Сферические функции, 28, 31 частные

Частным решением уравнения (8,7) будет сферическая функция порядка т 1-го рода, называемая часто поверхностной сферической функцией [c.207]

Так как, далее, общая сферическая функция п-то порядка есть линейная комбинация одночленов, каждый из которых есть произведение функции только от 0 на функцию только от X, то частное решение уравнения (4.13) будем искать в виде [c.158]

Перейдем к определению эллипсоидальных функций. Для этого отметим, что сферические функции мы определили как некоторые частные решения уравнения Лапласа, написанного в полярных сферических координатах. [c.197]

Подобно рядам для падающей волны эти ряды содержат частные решения только с /=1 а и Ьп — коэ( )фициенты, которые надлежит определить. Сферическая функция Бесселя Лп (kr) получается из бесселевой функции второго рода (er) она [c.146]

Эти результаты можно сравнить с ранее полученными па стр. 100. Очевидно, эти решения, выраженные через х, у, z должны сводиться к обычным сферическим функциям, но важность настоящего анализа заключается в том, что он позволяет пам найти частные линейные суммы, соответствующие эллипсоиду в общем случае и определённым сфероидам в случаях, когда а = Ь н Ь = с. [c.111]

Следует отметить, что решения безмоментной задачи и задачи чистого изгибания — медленно меняющиеся функции. Поэтому при их определении теория пологих оболочек может дать существенную погрешность, если только рассматриваемая область оболочки не мала по сравнению. с радиусом Для быстро изменяющихся решений уравнения (7.72) точность рассматриваемой теории вполне достаточна. Поэтому для сферических оболочек можно рекомендовать расчет на основе безмоментной теории (см. гл. 6), дополняя его решением уравнения (7.72) при = О и частным решением уравнения (7.74). [c.343]

Будем считать, что безмоментная сферическая оболочка находится под воздействием такой поверхностной и краевой нагрузок, что возникающие в ней тангенциальные усилия и перемещения будут непрерывными функциями точки срединной поверхности всюду, за исключением полюсов географической системы координат ). Тогда, очевидно, можно принять, что такими же свойствами обладают и величины, отмеченные индексом (ч), так как выбор частного интеграла зависит от нашего произвола. Следовательно, требования непрерывности надо накладывать и на величины Т[ Д ), и > + и Основываясь на этом, уточним условия, [c.183]

Таковы уравнения Эйлера динамики идеальных жидкости или газа. По тем же соображениям, что и в 11, вывод уравнений Эйлера в прямоугольных криволинейных координатах не составляет труда. Для этой цели, в частных случаях цилиндрической и сферической систем координат, достаточно вспомнить формулы (48) и (49) гл. I для проекций ускорения на оси прямоугольных криволинейных координат и соответствующие этим координатам формулы проекций градиента скалярной функции (III.18) и (III.19). Уравнениям Эйлера можно придать иной, полезный для дальнейших выводов вид, указанный И. С. Громека и Г. Ламбом. Для вывода этого [c.89]

Недостатком такой теории является, однако, то, что, будучи громоздкой, она в то же время недостаточно обща. Объясняется это тем, что возможности асимптотического метода ограничены и находятся (как видно из приведенного выше элементарного примера) в существенной зависимости от свойств коэффициентов дифференциальных уравнений (а для уравнений в частных производных и от свойств тех границ, на которых задаются краевые условия). Надо добавить также, что принятие быстроизменяющейся части решения в экспоненциальной форме (как это делает А. Л. Гольденвейзер) не исчерпывает всех возможностей асимптотического метода. Иногда удается строить асимптотические решения на базе других быстроизменяющихся функций (например, при расчете торообразных оболочек и решении некоторых задач сферической оболочки для этой цели успешно можно применить Бесселевы функции). [c.81]

Применение этих основных уравнений к некоторым частным случаям приводит Дюамеля к решениям, представляющим практический интерес. Он начинает с полой сферы, температура которой выражается заданной функцией расстояния от центра. Он показывает, что изменения длин внутреннего и наружного радиусов зависят лишь от среднего значения температуры стенки сферической оболочки. Он распространяет эту закономерность на оболочку, состоящую из двух концентрических слоев различных материалов. В этой статье исследуется также и цилиндрическая труба, температура которой определяется заданной функцией радиального расстояния. В заключение Дюамель исследует перемещения, вызываемые в сферической оболочке изменением температуры. На протяжении всей этой работы Дюамель предполагает, что упругая постоянная не зависит от температуры. Во втором мемуаре ), имеющем первостепенную важность в теории теплоты, он изучает изменения температуры, возникающие в результате деформации, а также различие удельной теплоты при постоянном объеме и при постоянном давлении. [c.294]

Угловые волновые функции изолированного атома или иона в свободном пространстве — сферические гармоники. Они принадлежат различным представлениям полной группы вращений плюс инверсия. Частные представления этой группы определяются орбитальным моментом количества движения. Если ион находится в кристалле, то его симметрия сводится к подгруппе полной группы вращения, допускающей неприводимое представление исходной группы в данной подгруппе. Иначе говоря, для некоторых [c.24]

