Устойчивость по Якоби

Здесь, в развитие некоторых идей Э. Т. Уиттекера, была построена теория локализации траекторий и теория построения полос, заключающих внутри себя траектории некоторого типа, например, периодические (замкнутые). Кроме того, была разработана общая теория построения областей сплошной устойчивости и неустойчивости траекторий в задачах рассматриваемого типа и были указаны некоторые достаточные признаки частных видов устойчивости, названные авторами устойчивостью по Якоби и орбитальной устойчивостью . [c.345]

Наконец, заметим, что интеграл Якоби (2) позволяет делать более глубокие выводы об устойчивости по сравнению с тем, что можно пол>-чить при помощи граничной кривой. [c.494]

О-Сг) < ( +х) Ч Х-уУ<2 (О-с.). которые являются следствием интеграла Якоби. Эти неравенства определяют в плоскости У круговое кольцо, площадь которого не превосходит 2я(сг—С1). Из этих замечаний вытекает конечность ц(Л1) и, следовательно, возможность применения теоремы Пуанкаре о возвращении для почти всех р М полутраектория (р) пересекается с любой окрестностью точки р при сколь угодно больших значениях Такие движения названы Пуанкаре устойчивыми по Пуассону. [c.89]

В нашу задачу не входит получение подробных выражений для малых колебаний эллипсоидов Якоби, обладающих вековой, а поэтому и обыкновенной устойчивостью. Нам необходимо только рассмотреть вопрос о том, сохраняют ли они обыкновенную устойчивость за конфигурацией, в которой впервые исчезает вековая устойчивость. По определению предполагается, что при обыкновенной устойчивости все корни по А должны быть вещественными, потому что если бы хоть один корень был мнимый или комплексный, то существовало бы движение, в котором смещение (в первом порядке малости) возрастало бы до бесконечности. Кроме того, в данном случае невозможно, чтобы движение, зависящее от такого члена, как возникало в отсутствии члена Для каждого решения уравнений (5) здесь существует соответствующее решение, симметричное относительно ж -плоскости, но с измененным знаком Л, поскольку вид уравнений сохраняется, если изменяются [c.198]

Поскольку корни определителя А (А) = О попарно равны и противоположны по знаку, то число п - - Ап - -1, будучи чётным, даёт удвоенное число возможных независимых гармонических движений, а если оно нечётное — это же удвоенное число плюс единица. Таким образом, при п = 3 полное число независимых гармонических колебаний устойчивого эллипсоида Якоби равно одиннадцати. [c.203]

Гармоники высшие 292 Геодезическая, уравнение Якоби 235 —, устойчивая по первому приближению 237 [c.454]

Существенными трудностями при решении задачи (V.13), (V.14) являются отсутствие аналитического выражения для функции D (Я, п) и ее якобиана / (Я, ) значительная нелинейность D (Я,, п) ограничения на шаг Ятах поиска корня Я, связанные с обеспечением устойчивого продолжения решения системы (11.19) по параметру Я отсутствие сведений о границах начального интервала, содержащего корень. [c.85]

Монография Н. Е. Жуковского О прочности движения (1882) содержит теорию устойчивости траекторий динамических систем, которую сейчас называют теорией орбитальной устойчивости. Этот труд систематизирует и пополняет результаты В. Томсона и П. Тэта, изложенные в их известном Трактате натуральной философии Для Томсона и Тэта отправным пунктом была теория кинетических фокусов К. Якоби, намеченная в его Лекциях по динамике . Якоби, исходя из наглядных геометрических соображений, показал, что на истинной траектории динамической системы действие , которое Входит в интегральные вариационные принципы механики (П. Мопертюи, Л. Эйлер, Ж. Лагранж), не обязательно минимально. Томсон и Тэт связали эти результаты с теорией устойчивости, показав, что минимальность действия на траектории влечет за собою устойчивость последней, тогда как стационарность действия на траектории,— а только к этому должен сводиться вариационный принцип механики,— оставляет вопрос об устойчивости траектории открытым, Жуковский справедливо оценил те несколько страниц из Трактата натуральной философии Томсона и Тэта, которые уделены авторами исследованию прочности (Жуковский пользуется этим термином вместо устойчивости), как только легкий набросок, в котором указываются пути для более обстоятельного исследования . [c.122]

