Использование интеграла Якоби

Сфера влияния. Наряду с использованием понятий сферы действия и сферы притяжения для приближенных расчетов траекторий движения КА в гравитационном поле двух небесных тел, существуют и другие принципы разделения пространства на области преимущественного воздействия каждого из двух небесных тел. Например, введенное в работе [32] понятие сферы влияния меньшего небесного тела относительно большего основано на использовании интеграла Якоби в круговой ограниченной задаче трех тел. Из условия минимизации ошибки приближенного расчета постоянной интеграла Якоби получена формула для вычисления радиуса сферы влияния [c.248]

Использование интеграла Якоби [c.383]

Поскольку возмущения, вызванные эксцентриситетом и наклонением орбиты Земли к плоскости лунного экватора, будут меньше, чем возмущение от Земли, движущейся по круговой орбите в плоскости лунного экватора, то ясно, что до высоты примерно 1500 км от лунной поверхности основным возмущающим эффектом оказывается отклонение фигуры Луны от шара следующим по порядку величины оказывается эффект, определяемый Землей, движущейся по круговой орбите в плоскости лунного экватора. Все прочие эффекты оказываются малыми по сравнению с описанными. Тот факт, что при указанном упрощении большая ось Луны неизменно направлена в центр Земли, позволяет подтвердить полезность использования интеграла Якоби в данной ситуации. [c.395]

Согласно же проведенному выше обсуждению кривых относительных скоростей, основанному на использовании интеграла Якоби, критическая точка, означающая возникновение горловины , сквозь которую возможен полет к Луне, лежит от Земли на расстоянии, составляющем 84,9% лунной единицы ). Противоречие этих двух результатов объясняется тем, что в упрощенной схеме, основанной на использовании уравнения (5.8), не учтен один весьма важный эффект — эффект вращения Земли и Луны вокруг их общего центра масс. В рассматриваемой системе тел различие сравнительно невелико, и его можно отнести в ряде случаев ко второстепенным деталям однако при переходе к системам других небесных тел получаемое расхождение результатов может быть очень значительным. В масштабах планетной системы простое приравнивание сил притяжения друг к другу может привести к серьезным ошибкам. Например, приравнивая силы притяжения Земли и Солнца, мы получили бы, что для ухода от Земли достаточно удалиться от нее чуть дальше, чем на 165 ООО миль. Луна же находится от Земли на расстоянии 240 ООО миль это свидетельствует о явной ошибочности такой теории, С помощью интеграла Якоби в этом случае можно показать, что для возможности ухода из окрестности Земли необходимо удалиться от нее на расстояние около 1000 000 миль. [c.132]

Мы установим сначала, какую форму принимает для таких систем интегральный инвариант Пуанкаре — Картана после этого рассмотрим, как записать для них систему уравнений, вид которой напоминает уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, но порядок ниже (за счет использования интеграла энергии) далее выясним, как выглядят в этом случае вариационный принцип Гамильтона и уравнение Гамильтона — Якоби и какие возможности открываются для определения полного интеграла этого уравнения. [c.326]

Использование в приближенных расчетах сферы влияния вместо сферы действия должно привести в среднем к уменьшению ошибки расчета постоянной интеграла Якоби и, как следствие, уменьшению ошибок расчета других параметров орбиты КА. [c.248]

Но отыскание полного интеграла методом Якоби требует со своей стороны выполнения к последовательных интегрирований, вводящих каждый раз произвольную постоянную, и, кроме того, еще одной квадратуры. После этого 2к интегралов движения получаются уже без новых интегрирований. Можно сказать поэтому, что благодаря такому использованию полного интеграла трудность интегрирования уравнений механики уменьшается наполовину. [c.235]

Использование обобщенных координат — одно из преимуществ формализма Гамильтона—Якоби. Что же касается уравнений Лагранжа, то их особенное преимущество состоит в том, что все вычисления сводятся к составлению выражения для кинетической энергии, выраженной в функции /, д,д, а к простым дифференцированиям. При рассмотрении принципа Гамильтона надо допустить, что систему можно заставить перейти от того же начального к тому же конечному положению, что и в действительном движении, с помощью некоторого фиктивного движения (бесконечно мало отличающегося от действительного), не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения динамики, но сохраняя связи. Интеграл Гамильтона может обратиться в нуль для всех вариаций, совместимых со связями, лишь в том случае, если сумма под знаком интеграла постоянно равна нулю. В противном случае, изменяя знаки всех 3 одновременно, можно выбрать их так, чтобы сумма под знаком интеграла была все время положительна, а следовательно, интеграл не был бы равен нулю. При 17 = 0 из принципа Г амильтона получим [c.868]

Другой способ построения главной функции основан на использовании какого-либо полного интеграла уравнения Якоби [c.704]

Основываясь на теореме Якоби, можно применять следующий метод решения задач о движении механических систем с обобщенно-потенциальными силами и голономными идеальными связями. Этот метод заключается в составлении уравнения Гамильтона — Якоби по известной функции Гамильтона и в отыскании полного интеграла этого уравнения с последующим использованием соотношений (9.75). [c.405]

Таким образом, алгоритм решения динамической задачи, основанный на использовании уравнения (37.1), сводится к следующему ряду операций. По заданному гамильтониану системы составляют уравнение Гамильтона — Якоби (37.1) и каким-либо способом отыскивают его полный интеграл (37.3). Дифференцируя этот интеграл по произвольным постоянным а, и приравнивая частные производные новым произвольным постоянным , получают [c.208]

Примечание. Разрешить задачу об устойчивости в отрицательном смысле, по крайней мере при помощи использования интеграла Якоби, невозможно, так как производная от функции V всегда равна нулю, а по теоремам Ляпунова эта производная должна быть знакоопределенной. [c.451]

Задача попадания в Луну. Оценим минимальную скорость, которую следует сообщить КА на круговой орбите ИСЗ высотой 200 км, чтобы он достигнул Луны. Рассмотрим сначала возможность использования в этих целях точки либрации Ь, расположенной на расстоянии 58 ООО км от центра масс Луны по отрезку прямой, который соединяет центры масс Луны и Земли. Для достижения точки Ь КА должен иметь во вращающейся барицентрической системе координат начальную скорость = 10,849 км/с, величина которой определяется с помощью интеграла Якоби, Возникает вопрос можно ли сообщить КА скорость чуть больше У чтобы он достиг на восходящей ветви траектории точки либрации Ь, пролетел с малой скоростью окрестность этой точки, а затем долетел до Луны Численное интегрирование траекторий движения в рамках задачи трех тел показало, что в случае, когда вектор скорости направлен по касательной к круговой орбите ИСЗ (т, е, геоцентрическая скорость максимальна), КА на первом витке возвращается к Земле, не долетев до точки либрации около [c.257]

Таким образом, кроме интеграла энергии задача Якоби имеет еще п—1 первых интегралов. Ими являются номера софокус-ных квадрик, о которых идет речь в теореме Якоби — Шаля. Можно показать, что они находятся в инволюции и в общем положении независимы. Геометрическое доказательство первого факта можно найти в статье [4, гл. 3L а второй факт проверяется прямым вычислением с использованием эллиптических координат. Итак, гамильтонова система, описывающая движение точки по п-мерному эллипсоиду, имеет ровно п независимых инволютивных интегралов и поэтому вполне интегрируема согласно теореме Лиувилля. [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...