Класс точных решений уравнений газовой динамики удалось получить, применяя методы теории размерностей и подобия. Основная заслуга в этом принадлежит Л. И. Седову. В 1944 г. он дал общий прием для нахождения решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для одномерных неустановившихся течений (которые описы- 331 ваются нелинейными уравнениями) он рассмотрел случаи, когда искомые функции содержат постоянные, среди которых одна или две постоянные с независимыми размерностями. Седов доказал, что если среди размерных параметров, определяющих движение совершенного газа, кроме координаты г и времени t имеются лишь два постоянных физических параметра с независимыми размерностями, то уравнения в частных производных могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Движения газа, определяемые этими условиями, были названы автомодельными. Такими решениями были течения Прандтля — Майера, сверхзвуковые течения около кругового конуса с присоединенным скачком. В 1945 г. Седов нашел точные решения уравнений одномерного неустановившегося движения в случае плоских, цилиндрических и сферических волн (движение поршня в цилиндрической трубе, задача детонации, движение газа от центра и к центру) . [c.331]

Однако рассматриваемые случаи суть только частные случаи в самом деле, так как существуют 2п +1 независимых сферических поверхностных функций какого-то целого порядка п и так как данная формулой (5) частота для каждой из них будет одной и той же, [c.380]

Можно сделать следующие дополнительные замечания. Если q> — сферическая гармоническая функция, то все ее частные производные любого порядка по X, у, z также являются гармоническими функциями. Например, (Зф/5х является сферической гармонической функцией, как в этом легко убедиться с помощью подстановки в уравнение (1). Так как 1/г представляет собой сферическую гармоническую функцию, то по указанному свойству мы получим также следующие гармонические функции [c.467]

Потенциальная теория получила свое название по скалярной функции или потенциалу ф х, у, z, t), который служит для полного описания определенного ряда условий в пространстве и времени. Хотя потенциал является скалярной величиной, векторная функция, называемая его градиентом, может быть выведена из потенциала путем частного дифференцирования. При любой системе координат компонент градиента в любом направлении равен скорости изменения потенциала в этом направлении. Если положительный градиент потенциала ф представляется как скорость потока, тогда ее выражения в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат имеют следующий вид [c.67]

Заключение. Разработан подход к решению стационарных динамических внутренних задач гидроупругого взаимодействия для системы, состоящей из жесткой цилиндрической полости, заполненной сжимаемой жидкостью и содержащей конечное число произвольно расположенных сферических включений. Подход основан на использовании теорем сложения специальных функций и соотношений, позволяющих представлять частные решения уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах с помощью его частных решений в сферических координатах, и наоборот. Это дает возможность, используя принцип суперпозиции, записывать общее решение в системе координат каждого тела и тем самым удовлетворять граничным условиям на его поверхности. [c.500]

Для конической и сферической оболочек выводятся частные решения для всех усилий, моментов и перемещений, необходимые для расчета тепловых напряжений при этом особое внимание уделяется построению точных решений в специальных функциях (бесселевых, гипергеометрических). [c.116]

Очевидно также, что структура приведенных выше аберрационных коэффициентов такова, что при рассмотрении сингулярных случаев нулевого и бесконечного увеличений (главные лучи) необходима особая тщательность. Эти случаи будут подробно проанализированы в частном случае сферической аберрации. В связи с этой проблемой хотелось бы отметить тот факт, что в уравнениях (5.65) и (5.66) аберрации записаны как функции начальных значений Хо, Хо, У о и У о, так как Х(г) и У г) были выражены в (5.43) и (5.44) через эти величины. Однако как было упомянуто выше, возможны любые другие способы выбора пары решений уравнения параксиальных лучей. Если определять решения в плоскости изображения, то это равносильно направлению движения от изображения к предмету. Тогда аберрации возникнут в плоскости предмета и будут функциями начальных значений в плоскости изображения. Соответственно будем иметь другой, хотя и аналогичный, набор аберрационных коэффициентов ( обратные коэффициенты в отличие от представленных здесь прямых коэффициентов). [c.263]

Отметим, что решения для тел цилиндрической и сферической форм с коэффициентами с, X и у, являющимися степенными функциями координат, включаются как частные случаи в последнюю из рассмотренных задач. Например, уравнение в изображениях для шара имеет вид [c.438]

Таким образом, силовая функция, а также составляющие силы притяжения будут функциями сферических координат. Нетрудно выразить составляющие силы через частные производные силовой функции по сферическим координатам. В самом деле, мы имеем [c.17]

Если вместо прямоугольных координат какой-либо из точек 0 ввести ее цилиндрические или полярные сферические координаты, как мы делали в 4, то соответствующие частные производные от функции и определят составляющие силы притяжения соответственно по трем другим направлениям. Такие составляющие выразятся теми же формулами, что и в 4, но вместо и нужно брать ее общее выражение (1.30"). [c.42]

Сферические и эллипсоидальные функции появляются при изучении некоторых частных решений уравнения Лапласа, которое, как известно, в прямоугольных декартовых координатах имеет вид [c.151]