После докторской диссертации Н. Е. Жуковского О прочности движения (1882) и статьи А. М. Ляпунова Об устойчивости движения в одном частном случае задачи трех тел (1889) орбитальной устойчивостью впервые у нас занялся В. В. Степанов, который ввел, в частности, важное понятие сплошной орбитальной устойчивости в смысле Якоби Н. Д. Моисеев в значительной мере опирался на это определение в своих исследованиях но ограниченной задаче трех тел. Ряд работ по теории устойчивости в проблемах небесной механики дал Г. Н. Дубошин. Этими же проблемами занимались Н. Ф. Рейн и др. В монографии Г. Н. Дубошина указанное направление отражено достаточно полно. [c.131]

Приведенные формулы позволяют вычислить кривизну по любому двумерному направлению. Вычисления показывают, что по большинству направлений кривизна отрицательна, но по некоторым — положительна. Рассмотрим, в частности, какое-либо течение жидкости, т. е. геодезическую нашей группы. Согласно уравнению Якоби, устойчивость этой геодезической определяется кривизнами по направлениям всевозможных двумерных плоскостей, проходящих через вектор скорости геодезической во всех ее точках. [c.305]

Обладая такой информацией, можно более подробно изучить поведение жидкой массы за критической фигурой Якоби. Если свободная поверхность получает смещение включающее гармонические функции третьего порядка), и если допустить, что любое общее (внешнее, Б. К.) физическое возмущение содержит подобные же члены, то амплитуды вне зависимости от трения начнут возрастать экспоненциально со временем. Эта система больше не сможет совершать колебания около равновесной формы, т. к. устойчивости нет, и вместо колебаний будет происходить динамическое движение до тех пор, пока система не достигнет нового устойчивого состояния. Уравнения движения системы в первом приближении позволяют проследить её развитие только до тех пор, пока скорости и смещения остаются малыми. Большего линейные уравнения дать не могут. По так или иначе, в конечном счёте система должна достигнуть какого-то другого устойчивого состояния, в котором не происходит дальнейшего рассеивания энергии. П тут возникает интересный вопрос какой будет конечная конфигурация. К сожалению, с помощью доступных точных методов детально этот вопрос исследовать невозможно. По вполне может быть, как раньше и предполагалось, что конечным результатом будет деление первоначальной [c.19]

После того как было установлено существование последовательностей Маклорена и Якоби, рассмотрим вопрос, касающийся их устойчивости. Здесь мы не будем изучать общие деформации таких систем ввиду больших трудностей вычисления для них соответствующих изменений в гравитационной потенциальной энергии и в моменте инерции. Если же ограничиться деформациями системы, когда её свободная по- [c.74]

Само по себе это пе значит, что характеристический коэффициент действительно не обращается в нуль нри некотором а 6 с, но теперь 1 этот результат следует из полученного ранее заключения па стр. 167. Там было показано, что имеется только одна функция Li (всего их 2п + 1), для которой удовлетворяется j2 = f , т.е. для пеё соответствующий коэффициент устойчивости обращается в нуль. Это, вместе с результатом данного раздела, окончательно доказывает, что для любого данного порядка лишь характеристический коэффициент устойчивости может обратиться в пуль, и это происходит для некоторой конечной фигуры Якоби. [c.171]

