Стокса свободное

Из сравнения полученных результатов с аналогичными результатами для случаев движения твердой сферической частицы в вязкой жидкости видно, что скорость свободного установившегося движения газового пузырька будет в 1.5 раза выше, чем для твердой сферы [2] при тех же размерах частицы и плотностях фаз. Однако экспериментальные наблюдения показывают, что малые пузырьки движутся со скоростью, близкой к соответствующей закону Стокса [c.25]

Для малых частиц Ф 0 (область справедливости закона Стокса), в то время как может принимать различные значения. При 2вг = 10 мк, 2яз = 20 мк и Рр = 10 кг/м р, == 10 кг/м-сек, Дир" = = 0,1 м/сек, ]/ л 1 и так как Ф мало, то т] 0,65 для потенциального потока и т) 0,2 для вязкого (фиг. 5.7). Однако для 2яг = 1 мк, 2а = 2 мкш / 0,3 ц 0,03 для потенциального потока и т) о для вязкого, т. е. столкновений не происходит. Следовательно, взаимодействие на расстоянии в присутствии жидкой фазы оказывается более существенным для мелких частиц. В жидкостях, где средняя длина свободного пробега равна или больше размера частиц, следует ожидать течения со скольжением или свободномолекулярного течения. Приведенные в работе [235] величины ц [уравнение (5.22)] следует использовать.при свободномолекулярном движении частиц. [c.218]

Возмущенные значения скорости и давления также пропорциональны множителю Q p ikx - /со О- Описание возмущенного движения осуществляется на основе полных уравнений Навье—Стокса при сохранении во всех соотношениях тех членов, в которые возмущенные величины входят лишь в первой степени (отсюда название линейная теория ). С точностью до линейных по возмущениям величин записываются и граничные условия на стенке и свободной поверхности пленки. Последние учитывают действие силы поверхностного натяжения (из-за искривления поверхности). Предполагается также, что трение на свободной поверхности пленки равно нулю. Линейная теория описывает полностью (с точностью до абсолютного значения амплитуд возмущенных величин) возникающее движение и позволяет установить значение частот со при известных волновых числах к и остальных параметрах задачи. Исследование этой зависимости и составляет центральную задачу линейной теории устойчивости. [c.166]

Формула Стокса позволяет рассчитывать скорость свободного падения твердых шариков плотностью в жидкой или газообразной среде с плотностью Действительно, при установившемся [c.199]

Рассматриваемый тип движения газовых пузырьков в жидкости соответствует области 2 рис. 5.6. В этой области строгий анализ требует, вообще говоря, решения полного уравнения Навье—Стокса (1.4г) или (1.4д). Однако интерпретация границы сферического пузырька как свободной поверхности жидкости с нулевым касательным напряжением на ней позволяет использовать следующий приближенный подход. При обтекании газового пузырька чистой (без поверхностно-активных веществ) жидкостью, как уже отмечалось, практически отсутствует зона отрыва потока от поверхности раздела фаз (в отличие от обтекания твердой сферы, которое при Re > 1 сопровождается отрывом потока практически сразу за ее миделе-вым сечением). В силу этого вихревое движение локализуется в весьма тонком пограничном слое на поверхности обтекаемого пузырька и в следе за пузырьком. Во всей остальной области течение может рассматриваться как потенциальное. Толщина пограничного слоя 5 на границе пузырька радиуса а по порядку величины должна [c.216]

Расчетные формулы, полученные аналитически для ламинарного пограничного слоя при свободной конвекции, не всегда точно совпадают с экспериментальными данными. Например, при малых значениях чисел Грасгофа (Gr < 10 ) результаты, полученные по формулам, не совпадают с экспериментальными данными, так как в этом случае толщина пограничного слоя слишком велика по отношению к размерам тела, и уравнения пограничного слоя оказываются непригодными для описания реальной физической обстановки. В этом случае необходимо решать полную систему дифференциальных уравнений Навье—Стокса, неразрывности и энергии без каких-либо упрощений. Эта задача весьма трудоемка. [c.180]

