Интеграл Чаплыгина

II. С л у ч а й Д. Н. Горячева и С. А. Чаплыгина ). Д. Н. Горячев (1900 г.) нашел, что задача о движении тела около закрепленной точки позволяет найти четвертый частный интеграл при выполнении дополнительных условий [c.455]

В случае Горячева — Чаплыгина имеет место четвертый интеграл [c.202]

Чаплыгин заметил, что для оо решений системы (34 ), (35 ), для которых постоянная моментов равна нулю, существует алгебраический интеграл третьей степени [c.172]

Чаплыгин С. А. 171 Чаплыгина случай частной интегрируемости уравнений движения 171 Частный интеграл уравнений Гамильтона — Якоби, вывод инвариантных соотношений 307 [c.551]

Давление и угол наклона вектора скорости остаются непрерывными при переходе через линию раздела. Поэтому давление дозвукового потока и, принимая во внимание интеграл Бернулли и связь между давлением и плотностью, его скорость на линии раздела определенным (заранее известным) образом связаны с углом наклона вектора скорости. Если дозвуковой поток ограничен, помимо линии раздела, прямолинейными стенками (как в рассматриваемых нами задачах) или свободными поверхностями, то, применяя преобразование Чаплыгина, задачу об определении течения в дозвуковом слое можно свести к граничной задаче для уравнения относительно функции тока в известной области, аналогично тому, как это делается при решении задач о газовых струях. Таким образом течение в дозвуковом слое можно рассчитать независимо ог течения во внешнем потоке, используя только условия на бесконечности и на обтекаемой стенке. После того как дозвуковое течение определено и, в частности, найдена форма линии раздела, сверхзвуковой поток во внешней области и возникающие в нем скачки уплотнения рассчитываются, как в задаче об обтекании заданной линии тока, решение которой изложено в [8]. [c.57]

Чаплыгин исследовал установившееся безвихревое дозвуковое течение нетеплопроводного идеального газа, для которого плотность и давление связаны законом адиабаты. Использование интеграла Бернулли и уравнения неразрывности приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям для потенциала скоростей и функции тока в плоскости ху (физическая плоскость). Чаплыгин предложил метод линеаризации выведенных им уравнений, основанный на преобразовании годографа он вводит новые независимые переменные 0 и т = F /2p, где 0 и F — полярные координаты скоро- [c.310]

Отсюда следует, что первый интеграл в формуле Чаплыгина — Блазиуса (5) п. 9.52 равен нулю. [c.238]

На основе уравнений Харламова в работе [4] Л. А. Степанова получила интеграл Горячева — Чаплыгина в виде многочлена относительно переменных х, у, г. [c.97]

Замечание 4-2. Даже при выполнении условий (45)-(46) неголономные системы Чаплыгина не имеют, вообще говоря, первых интегралов, отличных от интеграла (44). В частности, [c.444]

Отметим, что I2 есть интеграл Горячева-Чаплыгина (см. [36]). [c.150]

Эти уравнения имеют тот же вид, что и уравнения (2.3) гл. VII в случае Горячева-Чаплыгина. Поэтому качественный характер изменения переменных 81, 82 в случае Ковалевской тот же самый, что в соответствующих переменных 81, 82 в случае Горячева-Чаплыгина, с той лишь разницей, что в рассматриваемой ситуации 81, 82 могут уходить в бесконечность. Заметим, что уход 81 (или 82) в бесконечность происходит за конечное время, так как сходится интеграл [c.203]

При решении задачи Горячева — Чаплыгина (п. 2 5) мы использовали разделение симплектических координат типа (б). Получающийся при этом дополнительный интеграл — полином третьей (а не второй) степени по импульсам (ср. с п. 3). Дело в [c.100]

Оказывается [149]. при условиях (2.4) такого интеграла нет. Заметим, что при /] = 13 возмущенная задача вполне интегрируема (это снова задача Лагранжа), а при гз = О имеются интегрируемые задачи Ковалевской (Д = 2/з) и Горячева—Чаплыгина (/1 = 4/з, постоянная интеграла площадей равна нулю). Задача о наличии дополнительного интеграла при гз = О значительно сложнее здесь вековое множество В уже не обладает ключевым свойством. [c.190]