Если эллипсоид обладает вековой устойчивостью относительно смещений порядка п, его потенциальная энергия будет иметь абсолютный минимум, поэтому система будет автоматически устойчива в обычном смысле, и все корни уравнения по А будут обязательно вещественными. Соответственно когда система развивается вдоль ряда Якоби в направ.пении возрастающего углового момента, вопрос об обыкновенной неустойчивости впервые возникает для гармонических деформаций третьего порядка. Далее будет показано, что при этих смещениях обыкновенная устойчивость исчезает одновременно с вековой устойчивостью. С физической точки зрения это равносильно тому, что эллипсоиды Якоби неустойчивы в обычном смысле на всех стадиях за той критической формой, в которой ответвляется грушевидный ряд. [c.199]

Но две массы могли бы воссоединиться — сталкивающиеся жидкости не сохраняют своей индивидуальности и не отталкиваются подобно бильярдным шарам — и, похоже, они не способны сохраниться в том виде, в каком это предполагал Джинс. Но даже преодолев эту трудность, остаётся возражение по поводу того, что угловой момент критической формы Якоби заметно меньше, чем момент двух равных или сравнимых масс, находящихся в устойчивом орбитальном движении вокруг друг друга (см. таблицу VI, стр. 221), и различие это будет увеличиваться ещё и за счёт введения эксцентриситета с целью удержания меньшей массы за границей приливной неустойчивости. [c.213]

Несмотря на то, что эти идеи Джинса достаточно запутаны, тем не менее может возникнуть случай, когда форма Якоби становится обыкновенным образом неустойчивой, и небольшое возмущение в конечном итоге приведёт к её делению на две массы. Такое деление всё-таки произойдёт, когда одиночная система обладает большим угловым моментом, чем ей это необходимо для существования в виде устойчивой массы. Масса должна каким-то образом избавиться хотя бы от части углового момента, и его передача орбитальному движению разделившихся частей является, очевидно, вполне возможным способом выхода из этой ситуации. Кроме отделения части массы, никакого другого физически возможного способа решения этой проблемы никогда не предлагалось. Но и в этом случае всё ещё необходимо разобраться в проблеме, касающейся столкновений и воссоединений частей. Если для простоты исследования допустить деление на две массы, то единственный путь избежать последующего их слияния такой первоначальная скорость деления должна быть настолько большой, чтобы удалить части на бесконечность, т.е. они должны иметь начальную скорость разделения, сравнимую с гиперболической . Если бы с самого начала этого не произошло, то столкновение и воссоединение масс обязательно привели бы к диссипации энергии и сделали бы систему более неустойчивой, чем до сих пор. (Окончательным результатом действия диссипации из-за столкновения было бы увеличение плотности, а это было бы равносильно возрастанию углового момента без изменения плотности.) Далее следовало бы деление с большей интенсивностью, пока не был бы достигнут такой уровень распада, чтобы части разлетались с гиперболической скоростью. Судя по всему, другого пути перехода системы к но- [c.213]

Реформирование сектора ЦТ может разными способами содействовать проведению комплексных реформ в сфере энергетики. Во-первых, после реформирования сектор ЦТ станет более устойчивым и эффективным,-проводимые реформы могут и должны быть направлены на разрешение финансовых, технических, рыночных и управленческих проблем, которые мешают развитию сектора. Результаты реформ, проведенных в некоторых странах Центральной Европы, таких как Венгрия и Польша, указывают на то, что благодаря разумным политическим стратегиям могут быть созданы стимулы для стабильного развития сектора ЦТ при минимальном субсидировании. Подобные реформы могут противостоять аргументу, что комплексное реформирование и увеличение цен якобы невозможны из-за экономических условий. Основными противниками таких реформ обычно являются государственные компании, которых вполне устраивает существующая система. Например, компании-операторы ЦТ, которые испытывают большие энергетические потери при передаче по сетям, возможно, не захотят принять систему, согласно которой бытовые потребители будут оплачивать услуги теплоснабжения на базе подсчета фактического расхода тепловой энергии, так как в этом случае суммы коммунальных счетов уменьшаться и компаниям-операторам ЦТ придется искать способы сокращения потерь в распределительной сети. (В то же время, комплексное реформирование в целях обеспечения для компаний-операторов средств, необходимых для такого технического обслуживания, должно проводиться параллельно с реформой системы оплаты коммунальных услуг). [c.57]