Конечно, из того же уравнения Навье — Стокса можно получить и другие безразмерные комплексы, однако эти новые комплексы представляли бы не что иное, как некоторые комбинации уже сконструированных комплексов (4-27), (4-28) и (4-29). В частных случаях из этих трех комплексов остаются только два или даже один. Так, если сила тяжести может быть опущена как совершенно несущественная, выпадает число Фруда (4-27). Это имеет место при конвекции в условиях вынужденного течения. Впрочем, если течение происходило бы не в поле тяготения, а в поле другой, более интенсивной массовой силы, то число Фруда и при вынужденной конвекции могло бы сохранить свое место после замены ускорения g соответствующим другим ускорением. Применительно к условиям свободной конвекции число Фруда подвергается другому видоизменению, о чем будет сказано особо. [c.94]

Фракционный состав пыли показан на рис. 24, а. Крутой спад кривой при возрастании размера йч частиц обусловлен быстрым их оседанием. Расчетные данные по скорости аач оседания частиц пыли шарообразной формы приведены в [85]. Расчеты выполнялись по формуле Стокса для свободного падения тел в совершенно спокойном воздухе (Яч 1 мкм Удч 3,5-10 см/с). Пылинки диаметром более 10 мкм оседают достаточно быстро, иач > 0,3 см/с. При уменьшении размеров пылевых частиц их концентрация в воздухе увеличивается (рис. 24,6). Однако с увеличением концентрации Мач пылевых частиц возрастает вероятность их взаимных столкновений и коагуляции — слипания под действием сил притяжения (сил Ван-дер-Ваальса и электрических). Силы зависят от размера частиц. Энергия связи двух шарообразных частиц с радиусом 1 мкм оценивается 10- Дж. Такая энергия связи намного превосходит энергию связи атомов в химических соединениях. Следовав [c.94]

Однако на сегодня один вопрос остается открытым не доказана строго правомерность предельного перехода от дифференциальных уравнений Навье — Стокса к уравнениям пограничного слоя. Это же, конечно, относится и к образованию пограничного слоя при больших числах Рейнольдса на поверхности тела, обтекаемого свободным потоком. Однако в некоторых даже более сложных случаях образования пограничного слоя может и не наступить. [c.10]

При составлении уравнений движения и неразрывности принималось во внимание, что постоянная объемная сила в каждой точке уравновешивается не только вязкостной силой, но и инерционными и поверхностного натяжения. Градиент давления в уравнениях Навье-Стокса может создаваться двумя причинами изменением давления потока газа, омывающего поверхность пленки, и силами поверхностного натяжения. Уравнения неразрывности и Навье-Стокса решены были при следующих допущениях 1)распределение продольных скоростей то же, что и при плоской пленке 2) давление в сечении постоянно и равно капиллярному давлению у поверхности 3) фазовая скорость распространения волны постоянная (профиль волны свободной поверхности не меняется и она движется с постоянной скоростью). Для случая, когда пленка движется под действием сил тяжести или центробежных сил и воздействие газового потока отсутствует, можно воспользоваться уравнением движения (10-13) и распределением скоростей по формуле (10-15). [c.285]

Значения постоянной скольжения а, полученные в условиях значительных градиентов скорости течения газа, оказались совпадающими с теми, которые ранее были найдены для условий чрезвычайно малых изменений макроскопической скорости на средней длине свободного пути молекул. Результаты исследований течения разреженного газа со скольжением приводят к выводу, что классическая теория аэрогидродинамики в приближении Навье — Стокса согласуется с опытом в более широких гр-а-ницах условий относительно степени разреженности среды и величины градиентов скорости течения газа. Этот вывод подтверждается излагаемыми ниже результатами исследования теплообмена при неизотермическом течении разреженного газа, в котором были достигнуты градиенты скоростей значительно более высокого порядка (10 сек- ). [c.521]

Два физических явления называют подобными, если величины или параметры одного явления могут быть получены по величинам или параметрам другого, взятым в сходственных пространственно временных точках, путем умножения на коэффициенты, постоянные для всех точек. Рассмотрим движение однородной несжимаемой жидкости с постоянной плотностью и коэффициентом вязкости. Так как в гидропередачах отсутствуют свободные поверхности жидкости, движение определяется лишь динамической составляющей давления. Распределение гидростатических давлений не сказывается на движении жидкости. В таком случае, уравнение Навье — Стокса, характеризующее гидродинамические процессы, и уравнение неразрывности имеют вид [c.12]