Зная разложение силовой функции, можно найти путем обычного почленного дифференцирования соответствующие разложения ее частных производных по сферическим координатам г, "к, 0, что даст составляющие силы притяжения, действующей на точку Р, определяемые формулами (1.13) гл. I, т. е. состав- ляющие [c.211]

Среди функций Уй (0, е) — их называют сферическими функциями,— удовлетворяющих, согласно (42) и условию выбора onst = к к — 1), уравнению в частных производных [c.284]

Представляют интерес для механиков, занимающихся теорией упругости, также и некоторые оригинальные работы Клебша из области оптики. В особенности это относится к его исследованию-колебательного движения упругой сферы, при котором смещения по поверхности обращаются в пуль ). Он пользуется в своем решении задачи сферическими функциями, причем значительно расширяет и самую теорию этих функций. В частном случае, когда ускорение обращается в нуль, мы приходим к решению статической задачи, рассмотренной впоследствии лордом Кельвином (см. стр. 319). [c.313]

Настоящий параграф написан по результатам работы [146]. Отметим, что рассматриваемая задача неоднократно решалась в рядах по сферическим функциям ([83, 183, 189]). Однако ряды, выражающие напряжения, на поверхности сферы расходятся, а внутри ее сходятся медленно, вследствие чего необходимо прибегать к выделению и суммированию медленно сходящейсн части рядов, что приводит к весьма громоздким выкладкам. Поэтому обычно рассматривались либо частные случаи нагружения (сила в полюсе, опоясанный шар ), либо подсчитывались перемещения и напряжения лишь вдоль определенных линий при частном значении коэффициента Пуассона. [c.77]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

Частные решёник в сферических функциях. Уравнения, которые мы будем решат , имеют вид [c.261]

Обобщения и частные случаи предыдущих решений. 1) Нужно заметить что если массовая сила будет градиентом потенциала, который выражается рядом объемных сферических функций, то решеиие найдется путем суммирования отдельных решений, соответствующи каждому значению я. Эта сумма не содержит члена, для которого я = 1, так как соответствующие массовые силы будут постоянными и не удовлетворяют условиям равновесия. [c.266]

Сферические функции, 28, 31 частные решения в--. 261 — 263 общее решение в--, 275—277 рзшение уравнений колебания в--, 291—293 [c.673]

В следующей главе (гл. 3) полученные осредненные уравнения и определения макропараиетров через микропараметры конкретизированы для болев частного случая двухфазной смеси —смеси с монодисперсной структурой со сферическими частицами. Но даже для такой частной структуры явные реологические соотношения без дополнительных экспериментальных коэффициентов и функций, позволяющие замкнуть систему уравнений, получить в общем случае не удается. В гл. 3 этот подход доведен до конца для двух предельных случаев монодисперсной смеси когда несущая фаза — идеальная (с нулевой вязкостью) жидкость или очень вязкая жидкость. [c.87]

В этом, достаточно общем случае подстановка выведенных выражений для сферических компонент скорости и давления в систему уравнений Стокса (26) не приведет к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, но уменьшит на единицу число независимых переменных в системе уравнений в частных производных, служащих для определения функций /н> /в, /е, Такие решения также заслуживают названия подобных или автомодельных, так как соответствующие им эпюры величин ЕУцЬ = Д (0, е) и т. д. будут одинаковыми при всех Р. При наличии осевой симметрии Уе = О, д/де — О (случай осесимметричной незакрученной струи) аргумент 8 исчезает, решение задачи приведется к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, и задача станет в обычном смысле слова автомодельной. [c.377]

Рассмотрим сферически-симметричное течение от источника обильности q, помещенного в начале координат. Такое течение представляет собой частный случай осесимметричного (все гидродинамические величины функции только г). Поскольку жидкость несжимаемая, то уравнение неразрывности во всех точках, не совпадающих с началом координат, имеет вид divv = 0. Поскольку течение безвихревое, то v = grad ф и потенциал скоростей ф удовлетворяет уравнению Лапласа. [c.187]

Частные решения уравнения (31.1) получили название специальных функций. К ним относятся гииергеометрические функции, ортогональные полиномы, сферические и цилиндрические функции [234-237]. [c.344]

В этом, достаточно общем случае подстановка выведенных выражений для сферических компонент скорости и давления в систему уравнений Стокса [(И) 86] не приведет к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, по уменьшит на единицу число независимых переменных в системе уравнени I частных производных, служащих для определения функци //(, / , Р. Такие рен]еиия также заслуживают названия подобных или автомодельных, так как соответствующие ЯУ [c.469]

Для решении этоА проблемы основными являются Два способа п выЙ заключается в разложении искомой функции, в рвды, второй основан на применении частных решений, обладающих особыми точками. Чтобы пояснить, метод разложения в ряд, рассмотрим случай сферической поверхности. Существует бесконечный ряд функций, кажд из которых является целой, рациональной однородной относительно координат х, у, г и удовлетворяющей уравнению (4). Пусть начало находится в центре сферы, а будет радиусом ее и г—расстоянием какой-нибудь точки от начала. Каждая из указанных функций имеет вид тде л—целое число, а — ие зависящая ot г функция точки иа сфере. Функции обладают тем свойством, что любая [c.241]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...