Теорема 3. Пусть В = 0. Тогда аналитический частный интеграл уравнений (4.1) существует лишь в случаях Кирхгофа и Чаплыгина последний случай интегрируемости — частный, см. п. 3 5 гл. II). [c.285]

Для потенциальных течений идеальной жидкости можно получить простые формулы для определения результирующей силы, воспользовавшись некоторыми свойствами комплексного потенциала и его производных. Такие формулы были впервые получены крупнейшим русским ученым академиком С. А. Чаплыгиным. Основная идея метода С. А. Чаплыгина состоит в том, чтобы, зная комплексный потенциал течения, выразить результирующую силу через некоторый интеграл по контуру обтекаемого тела от квадрата производной этого потенциала. [c.297]

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек с массами (/ 1, 2,..., N). Пусть система допускает виртуальное вращение вокруг некоторой оси L — неизменной прямой или прямой неизменного направления, проходящей через центр масс системы. Поскольку центр масс в общем случае находится в движении, связанная с ним прямая неизменного направления также будет перемещаться в пространстве. Если момент внешних сил относительно этой оси равен нулю, то, как известно, имеет место закон сохранения момента количества движения системы относительно этой оси. С. А. Чаплыгин обратил внимание на то, что интеграл движения можно получить и в более общем случае, когда ось движется так, что координаты центра масс г с и координаты Га какой-нибудь точки А этой оси связаны все время соотношениями [c.49]

Причем величины с и za могут быть произвольными. Отсюда следует, что для получения обобщенного интеграла площадей необходимо и достаточно, чтобы проекции скорости центра масс и скорости какой-нибудь точки Л оси L на плоскость, перпендикулярную к этой оси, были всегда параллельны. В этом и состоит обобщение условий (1.1) С. А. Чаплыгина. При наличии соотношений (1Л), которые можно записать в векторной форме [c.51]

Рассмотрим некоторые свойства газа Чаплыгина при установившихся движениях. При использовании связи (6.19) из интеграла Бернулли получаем [c.274]

Эта запись интеграла Бернулли показывает, что при непрерывном течении газа Чаплыгина переход через скорость звука невозможен знак разности в левой части определяется знаком константы в пра- [c.274]

Используя следующую из интеграла Бернулли для газа Чаплыгина связь между V я р, получим [c.275]

Интегрирование производится вдоль контура, состоящего из трех сторон прямоугольника (рис. 4.1), в направлении от точки В (прообраз точки А находится на бесконечном удалении, так как в этой точке функция тока имеет логарифмическую особенность). На рассматриваемом контуре = 1, поэтому под знаком интеграла в выражениях для ж, у содержится только нормальная производная функции тока на границе. Для сохранения погрешности 0 Ъ ) при вычислении координат можно было бы воспользоваться односторонними трехточечными разностными формулами. Однако в данном случае, ввиду особенностей строения границы области, предпочтительнее использовать следующий прием. Нормальная производная на границе вычисляется по односторонней разностной (двухточечной) формуле с поправкой О К), пропорциональной второй нормальной производной. Последняя, в свою очередь, выражается из уравнения Чаплыгина через вторую тангенциальную производную, равную нулю, и через первую производную фг которая либо является нормальной производной, либо также равна нулю как тангенциальная производная. Этот прием позволяет вычислить нормальную производную на границе с погрешностью 0 Ъ ) по двухточечной разностной формуле. [c.117]

Разделенные переменные, полученные путем расширенного фазового преобразования, известны для случаев Ковалевской и Горячева - Чаплыгина (см. 4,5 ГЛ. 2, 8 гл. 5). Кстати, в этих случаях дополнительный интеграл имеет, соответственно, третью и четвертую степени по импульсам. [c.83]

Рассмотрим частный интегрируемый случай Горячева-Чаплыгина, для которого вектор кинетического момента лежит в горизонтальной плоскости, т.е. (М,7) = 0. Он реализуется почти при тех же ограничениях на динамические параметры, что и случай Ковалевской, но отношение моментов инерции теперь равно не двум, а четырем — = 4. Гамильтониан и дополнительный интеграл имеют вид [c.132]

С. А. Чаплыгин указал частный случай интегрируемости на нулевой постоянной площадей (М,7) = О и интегралом четвертой степени. Гамильтониан и интеграл можно представить в форме [c.175]

