Вековая устойчивость эллипсоидов Якоби

Вековая устойчивость эллипсоидов Якоби [c.164]

Пуанкаре показал, что при дальнейшем росте углового момента определённые фигуры равновесия на последовательности Маклорена становятся вековым образом неустойчивыми относительно гармоник более высокого (чем п = 2, Б. К.) порядка. Эти результаты для сфероидов определяются известными свойствами зональной и тессеральной гармоник, к которым сводятся эллипсоидальные функции Ламэ в более простых координатах, когда эллипсоид имеет две равные оси. Конечно, исследование самих эллипсоидов Якоби опирается на общие функции Ламэ. Аналогичным образом Пуанкаре смог показать, что и эллипсоиды Якоби теряют вековую устойчивость сначала от гармонической деформации третьего порядка, а затем, при большем растяжении и моменте вращения, появляются конфигурации, проявляющие неустойчивость относительно гармонических функций Ламэ четвёртого, пятого и т.д. порядков ). [c.16]

В нашу задачу не входит получение подробных выражений для малых колебаний эллипсоидов Якоби, обладающих вековой, а поэтому и обыкновенной устойчивостью. Нам необходимо только рассмотреть вопрос о том, сохраняют ли они обыкновенную устойчивость за конфигурацией, в которой впервые исчезает вековая устойчивость. По определению предполагается, что при обыкновенной устойчивости все корни по А должны быть вещественными, потому что если бы хоть один корень был мнимый или комплексный, то существовало бы движение, в котором смещение (в первом порядке малости) возрастало бы до бесконечности. Кроме того, в данном случае невозможно, чтобы движение, зависящее от такого члена, как возникало в отсутствии члена Для каждого решения уравнений (5) здесь существует соответствующее решение, симметричное относительно ж -плоскости, но с измененным знаком Л, поскольку вид уравнений сохраняется, если изменяются [c.198]

Если эллипсоид обладает вековой устойчивостью относительно смещений порядка п, его потенциальная энергия будет иметь абсолютный минимум, поэтому система будет автоматически устойчива в обычном смысле, и все корни уравнения по А будут обязательно вещественными. Соответственно когда система развивается вдоль ряда Якоби в направ.пении возрастающего углового момента, вопрос об обыкновенной неустойчивости впервые возникает для гармонических деформаций третьего порядка. Далее будет показано, что при этих смещениях обыкновенная устойчивость исчезает одновременно с вековой устойчивостью. С физической точки зрения это равносильно тому, что эллипсоиды Якоби неустойчивы в обычном смысле на всех стадиях за той критической формой, в которой ответвляется грушевидный ряд. [c.199]

Теперь мы можем установить важный результат, что эллипсоид Якоби становится неустойчивым в обычном смысле в тот же самый момент, когда приобретает и вековую неустойчивость нри смене знака характеристического коэффициента устойчивости третьего порядка. [c.207]

Труднейший вопрос об устойчивости фигур равновесия был поднят Ж. Лиувиллем и Б. Риманом. Решительный прогресс был достигнут в этом вопросе в работах А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре предложивших достаточно обилие методы исследования фигур равновесия враш ающейся жидкости, в том числе и их вековой устойчивости. Первые исследования обоих ученых в этой области относятся к середине 80-х годов. Уже в своей магистерской диссертации Ляпунов установил устойчивость эллипсоидов Мак-лорена при значениях эксцентриситета меньше 0,813 в обш их предположениях о возмущениях и устойчивость эллипсоидов Якоби при эллипсоидальных возмущениях В последующем были тщательно исследованы эллипсоиды бифуркации- и, в частности, обнаружены так называемые грушевидные формы равновесия. Однако Ляпунов указал в 1905 г. на неустойчивость этих форм в противоречие утверждению Дж. Дарвина об их устойчивости По этому вопросу возникла дискуссия, победителем которой оказался Ляпу- [c.77]