Для численного решения был выбран абсолютно устойчивый сеточный метод с аппроксимацией поперечных производных по схеме Келлера второго порядка точности с переменным шагом по у. При аппроксимации продольных производных использовалась неявная двухслойная схема. На каждом шаге по х система нелинейных уравнений для сеточных функций решалась модифицированным методом Ньютона с автоматическим обновлением матрицы Якоби. Первый шаг по продольной координате был сделан с помощью разложений (2.1), (2.2) для двух видов начальных профилей (3.4) и (3.5). [c.112]

Основная задача теории устойчивости движения — это установление критериев, позволяющих судить, будет ли данное движение устойчивым или неустойчивым. При этом понятия устойчивость движения или устойчивость рещения трактовались в предществующий период и трактуются в настоящее время по-разному. В хронологическом порядке, по-видимому, сначала появилось понятие устойчивость по Лагранжу , далее устойчивость по Пуассону , устойчивость по Хиллу , устойчивость по Якоби , устойчивость по Ляпунову , устойчивость на конечном промежутке времени , устойчивость при постоянно действующих возмущениях и др. [c.829]

Труднейший вопрос об устойчивости фигур равновесия был поднят Ж. Лиувиллем и Б. Риманом. Решительный прогресс был достигнут в этом вопросе в работах А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре предложивших достаточно обилие методы исследования фигур равновесия враш ающейся жидкости, в том числе и их вековой устойчивости. Первые исследования обоих ученых в этой области относятся к середине 80-х годов. Уже в своей магистерской диссертации Ляпунов установил устойчивость эллипсоидов Мак-лорена при значениях эксцентриситета меньше 0,813 в обш их предположениях о возмущениях и устойчивость эллипсоидов Якоби при эллипсоидальных возмущениях В последующем были тщательно исследованы эллипсоиды бифуркации- и, в частности, обнаружены так называемые грушевидные формы равновесия. Однако Ляпунов указал в 1905 г. на неустойчивость этих форм в противоречие утверждению Дж. Дарвина об их устойчивости По этому вопросу возникла дискуссия, победителем которой оказался Ляпу- [c.77]

Сказанное относится в равной мере как к классическим определениям и понятиям устойчивости по Лагранн<у, по Пуассону, по Якоби, так и к новым типам, иди теориям, устойчивости, вроде теории орбитальной устойчивости, теории технической устойчивости и т. п. Новые теории устойчивости, например, теория устойчивости в большом или теория устойчивости при постоянно действующих возмущениях, не представляют, в сущности говоря, чего-либо принципиально нового по сравнению с ляпуновской устойчивостью и могут рассматриваться разве только как некоторые дополнения к общей теории Ляпунова. [c.332]

Определение устойчивости по Хиллу. Плоская ограниченная круговая задача трех тел имеет интеграл Якоби (5.2.07). Если постоянная интеграла Якоби С больше С( г) [ (L2) — значение постоянной интеграла Якоби для точки либрации г], то область возможности движения третьего тела [c.832]

С точки зрения космогонии важно как можно дета.пьнее описать такой путь развития. Было бы интересно, конечно, представить эту эволюционную проблему как можно полнее, но литература по этому предмету очень разнообразна и, к тому же, носит в основном исследовательский характер. Поэтому едва ли в одном отдельном издании можно осветить эту задачу во всей полноте. П всё-таки имеет смысл дать полное математическое описание тех частей предмета, которые необходимы для обоснования достоверности упомянутой выше эволюции. Для этого сначала мы рассмотрим проблему устойчивости с главным акцентом на вращающиеся системы. За этим следует обсуждение сферических, сфероидальных и эллипсоидальных фигур равновесия и тех их свойств, которые можно вывести с помощью простых методов динамической теории. Далее мы излагаем элементы эллипсоидального гармонического анализа и доказываем некоторые важнейшие свойства функций Ламэ. Затем, используя этот математический аппарат, перейдём к изложению результатов исследования Пуанкаре вековой устойчивости последовательностей Маклорена и Якоби. После этого мы уделим внимание исследованию Картаном обыкновенной устойчивости эллипсоидов Якоби. В заключении рассматриваются этапы эволюции системы и обсуждаются возможные применения в космогонии. [c.20]