Интеграл, указанный Г.В. Колосовым, обладает больгаей обгцностью, чем интегралы Стеклова, Ляпунова и Колосова-Чаплыгина, и содержит их все как частные случаи. [c.141]

А. Д. Билимович показал, что с помощью интеграла энергии из уравнений Чаплыгина — Воронца можно исключить время и понизить порядок этой системы на единицу. Если при этом потенциальная энергия и коэффициенты при лагранжевых скоростях в выражении кинетической энергии системы являются рациональными функциями кординат, то преобразованные уравнения не содержат иррациональностей. В случае голономной системы они принимают вид уравнений Якоби. [c.101]

Тем более подобные ситуации возможны при распространении метода Гамильтона — Якоби на системы с неголономными связями. Мы проиллюстрировали предложенный нами описанный способ применения метода Гамильтона — Якоби к неголономным системам на примере частного случая задачи Каратеодори — Чаплыгина, а также на примере движения без скольжения однородного шара по горизонтальной плоскости. Для данной задачи уравнение Гамильтона — Якоби было составлено в нормальных неголономных координатах, полный интеграл был найден и с его помощью выявлен один первый интеграл уравнений движения — неизменность проекции угловой скорости шара на вертикаль. Этого было достаточно для решения всей задачи в силу наличия двух дифференциальных уравнений связей, интеграла энергии и вытекавшей из элементарных соображений общей механики прямолинейности движения центра тяжести шара. Наши работы по данному вопросу получили в дальнейшем отклик. В конце сороковых годов итальянский механик Пиньедоли опубликовал статью по данному вопросу с той же методикой. В настоящее время данной проблемой занимались в своих кандидатских диссертациях молодые научные работники (Назнев X. А., Титкова С. И.). [c.8]

Системы с псевдоциклическими координатами. Рассмотрим консервативную неголономпую систему Чаплыгина. Уравнения движения системы возьмем в виде (42), (43) и напомним, что уравнения (43) замкнуты относительно переменных х, отвечаюш,их независимым скоростям, и допускают интеграл энергии (44). Предположим, что координаты 8 системы — псевдоциклические, т. е. выполнены условия (45), (46). Тогда уравнения движения этой системы можно привести к виду (52), где г — позиционные координаты системы. Уравнения (52) допускают установившиеся движения (53), которые образуют т-параметрическое семейство, определяемое соотношениями (54) гп = с11т в). [c.454]

В заключение отметим еще одно важное применение теоремы 1, С. Л, Зиглин доказал, что дополнительный мероморфный интеграл уравнений Эйлера — Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой существует только в трех классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Если зафиксировать нулевое значение постоянной площадей, то к этим случаям надо добавить еще случай Горячева—Чаплыгина. Этот результат также основан на анализе уравнений в вариациях для некоторых частных решений уравнений Эйлера — Пуассона [64]. [c.371]

Пользуясь предложением 1, укажем метрики на двумерной сфере, для которых уравнения геодезических допускают неприводимые интегралы 3-й и 4-й степени. С этой целью рассмотрим задачу о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Эта система с тремя степенями свободы инвариантна относительно группы вращений вокруг вертикали. Фиксируя нулевую постоянную соответствующего интеграла Нётер (интеграл площадей) и проводя факторизгщию по орбитам действия группы симметрий, сведем эту задачу к системе с двумя степенями свободы на фазовом пространстве 7 S . Гамильтониан имеет вид (6.1), где Г — гамильтониан приведенной задачи Эйлера, а V К — потенциальная энергия силы тяжести. Если выполнены условия Горячева — Чаплыгина или Ковалевской (см. 5 гл. П), то уравнения с гамильтонианом T+V допускают дополнительный интеграл соответственно третьей и четвертой степени по скоростям. Предложение 1 дает метрики на двумерной сфере с интегралами степени 3 и 4. При V = О эти интегралы приводимы. А. В. Болсинов и А. Т. Фоменко дали доказательство неприводимости интегралов Горячева — Чаплыгина и Ковалевской, основанное на глубоких идеях теории топологической эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем. [c.404]

Бабине формула 87 Бароклинность 60 Баротропность 60 Бернулли интеграл 70, 111 Бернулли — Эйлера интеграл 117 Бно— Савара закон 189 Блазиуса — Чаплыгина формулы 253, 254 [c.578]