Поправка к закону Стокса при приближении к свободной поверхности [c.381]

Перечисленные условия подобия, включая последнюю систему равенств, являются необходимыми условиями подобия. Трудности стоят на пути выяснения достаточных условий подобия. Эти трудности связаны с тем обстоятельством, что существующие доказательства теоремы единственности решений уравнений Стокса относятся к отдельным классам движений вязких несжимаемых жидкостей. Для этих классов движения теорема об условиях подобия (необходимых и достаточных) двух входящих в них движений, конечно, может считаться полностью доказанной. Большое разнообразие встающих перед практикой задач (наряду с обычными задачами обтекания тел и протекания жидкости сквозь трубы и каналы существуют еще задачи свободной конвекции, распространения струй, образования следов за телами, развития пограничных слоев и мн. др.) не позволяет считать вопрос об установлении достаточных условий подобия движений вязкой несжимаемой жидкости решенным. [c.369]

Эксплуатация скважин, дающих очень вязкую нефть. Среди нефтяных месторождений встречаются такие, которые содержат нефть очень большой вязкости (порядка нескольких стоксов и даже десятков стоксов). Разработка таких месторождений представляет большие трудности. Применение глубинных штанговых насосов часто оказывается невозможным вследствие того, что время свободного падения штанг при ходе вниз составляет иногда десятки минут и даже часы. К. п. д. центробежных насосов в этих условиях снижается до нескольких процентов. Между тем применение [c.55]

В фундаментальной работе Пуассона 1829 г. содержится, помимо указанного выше, немало других важных результатов из общих уравнений теории упругости вновь выведено уравнение для продольных колебаний тонких стержней, раньше полученное Навье (1824 г.), и для их поперечных (изгибных) колебаний, а также впервые дано уравнение для их крутильных колебаний. Там же решена задача о свободных радиальных колебаниях упругой сферы. Эти результаты стали отправными для многочисленных работ, сколько-ни-будь подробное освещение которых возможно лишь в специальном исследовании по истории теории упругости. Здесь достаточно сказать, что этими работами был подготовлен новый этап в развитии теории колебаний, обобщение основных положений, относящихся к линейным колебательным системам с конечным числом степеней свободы, на линейные колебательные системы с бесконечно большим числом степеней свободы. Один из общих результатов такого рода был установлен Стоксом в работе О динамической теории дифракции название которой напоминает о том, что в эту эпоху — эпоху торжества теории упругого светоносного эфира Юнга — Френеля оптика снова содействовала развитию теории колебаний, как и во времена Гюйгенса. Для свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы, вводя нормальные координаты , для изменения каждой из них, получают уравнение вида [c.277]

Последняя формула показывает, что первое слагаемое правой части получается из второго дифференцированием по времени t и заменой фо на фо. Стокс доказал, что такая же связь существует и в общем случае между составляющими свободных колебаний, которые зависят от начальных смещений системы, и составляющими, которые зависят от начальных скоростей. Это означает, что для рассматриваемой линейной задачи достаточно построить решение, соответствующее заданным начальным скоростям и нулевым смещениям, чтобы получить общее решение. [c.278]

Скорость свободного оседания шарообразных частиц можно вычислить по формуле Стокса [c.147]

Когда частицы малы по сравнению со средней длиной свободного пробега в жидкости, имеет место молекулярное скольжение, приводящее к уменьшению сопротивления. Теоретическое решение для течения Стокса с граничными условиями скольжения получено Бассе [36]. Милликен [544], воспользовавшись результатами Бассе, получил полуэмпирпческую зависимость для сопротивления при свободномо.лекулярном течении, определив электрические константы по данным опытов с каплями масла. Коэффициент сопротивления можно записать в виде [164, 773] [c.36]

