Характеристический коэффициент устойчивости

Таким образом, комбинируя результаты этих двух случаев, мы установили, что коэффициент устойчивости, соответствующий данной общей -функции, исчезает для некоторого промежуточного а Ь с. В дальнейшем будет показано, что в действительности только этот коэффициент и может исчезать. Чтобы отличить от оставшихся 2п коэффициентов устойчивости, которые всегда оказываются положительными, его называют характеристическим коэффициентом устойчивости порядка п . [c.167]

Само по себе это пе значит, что характеристический коэффициент действительно не обращается в нуль нри некотором а 6 с, но теперь 1 этот результат следует из полученного ранее заключения па стр. 167. Там было показано, что имеется только одна функция Li (всего их 2п + 1), для которой удовлетворяется j2 = f , т.е. для пеё соответствующий коэффициент устойчивости обращается в нуль. Это, вместе с результатом данного раздела, окончательно доказывает, что для любого данного порядка лишь характеристический коэффициент устойчивости может обратиться в пуль, и это происходит для некоторой конечной фигуры Якоби. [c.171]

Поскольку все корпи -функции, дающей характеристический коэффициент устойчивости но А + а , лежат между О и — 6 , то когда а становится равной Ь, все они должны совпасть при Л + = 0. Отсюда имеем [c.172]

Теперь мы можем установить важный результат, что эллипсоид Якоби становится неустойчивым в обычном смысле в тот же самый момент, когда приобретает и вековую неустойчивость нри смене знака характеристического коэффициента устойчивости третьего порядка. [c.207]

Если характеристический коэффициент устойчивости порядка п мы обозначим через —-Я2 +1, тогда нри > О, пока эллипсоид повсюду устойчив, мы имеем предшествующий результат [c.207]

Характеристический коэффициент устойчивости, 170, 175 Характеристическое уравнение для периодов, 42, 199 [c.238]

Если из характеристического уравнения устойчивой динамической системы выбрать любые четыре рядом расположенные коэффициента, то произведение средних коэффициентов будет всегда больше произведения крайних коэффициентов. [c.15]

С теорией критических случаев устойчивости тесно связан вопрос о поведении динамических систем вблизи границ области устойчивости в пространстве параметров. Границей области устойчивости называется совокупность всех тех точек пространства параметров, в которых по крайней мере один из корней характеристического уравнения является критическим. Так, для линейной системы уравнений возмущенного движения с постоянными коэффициентами устойчивость может теряться либо когда по меньшей мере один из корней характеристического уравнения становится равным нулю, либо когда два корня становятся чисто мнимыми в этих случаях уничтожаются либо последний, либо предпоследний из определителей Гурвица. В первом случае уравнения возмущенного движения будут иметь новую последовательность равновесий, проходящую через отвечающую точку, а во втором — последовательность периодических движений (Н. Г. Четаев, 1946). [c.60]

В характеристическом уравнении устойчивой системы все коэффициенты при > О должны быть положительными и поэтому должно также выполняться условие > О- С учетом этого замечания критерий Михайлова формулируется еще так для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора [c.92]

Таким образом, свободный член характеристического уравнения (7.71) может быть найден по коэффициентам исходных уравнений (7.45). К сожалению, для определения остальных коэффициентов уравнения (7.71) необходимо знать хотя бы одну фундаментальную матрицу X (t) (легко доказывается, что уравнение (7.71) не зависит от выбора фундаментальной матрицы). Задача облегчается тем, что критерии устойчивости носят характер неравенств, поэтому можно пользоваться численными и приближенными методами. [c.238]

При исследовании бокового движения наиболее распространенным является случай, когда такое движение складывается из трех частных движений — двух апериодических и одного колебательного, что соответствует двум комплексным сопряженным и двум вещественным корням характеристического уравнения. Коэффициенты этого уравнения, а следовательно, и частные и общие решения для приращений параметров зависят от производных устойчивости (с , т ., , тУ, т у, т - , т у, ), а также [c.46]

Корни характеристического уравнения (XI.16) будут иметь отрицательные действительные части, и движение системы будет устойчиво, если коэффициенты Яо, а , аг> [c.298]