Если координаты и скорость Луны в произвольный момент ее движения таковы, что постоянная Якоби, вычисленная по формуле (V. 178), настолько велика, что ей соответствуют замкнутые поверхности вокруг Солнца и Земли, и если в некоторый момент Луна находится внутри поверхности, окружающей Землю, то можно утверждать, что она всегда останется там, так как не сможет пересечь поверхность нулевой скорости. Такая устойчивость носит название устойчивости по Хиллу. Однако, если значение постоянной Якоби для Луны мало и поверхность нулевой скорости не замкнута, мы ничего не можем утверждать об устойчивости Луны, так как хотя она и может удалиться неопределенно далеко от Земли, но удалится ли она фактически или нет — вопрос остается открытым. [c.267]

Примечания. 1) Внутри замкнутой кривой находится устойчивое состояние равновесия. При линеаризации системы в его окрестности эта кривая аппроксимируется эллипсом (ср. с рис. 72). 2) Изображен также характер изменения произвольных постоянных (а и Р), получающихся при применении метода Гамильтона — Якоби. 3) Неустойчивое состояние равновесия помечено крестиком оно располагается на оси s между связными компонентами уровня энергии. С ростом h эти компоненты приблизятси справа и слева к указанному равновесию, и в его окрестности будут идти примерно го гиперболам (ср. с рис. 73). После того как h пересечет критическое значение, уровень энергии станет связным, но поначалу будет иметь тонкую перемычку, проходящую сверху и снизу от состояния равновесия, приблизительно опять-таки по гиперболам (снова см. рис. 73). [c.285]

Важные для практики работы выполнили С. П. Власов (1820 г.) по разработке стойких красок, Б. С. Якоби 1856 г.) по заш,ите стали цинком, А. И. Онуфрович (1910 г.) по разработке наиболее устойчивого кровельного железа, Е. Куклин (1910 г.) по травлению металлов. [c.5]

Важные для практики работы выполнили Б. С. Якоби (1856) по электрохимической защите стали цинком, А. И. Онуфровичем (1910) по разработке наиболее устойчивой марки кровельного железа, Е. Куклина (1910) по травлению металлов. [c.10]

Важные для практики работы в России (до первой мировой войны) выполнили С. П. Власов (1820 г.) по разработке стойких красок, Б. С. Якоби (1856 г.) по электрохимической защите стали цинковым протектором, А. И. Онуфрович (1910 г.) по разработке наиболее устойчивого кровельного железа, Е. Куклин (1910 г.) но травлению металлов. Исследования акад. В. А. Кистя-ковского, начатые в 1890 г. и продолженные им после Великой Октябрьской социалистической революции, послужили основанием для созданной им фильмовой теории коррозии металлов. В процессах электрохимической коррозии и пассивности решающее значение приобретают свойства образующихся на поверхности металла окисных пленок (фильмов). В. А. Кистяковский открыл мото-химические и мото-электрические явления, в основе которых лежит изменение электрохимических потенциалов металлов при их движении в растворах электролитов. [c.10]

В книге рассматривается в нелинейной постановке движение вращающегося твердого тела в атмосфере под действием синусоидального или бигар-монического восстанавливающего момента, зависящего от времени, и малых возмущающих моментов. Приведены факторы, определяющие возмущения, в виде медленно меняющихся параметров и параметров малой асимметрии. Даны аналитические решения уравнений невозмущенного движения в эллиптических функциях Якоби. Построены усредненные уравнения возмущенного движения осесимметричного тела и в ряде частных случаев найдены приближенные аналитические решения. Для случая возмущенного движения асимметричного тела найдены новые виды нелинейных резонансов, исследована устойчивость возмущенного движения в окрестности резонансов. Рассмотрена задача идентификации характеристик высокочастотного движения тела по сравнительно малому числу измерений. [c.1]