Для тела, расположенного в неограниченном пространстве, когда движение жидкости наблюдается только у его поверхности, а остальная ее масса остается неподвижной, можно составить уравнения пограничного слоя. Путем анализа порядка величин и отбрасывания малых, так же как это было сделано для случая вынужденного движения (гл. 7), из уравнений Иавье —Стокса для несжимаемой жидкости (2.29 и 2.30) при др1дх = 0 получим уравнения движения для стационарного двухмерного пограничного слоя с учетом (7.9) и (7.10) при свободной конвекции в проекции на ось X в следующем виде [c.176]

Лева [Л. 988] принимает за основу эту зависимость и, полагая, что над псевдоожиженмым слоем скорость витания пыли определяется законом Стокса,. приходит к корреляции, показанной на рис. 6-3, расценивая ее как ободряющую . С этим едва ли можно согласиться. Разброс точек здесь чрезвычайно велик. Отклонение опытных данных от корреляции достигает 20-кратного. Частично это может быть обязано тому, что в некоторых опытах унос мог определяться при малых свободных высотах, меньших высоты сепарации. Лева совершенно не оговаривает этого обстоятельства, хотя упоминает о работе Джолли и Стэнтона [Л. [c.229]

Наиболее важные исследования в области стесненного осаждения хлопьевидного осадка проведены Е. Ф. Кургаевым (ЦНИИ МПС). Он исходит из скорости свободного осаждения частицы по Стоксу [c.55]

Известно, что решение уравнения Больцмана в первом приближении приводит уравнение (1-5-9) к форме уравнения Навье—Стокса. Второе приближение, найденное Барнеттом по методу Чепмена—Энскога, вводит в систему уравнений движения новые члены, которые уже в какой-то степени учитывают изменения градиентов скоростей и температур на средней длине свободного пути молекул. Существует решение уравнения Больцмана и в третьем приближении. Оно известно под названием супербарнеттовского решения. [c.37]

Ур-ние баланса импульса с учётом выражения для плотности потока импульса через градиент скорости даёт Навъе—Стокса уравнения, ур-ние баланса энергии с учётом выражения для плотности потока тепла даёт теплопроводности ур-ние, ур-ние баланса числа частиц определ. сорта с учётом выражения для диффуз. потока даёт диффузии уравнение. Такой гидродииамич. подход справедлив, если длина свободного пробега I значительно меньше характерных размеров областей неоднородности. [c.355]

Как известно, уравнения переноса количества движения и энергии в современной молекулярно-кинетической теории выводят, исходя из решений так называемого интегро-дифференциального уравнения Больцмана. Решение уравнения Больцмана в первом приближении, т. е. когда можно пренебречь градиентами скоростей и температур по средней длине свободного пути молекул, приводит к уравнениям движения газа в форме Навье — Стокса. Второе приближение, найденное Барнетом по методу Энского—Чепмена, вводит в систему уравнений движения и теплового потока принципиально новые члены, которые существенным образом меняют законы дисперсии акустических волн. В этом случае в какой-то степени уже учитывается изменение градиентов скоростей и темпёратур на средней длине свободного пути молекул. Существует решение уравнения Больцмана и в третьем приближении. Оно 54 [c.54]

IB этой области течения не решена в удовлетворительном виде до сих пор основная проблема — проблема формулирования соответствующих дифференциальных ура1внений и граничных условий, описывающих течение газа. Для некоторой части этой области, примыкающей к области континуума, в ряде работ предполагалось возможным использование уравнений Навье-Стокса (или их предельного случая — уравнений Л. Прандтля для пограничного слоя) в сочетании с граничными условиями, предполагающими скольжение газа (Л. 5—9]. Однако результаты появившихся в последнее В1ремя опытных исследований показали в большинстве случаев непригодность полученных таким путем решений. Аналитические решения различных авторов плохо согласуются друг с другом и с экспериментом. Такое положение в теории объясняется, в известной мере, отсутствием детальных опытных сведений об этой области течения. Имеющиеся экспериментальные данные весьма ограниченны и очень малочисленны. На графиках рис. 1 г оказаны диапазоны всех известных в настоящее время исследований сопротивления и теплообмена в промежуточной области, между континуумом и свободно молекулярным течением. [c.463]