Условия устойчивости гиростабилизатора заключаются в требовании положительности коэффициентов характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению (XI.24), и в выполнении неравенства [c.302]

Условия устойчивости системы, движение которой описывается дифференциальным уравнением (XI.39), по Раусу — Гурвицу заключаются в том, что коэффициенты характеристического уравнения положительны и выполняется неравенство [c.319]

Условия устойчивости системы согласно Раусу — Гур-вицу определяются положительностью коэффициентов характеристического уравнения, соответствующего (XI.53), а также неравенством [c.321]

Условием устойчивости системы будет положительность коэффициентов характеристического уравнения (XI.59), а также выполнение неравенства Гурвица [c.322]

Изложенный алгоритм матричной прогонки не всегда может быть использован для расчетов. Иногда для обеспечения устойчивости прогонки и разрешимости возникающих при этом процессе систем уравнений необходим углубленный анализ поля характеристических направлений. Ограничимся некоторыми эвристическими соображениями по этому вопросу. Рассмотрим систему (2.3) — (2.5) и заморозим коэффициенты. Имеем следующую линейную систему (черточки обозначают замороженные значения) [c.102]

Для определения устойчивости движения системы необходимо установить, что знаки действительных частей всех решений характеристического уравнения отрицательны. При этом нет необходимости выполнять решение, так как можно установить условия, которые характеризуют устойчивость или неустойчивость движения лишь на основании изучения коэффициентов характеристического уравнения. Эти условия были даны Раусом в 1877 г. [c.237]

Наличие положительных знаков у всех коэффициентов характеристического уравнения является обязательным условием устойчивости движения системы и для уравнений высших степеней. Таким образом, если характеристическое уравнение любой степени имеет один или несколько отрицательных коэффициентов, то определяемое этим уравнением движение системы является неустойчивым. [c.238]

Таким образом, для устойчивости движения системы, имеющей кубическое характеристическое уравнение, необходимо, чтобы все коэффициенты Л были положительными и чтобы выполнялось неравенство [c.239]

Используя рассмотренные примеры характеристических уравнений третьей и четвертой степеней, покажем, что при помощи схемы Рауса можно определить условия, которым должны удовлетворять коэффициенты этих уравнений в случае устойчивости движения системы. [c.241]

В случае характеристических уравнений любой степени п вида (25.7), содержащих вещественные коэффициенты, необходимые и достаточные условия отрицательности вещественных частей всех корней этого уравнения определяются критерием Гурвица. Условия устойчивости движения системы по Раусу и по Гурвицу полностью совпадают. [c.243]

Решение. Так как все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то для устойчивости извилистого движения паровоза, имеющего характеристическое уравнение четвертой степени, должно выполняться следующее условие [c.244]

Каким соотношениям удовлетворяют коэффициенты характеристических уравнений третьей и четвертой степеней в случае устойчивого движения системы [c.245]

Согласно критерию Гурвица, уравнения дви кения первого и второго порядка устойчивы, если все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля. При п=3 дополнительно должно удовлетворяться неравенство [c.87]

Для того чтобы система была устойчивой, кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения дополнитель- [c.100]

Критерий Рауса формулируется следующим образом для того чтобы движение было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели одинаковый знак. Обычно характеристическое уравнение приводят к виду, когда во > 0. Тогда для устойчивости движения все остальные коэффициенты первого столбца также должны быть положительными, т. е. [c.184]

Если один из коэффициентов первого столбца равен нулю, а остальные — положительные, то характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней (граница устойчивости). [c.184]

Если уравнения (11.34) и (11.35) считать уравнениями возмущенного движения, то по знакам коэффициентов их характеристических уравнений можно судить об устойчивости движения. При возрастающей характеристике все коэффициенты характеристического уравнения положительны. Как было показано в 37, этого признака достаточно для установления асимптотической устойчивости систем, движение которых описывается уравнениями не выше второго порядка. При падающей характеристике возможно получение неустойчивых режимов, так как в характеристическом уравнении имеется отрицательный коэффициент. Такое же заключение можно сделать, исследуя реше ния уравнений (11.34) и (11.35). [c.227]

Устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Пусть в системе (3) матрица Н является непрерывной 2тг-периодической по вещественной симметрической матрицей. Задача об устойчивости линейных гамильтоновых систем обладает рядом специфических особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, рассмотренных в предыдущем пункте. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. [c.547]

Эллипсоид Якоби, для которого характеристический коэффициент устойчивости третьего порядка обращается в нуль, был определён Дарвипым , который пашёл [c.175]

Как уже упоминалось выще, оценку качества равновесия удобно получать на основании качественных критериев, хорошо разработанных в трудах Р. Р. Матево-сяна [39], Я. Л. Нудельмана [46], А. Ф. Смирнова [72] и других исследователей. В настоящей работе будем основываться на понятиях о степени устойчивости и неустойчивости, причем совокупность последовательных коэффициентов устойчивости по предложению Р. Р. Мате-восяна будем называть рядом устойчивости [39]. Следуя [39], ряд устойчивости используется в неортогональной форме, т. е. для определения степени устойчивости и неустойчивости системы не будем решать характеристическое уравнение и вычислять собственные значения матриц, хотя для некоторых рассуждений будут использованы известные свойства собственных чисел. Мы будем рассматривать качественный анализ систем, описываемых уравнениями смешанного метода. При этом будем предполагать, что система уравнений смешанного метода записана таким образом, что сперва расположены все условия совместности деформаций, а затем все условия равновесия (см. рис. 54). [c.148]

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче задано характеристическое уравнение (16) требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) ГурБица ). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-цевыми. [c.220]

Необходимое условие устойчивости. Для того чтобы характеристический полином (24) был гурвицевым, т. е. имел все корни, расположенные слева от мнимой оси, необходимо но не достаточно]), чтобы все коэффициенты Лд (Л = 0, т) [c.221]

Согласно теоремам, изложенным в 1, для решения вопрюса об устойчивости по первому приближению необходамо исследовать знаки вещественных частей корней характеристического уравнения (2.11). Без ограничения общности можно считать, что коэффициент До > О- [c.99]

На основании этих критериев регулируемая система оказывается устойчивой, если все вещественные корни и все вещественные части комплексных корней характеристического уравнения, получаемого из заданного дифференциального уравнения, являются отрицательными. Исследование знаков корней характеристического уравнения производится по определителям, составленным из коэффициентов характеристическосо уравнения. Если в характеристическом уравнении [c.342]

Предварительно заметим, что уравнение движения первого и второго порядка устойчивы, если все коэффициенты характерИ стического уравнения больше нуля. Для уравнений более высо-квго порядка положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Если все коэффициенты уравнения по-ложительные, то все его вещественные корни отрицательные, но среди комплексных корней могут быть и корни с положительной вещественной частью. [c.183]

Движеяие соответствует границе устойчивости, если = 0. Для п = 2 условием устойчиввсти является лишь положительность коэффициентов характеристического уравнения. Для [c.184]

Для того чтобы система была устойчивой, должны удовлетворяться условия (9.82) qq >0, ai > О, 2 >0, Оз > О, а,а2 > > аойз. Первые четыре неравенства удовлетворяются, так как все коэффициенты характеристического уравнения положительны. Пятое неравенство дает условие [c.314]

Как мы уже отмечали в гл. VI (пп. 21, 23), то обстоятельство, что все характеристические показатели чисто мнимые, недостаточно для обеспечения устойчивости в строгом смысле однако оно будет достаточно для линейной устойчивости, по крайней мере вообще. Эта оговорка учитывает ту возможность, что характеристическое уравнение допускает кратные корни, наличие которых, как и в элементарном случае движений, определяемых одним линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (т. I, гл. И, п. 43, в), может поставить под сомнение устойчивость. Это наличие кратных корней не подвергает сомнению устойчивость в случае голономных систем, как это косвенно следует из теоремы Дирихле для более общих систем, таких, например, как система (16 ), требуется, наоборот, дополнительное исследование. [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...