Теорию крыла конечного размаха позволило создать использование основополагающей теоремы Н. Е. Жуковского о связи подъемной силы с циркуляцией и модели течения с присоединенным вихрем, так что эта теория является логическим продолжением и развитием идей, составляющих фундамент теории крыла бесконечного размаха, В 1910 г. С. А. Чаплыгин в докладе на тему Результаты теоретических исследований о, движении аэропланов сформулировал общие представления о вихревой системе крыла конечного размаха. В 1913 и 1914 гг. им были получены первые формулы для подъемной силы и индуктивного сопротивления. Они были доложены на третьем воздухоплавательном съезде в Петербурге. В дальнейшем основное распространение получила теория несущей линии, предложенная в Германии Л. Прандтлем для крыльев большого относительного удлинения. В рамках этой схемь было получено интегро-дифференциальное уравнение, связывающее изменение циркуляции и индуктивный скос потока. Задача свелась к отысканию различных приближенных методов его решения. В работе Б. Н. Юрьева (1926) был применен геометрический прием, в котором использовалось предположение о том, что распределение циркуляции близко к эллиптическому и что отклонения от этого распределения повторяют форму крыла в плане. Аналитические методы, применявшиеся на начальном этапе развития теории для получения приближенных решений, состояли в требовании удовлетворения основному уравнению в ограниченном числе точек по размаху. Так, в методе тригонометрических разложений В. В. Голубев (1931) заменил бесконечный тригонометрический ряд тригонометрическим многочленом, сведя бесконечную систему уравнений к конечной системе, в которой число неизвестных соответствует числу членов разложения циркуляции и числу точек на крыле. С целью более точного учета формы крыла в плане при ограниченном числе решаемых алгебраических уравнений Я. М. Серебрийский (1937) предложил для решения интегро-дифференциального уравнения использовать способ наименьших квадратов. [c.92]

Потенциал скорости обтекания тела с вихревой пеленой может быть представлен в виде суммы регулярной во внешности тела гармонической функции и формального потенциала двойного слоя — в виде соответствующего интеграла по поверхности пелены (формальность состоит в незамк-нутости этой поверхности и,возможно, в ее негладкости, проявляющейся в спиралевидно-коническом скручивании края). Строгое исследование задачи подразумевает установление максимально широкого класса поверхностей, для которых интеграл по поверхности вихревой пелены обладает обычными свойствами потенциала двойного слоя, а также возможность определения формы этой поверхности, исходя из полной системы граничных условий задачи обтекания и условия Жуковского-Чаплыгина. Кроме того, по-видимому, должно выполняться дополнительное условие, что при непрерывной деформации тела в бесконечный цилиндр составляющая потенциала скорости, соответствующая вихревой пелене, должна непрерывно преобразовываться в непрерывную ветвь ar tg в, где в — полярный угол. [c.171]

До наших дней различные варианты задачи Кирхгофа, по причине сложности, почти всегда рассматривались с точки зрения проблемы интегрируемости, и лишь в некоторых случаях проведен качественный анализ ряда траекторий. В работах Кирхгофа, Клебша, Стеклова, Ляпунова, Чаплыгина, Харламова и др. указаны условия существования дополнительного аналитического первого интеграла [14, 18, 40, 91, 115, 148, 167, 171]. В наши же дни решение этой проблемы совершенствуется в [135] (А. М. Переломов) построена теория интегрируемых случаев (построение Ь-А-пары), а в [95] (В. В. Козлов, Д. А. Онищенко) указаны условия несуществования дополнительного первого интеграла уравнений Кирхгофа (см. также работы О. И. Богоявленского, С. П. Новикова, С. Т. Са-дэтова [35,36, 128, 147]). [c.14]

Основные результаты по неинтегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона принадлежат В. В. Козлову, С. Л. Зиглину, С. В. Болотину. Они обсуждаются в книгах [92, 97] и связаны с расщеплением асимптотических поверхностей, ветвлением решений на комплексной плоскости времени, рождением большого числа невырожденных периодических решений. Вершиной этого направления являлась бы теорема, что общие случаи существования дополнительного вещественно-аналитического интеграла исчерпываются случаями Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, а для частных интегралов к ним надо добавить случай Горячева-Чаплыгина. К сожалению, в полном объеме эта гипотеза до сих пор не доказана, несмотря на отдельные и довольно существенные продвижения [97]. [c.90]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...