В 80—90-е годы появились работы Жуковского о движении тела в жидкости — проблема, которой до него занимались Пуассон, Стокс, Клебш, Томсон и Тэт, Кирхгоф и др. В работе О парадоксе Дюбуа (1891) Жуковский дал физическое объяснение зтому парадоксу. С точки зрения общих законов механики безразлично, движется ли тело в неподвижной жидкости, или тело неподвижно, а движется жидкость. Тем не менее Р, Дюбуа (1818— 1896) в 1879 г. экспериментально показал, что силы, действующие на тело в том и другом случаях, различны. Оказалось, что сопротивление неподвижной пластинки в жидкости, движущейся с некоторой скоростью, будет больше сопротивления, испытываемого пластинкой, движущейся с той же скоростью в неподвижной жидкости. Это расхождение Жуковский объяснил тем, что при движении реальной жидкости всегда возникают завихрения у стенок, на свободной поверхности и т. д. В подтверждение своего объяснения Жуковский сконструировал прибор, с помощью которого показал, что при отсутствии завихрений в жидкости давления в обоих случаях будут одинаковы. Заметим, что проблему движения твердого тела в жидкости в те же годы и позднее изучал также [c.268]

Для чисел Кнудсена Кп = 0,01 и меньше применим закон Пуазейля (2.5.8). В области давлений, где длина среднего свободного пробега хотя и мала, но ею полностью пренебрегать нельзя (0,01 < Кп <С 0,1), все еще можно применять решение уравнения Навье — Стокса, получаемое из закона Пуазейля. Однако нужно делать поправку, позволяющую учесть шроскальзывание газа у твердой границы [30]. Удовлетворительный теоретический подход, пригодный в промежуточной области, примерно соответствующей числам Кнудсена в интервале 0,1 < Кп < Ю, пока еще отсутствует, хотя для этой области и имеются эмпирические зависимости [8], относящиеся к течению в каналах. [c.68]

Для частиц, размер которых сравним со средней длиной свободного пробега молекул газа, окружающая среда не может более рассматриваться как континуум, и частица падает быстрее, чем это следует из гидродинамики сплошных сред. Чтобы учесть это скольжение, Каннингэм [15] вывел поправку к закону Стокса, которую можно выразить следующим образом — см. (2.8.1) [c.476]

Конечная скорость выиадения частицы, или скорость свободного падения, может быть определена по формуле Стокса при условии, что обтекание частицы происходит без образования вихрей турбулентности [c.300]

Выбор масштаба скоростей очевиден. Это — скорость на внешней границе пристенного пограничного слоя U (х) или максимальная скорость на оси струи или следа Um (х) в случае свободного пограничного слоя. Сложнее обстоит дело с выбором масштабов ординат в сечениях пограничного слоя. В отличие от использования условного понятия толщины пограничного слоя, как это делалось при оценке порядков членов уравнений Стокса в 86, сейчас встает вопрос о точном количественном определении той конкретной длины, которую естественно принять за характерный масштаб ординат в сечениях пограничного слоя. Определение этой величины должно быть тесно связано с формой профиля скоростей в данном сечении пограничного слоя, его полнотой, урезанностью или другими какими-нибудь средними характеристиками формы профилей скорости. [c.451]

Примером прибора III типа будет свободное падение небольшого тяжелого гпарика в жидкости, описываемое законом Стокса. [c.361]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Задачу об обтекании тела произвольной формы стоксов-ским потоком, в частности трехмерное обтекание цилиндра конечной длины, рассматривали Янгрен и Акри-вос [32]. Последняя задача неоднократно исследовалась экспериментально, и поэтому ее решение представляет значительный практический интерес. Угловая скорость обтекаемого цилиндра при линейном сдвиговом течении общего вида, связана с единственным неизвестным скалярным параметром — эквивалентным отношением осей г , определяемым как отношение осей сфероида, который, будучи свободно подвешен в потоке с тем же самым полем скоростей на бесконечности, совершает то же самое периодическое движение, что и цилиндр (рис. 13.9). [c.380]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...