная система из щести обобщенных координат TpeJ< [c.177]

В ряде случаев для упрощения составления уравнений движения вводится число обобщенных координат, превышающее количество степеней свободы системы. Полученные при этом уравнения Лагранжа с лишними координатами и неопределенными множителями Kk (их иногда называют уравнениями Феррерса [85]) [c.13]

Таким образом, было показано, что поскольку принцип минимума потенциальной энергии выводится из принципа виртуальной работы, он может быть обобщен путем введения множителей Лагранжа и дает ряд вариационных принципов-, включающих принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополнительной энергии и т. п. Это показано в виде диаграммы на табл. 2.1. [c.59]

Как только принцип стационарности потенциальной энергии получен, он может быть обобщен с применением правила множителей Лагранжа. Ниже приведено лишь выражение для Ilit [c.132]

Теперь получим из другой обобщенный функционал Поа, в котором исключены множители Лагранжа Р , Pj, Pj. Для этого вычислим первую вариацию IIoi следующим образом [c.398]

Дальнейшее исследование свойств подобных дифференциальных форм высших порядков и уравнений движения, выражающихся через них, бесспорно может привести к новым интересным фактам. Лагранж, Эйлер и все другие классики были бы весьма удивлены новым видом уравнений динамики. Но уже и сейчас можно утверждать, что новая форма уравнений динамики является основой дальнейшего развития механики неголономных систем самого общего вида. Если на базе обычных уравнений Лагранжа удается выводить все существующие типы уравнений движения неголономных механических систем только с неголономными связями первого. порядка и 1при этом линейными относительно обобщенных скоростей, то уравнения новой формы могут быть непосредственно применены и для вывода из них уравнений движения с неголономными связями любого вида, т. е. любого дифференциального порядка и любой структуры в смысле линейности или нелинейности уравнений связей относительно производных от обобщенных координат. Уравнения движения для систем с неголономными связями второго порядка были выведены в середине шестидесятых годов тем же И. Ценовым. Уравнения движения с множителями Лагранжа при нелинейных неголономных связях перво- [c.11]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Теорема Э. Нетер допускает обобщения. Одно из них связано с учетом свойства калибровочной (дивергентной) инвариантности функции Лагранжа и впервые сформулировано Е. Бессель-Хагеном [ 19] со ссылкой на устное сообщение Э. Нётер. Как известно, функция Лагранжа I может быть заменена т Ь = сЬ + X (с — валентный множитель, не зависящий от фазовых переменных и времени t) — произвольная калибровочная функция, удовлетворяющая условию достаточной гладкости). Пусть с = 1. Нетрудно убедиться, что из требования (10), [c.75]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...