Сферические гармонические функции

Интегралы в (2. 6. 42), обозначенные угловыми скобками, представляют собой хорошо известные 3/- и 6/-символы для сферических гармонических функций [16]. Эти символы обозначают результат интегрирования трех, четырех полиномов Лежандра и их производных [c.58]

Если ввести обозначения (х = os О и (л. = os 0, то при 0 > 0 теорема сложения для сферических гармонических функций дает [c.378]

Здесь У/т(0, )—сферическая гармоническая функция, 0/т(0)- нормированный присоединенный полином Лежандра,Р/" ( os 0)— присоединенный полином Лежандра и Р/( os 0) — полином Лежандра (см., например, гл. IV книги [41]). Как показано в гл. 4 книги [40], функция Д т([0, ф,%])в выражении (8.73а) является элементом (k, т) в матричном представлении группы К для операции вращения [ ,Ф,%] (см. также замечание перед уравнением (6.40) здесь и уравнение (15.27) у Вигнера [120]). [c.199]

Сферические гармонические функции. Уравнение Лапласа в декартовых координатах имеет вид [c.465]

Любое однородное решение этого уравнения представляет собой функцию, которая называется сферической гармонической функцией. Очевидными [c.465]

В это соотношение входят две сферические гармонические функции, которые выражаются через зональную гармоническую функцию Pi ( os 0). [c.466]

Можно сделать следующие дополнительные замечания. Если q> — сферическая гармоническая функция, то все ее частные производные любого порядка по X, у, z также являются гармоническими функциями. Например, (Зф/5х является сферической гармонической функцией, как в этом легко убедиться с помощью подстановки в уравнение (1). Так как 1/г представляет собой сферическую гармоническую функцию, то по указанному свойству мы получим также следующие гармонические функции [c.467]

Уравнение (1) представляет собой обычное уравнение Лапласа У Ф = О, записанное в специальной системе координат, поэтому функции х, у, г, ху, уг, гх и любая сферическая гармоническая функция являются фактически решениями уравнения (1). [c.479]

Мы можем удовлетворить этому условию, полагая (р = Ауг, так как эта функция является сферической гармонической функцией. Тогда получаем [c.482]

Пусть <р = г"5—сферическая гармоническая функция, причем 5 не зависит от г. Доказать, что 5 удовлетворяет уравнению [c.482]

Если ф = /-"5—сферическая гармоническая функция, симметричная относительно оси X, причем 5 не зависит от г, то показать, что 5 удовлетворяет уравнению [c.483]

Напомним, что объёмная сферическая гармоническая функция не зависящая от ср, представляется в форме одного из произведений вида [c.328]

Объёмная сферическая гармоническая функция, пропорциональная представляется соответственно в форме одного из произведений [c.328]

Скалярные сферические гармонические функции [c.639]

Разложение по сферическим гармоническим функциям [c.644]

Связь многочленов Ламэ со сферическими гармоническими функциями [c.101]

Многочлен Ламэ, соответствующий определённому нормальному решению L X)M ii)N(i ), на большом расстоянии от начала координат будет с хорошим приближением равен X / M ii)N v). Но поскольку Л , последнее выражение всегда будет в точности представлять однородную часть многочлена Ламэ. Но это есть сферическая гармоническая функция, а т. к. координаты в, (р стремятся к в, (р сферических полярных координат, мы имеем [c.102]

Таким образом, Ц будет сферической гармонической функцией при условии, что Л является корнем уравнения [c.120]

Рассмотрим сферическую гармоническую функцию, определённую следующим образом [c.132]

В 5 гл. III было установлено, что смещения в сферических координатах при осевой симметрии могут быть представлены посредством проекций некоторого гармонического вектора Ф ( I j . Фи. фг) и скалярной гармонической функции <р в виде [c.333]

Ниже приводится весьма общий метод получения этих гармонических функций в случае, когда поле скорости задано на сферической поверхности. Для случаев, когда на поверхности сферы, полностью или частично, задано поле напряжений, а не скоростей, подробности метода можно найти в оригинальной статье ). В этой статье подробно рассматривается также применение общего решения Ламба к несферическим телам, в частности к слабо деформированной сфере. [c.80]

Эти выражения можно теперь использовать в (3.2.33) — (3.2.35) для получения гармонических функций для поля скорости вне сферы в соответствии с (3.2.31). Это поле скорости v удовлетворяет граничным условиям v = U при г = а и - оо на бесконечности. Соответствующие значения сферических гармоник равны [c.88]

Можно показать, что две произвольные поверхностные сферические функции различного порядка, которые являются конечными на единичной сфере, ортогональны друг к другу, а также и то, что 2п + 1 гармонических функций произвольного порядка п зонального, тессерального и секториального типа, определенные в 85, 86, все взаимно ортогональны. В дальнейшем мы увидим, что свойство [c.146]

Исследуем подробно решение (5). На сфере очень большого радиуса это решение должно обращаться в нуль. Поэтому следует предполагать, что соответствующий потенциал скоростей, выраженный в сферических координатах г, 0, ш, будет представлять собой сумму гармонических функций вида Sn (0, со)//-" " главный член здесь будет иметь вид [c.556]

Здесь Р (.г) и Р)Г(-г) — присоединенные сферические функции Лежандра первого и второго рода соответственно. В силу четности задачи по ip гармонические функции вида (4) при f = 1, 2 четны по (/ , а функция Фз( , т/, с/ ) нечетна по ip. Поскольку [7] [c.241]

При решении уравнений теплопроводности оказывается полезным выражение для гармонической функции в сферических координатах [c.111]

Потенциал скорости простого источника (f = mlr представляет собой сферическую гармоническую функцию, как в этом можно непбсредственно убедиться подстановкой в уравнение (2). Если источник расположен в некоторой точке А на оси х на расстоянии с от начала координат (рис. 309), ТОМЫ имеем ф = wl/i , где R = AP. Эта функция, являясь потенциалом скорости, должна удовлетворять уравнению Лапласа, как это было установлено в п. 15.20 при рассмотрении уравнения неразрывности. Теперь имеем [c.466]

Очень похожее решение задачи о движении двух близко расположенных сфер дал Вакия [33]. В качестве системы координат он выбирал ту же систему, что и на рис. 6.2.1, так что результат выражается в виде, подобном полученному выше при решении двух задач о движении сфер вдоль и перпендикулярно их линии центров. Применяемый им метод решения несколько отличен от использованного здесь. Хотя также применяется разложение по сферическим гармоникам, гармоники для второй сферы выражаются непосредственно в координатах, связанных с центром первой сферы, после чего из граничных условий на первой сфере а получается одна система соотношений, связывающих определяющие коэффициенты. Таким же образом по граничным условиям на сфере Ъ получается другая система соотношений. Исключая из этих двух систем одну совокупность констант, можно получить бесконечную систему уравнений для другой совокупности констант, определяющих соответствующие гармонические функции. Эту бесконечную систему уравнений Вакия решает методом последовательных приближений, и поэтому расчетная часть у него такая же, как и здесь. Полученные им результаты согласуются с результатами Факсена для двух сфер, движущихся одна за другой, а также с приведенными выше данными для движения сфер как вдоль линии центров, так и в перпендикулярном направлении. [c.307]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...