С точки зрения космогонии важно как можно дета.пьнее описать такой путь развития. Было бы интересно, конечно, представить эту эволюционную проблему как можно полнее, но литература по этому предмету очень разнообразна и, к тому же, носит в основном исследовательский характер. Поэтому едва ли в одном отдельном издании можно осветить эту задачу во всей полноте. П всё-таки имеет смысл дать полное математическое описание тех частей предмета, которые необходимы для обоснования достоверности упомянутой выше эволюции. Для этого сначала мы рассмотрим проблему устойчивости с главным акцентом на вращающиеся системы. За этим следует обсуждение сферических, сфероидальных и эллипсоидальных фигур равновесия и тех их свойств, которые можно вывести с помощью простых методов динамической теории. Далее мы излагаем элементы эллипсоидального гармонического анализа и доказываем некоторые важнейшие свойства функций Ламэ. Затем, используя этот математический аппарат, перейдём к изложению результатов исследования Пуанкаре вековой устойчивости последовательностей Маклорена и Якоби. После этого мы уделим внимание исследованию Картаном обыкновенной устойчивости эллипсоидов Якоби. В заключении рассматриваются этапы эволюции системы и обсуждаются возможные применения в космогонии. [c.20]

Дальнейшее развитие (направление эволюции, Б. К.) массы будет зависеть от того, обладают эти эллипсоиды обыкновенной устойчивостью, или нет. Если они обыкновенно устойчивы, то это значило бы, что любое небольшое возмущение возрастало со скоростью, зависящей только от величины сил трения, а это ещё пе привело бы к резкому отклонению. Примером может служить луппая орбита, которая обладает вековой неустойчивостью, но является обыкновенно устойчивой, и скорость её отклонения от настоящего расположения является незначительной из-за малости приливного трения. С другой стороны, если эллипсоиды Якоби за точкой бифуркации обыкновенно неустойчивы (фактически, как будет видно, так оно и есть), то эксиопепциальпые множители, указывающие на неустойчивость, не зависят от трения и пе обращаются в нуль вместе с ним. Соответственно они могут включать в себя динамические отклонения от формы Якоби, возникающие нри ускорении, сравнимом с любым другим ускорением системы. Исследование обыкновенной устойчивости эллипсоидов Якоби является предметом следующей главы. [c.180]

Таким образом, для того, чтобы иметь полную информацию при рассмотрении малых деформаций системы, необходимо определить, остаётся ли ряд Якоби обыкновенно устойчивым вне критической фигуры. Условие динамической устойчивости заведомо выполняется, пока вековая неустойчивость не наступила. В принципе, вопрос о динамической устойчивости требует совершенно другого подхода, т. к. для его решения необходимо изучить действительные периоды возможных ма-,пых ко.пебаний системы, а не то, каким образом отде.пьный показатель, такой, как момент количества движения (угловой момент), изменяется на начальной стадии грушевидного ряда. Проблему определения обыкновенной устойчивости ряда Якоби разрешил Картан (СаЛап). Он с успехом доказал, что при деформации гармонической функцией третьего порядка эллипсоиды Якоби одновременно приобретают и вековую и обыкновенную неустойчивости . [c.19]

К стр. 180. А. М. Ляпунов первым установил, что угловая скорость грушевидной фигуры несколько больше, а угловой момент несколько меньше, чем у исходного критического эллипсоида Якоби. Эти расчёты имели прямое отношение к выяснению того, устойчивы ли фигуры на новой последовательности. Строгое доказательство вековой неустойчивости критического эллипсоида Якоби, от которого ответвляется последовательность грушевидных фигур, также впервые дал в 1905 (окончательно в 1912) году именно А. М. Ляпунов. Джинс же сделал это десятью годами позднее. Между Дарвипым и Ляпуновым по данному вопросу завязался длительный спор, причём Дарвин ошибочно настаивал на устойчивости грушевидной фигуры. Литтлтон не совсем точно описывает историю вопроса. [c.228]

К стр. 210. Литтлтон сгущает краски. Конечно, одна только динамическая неустойчивость сама по себе никогда не приведёт к паре расходящихся тел. Но то, что эллипсоид Якоби в точке бифуркации от него груши одновременно теряет вековую и обыкновенную устойчивость, в общем-то, не нарушает выводов Джинса относительно возможности катастрофического деления жидкой массы с последующим их расхождением. Остаётся только спросить историков науки если Картан пришёл к выводу о динамической неустойчивости эллипсоида Якоби в первой точке бифуркации ещё в 1924 году, то почему об этом важном для космогонии результате ничего не пишет Джинс, книга которого вышла в 1929 году [c.230]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...