При исследовании случая одного нулевого корня Ляпунов предполагал правые части уравнений (1.1) возмущенного движения голоморфными функциями. В. С. Ведров (1937) обобщил результаты Ляпунова для случая, когда предполагается лишь дифференцируемость функций Xs в окрестности точки Ха = 0. Н. Н. Красовский (1955) показал, что в критическом случае одного нулевого корня об устойчивости можно судить также по поведению собственных чисел Я х ,. . ., х ) матрицы Якоби [c.58]

Примечание. Разрешить задачу об устойчивости в отрицательном смысле, по крайней мере при помощи использования интеграла Якоби, невозможно, так как производная от функции V всегда равна нулю, а по теоремам Ляпунова эта производная должна быть знакоопределенной. [c.451]

Очевидно, равновесие должно быть безразличным к смещению данного типа, поскольку Е является просто формой Якоби отпоситель-по других осей. Поэтому соответствующий коэффициент устойчивости должен исчезнуть, т. е. [c.165]

К стр. 180. А. М. Ляпунов первым установил, что угловая скорость грушевидной фигуры несколько больше, а угловой момент несколько меньше, чем у исходного критического эллипсоида Якоби. Эти расчёты имели прямое отношение к выяснению того, устойчивы ли фигуры на новой последовательности. Строгое доказательство вековой неустойчивости критического эллипсоида Якоби, от которого ответвляется последовательность грушевидных фигур, также впервые дал в 1905 (окончательно в 1912) году именно А. М. Ляпунов. Джинс же сделал это десятью годами позднее. Между Дарвипым и Ляпуновым по данному вопросу завязался длительный спор, причём Дарвин ошибочно настаивал на устойчивости грушевидной фигуры. Литтлтон не совсем точно описывает историю вопроса. [c.228]

К стр. 210. Литтлтон сгущает краски. Конечно, одна только динамическая неустойчивость сама по себе никогда не приведёт к паре расходящихся тел. Но то, что эллипсоид Якоби в точке бифуркации от него груши одновременно теряет вековую и обыкновенную устойчивость, в общем-то, не нарушает выводов Джинса относительно возможности катастрофического деления жидкой массы с последующим их расхождением. Остаётся только спросить историков науки если Картан пришёл к выводу о динамической неустойчивости эллипсоида Якоби в первой точке бифуркации ещё в 1924 году, то почему об этом важном для космогонии результате ничего не пишет Джинс, книга которого вышла в 1929 году [c.230]

Через Tj и мы обозначили расстояние Луны от Солнца и от Земли. Уравнения (V. 174) имеют интеграл, который был впервые получен Якоби (1804—1851) и затем применен Хиллом в первом из его знаменитых мемуаров по теории Луны (Resear hes in the Lunar Theory, 1878) для рассмотрения вопроса об устойчивости ее движения. Положим [c.260]

В своих знаменитых работах 1824—1828 гг., представленных Ирландской Академии наук, Гамильтон, решая проблему оптики о распространении света в оптически неоднородных и неизотропных средах, пришел к уравнениям, впоследствии получившим название уравнений Гамильтона, или, по предложению Якоби, канонических уравнений. Удивительна судьба этих уравнений. Сам Гамильтон показал, что канонические уравнения могут быть с успехом использованы и в аналитической механике. Позже уравнения Гамильтона были применены в электронной оптике для описания движения заряженных частиц в электромагнитных полях. Развитие квантовой механики привело к созданию уравнений, совпадающих по форме с классическими уравнениями Гамильтона (Гайзенберг). Уравнения Гамильтона используются в различных областях механики и математики в небесной механике, в теории управления, в теории устойчивости движения, в теории нелинейных колебаний и т. д. [c.278]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...