Оболочки Эффект краевой — Уравнения

В случае весьма малой толщины, т. е. для оболочек с исчезающе малой жесткостью на изгиб (мягких оболочек) исследовать краевой эффект можно только при учете слагаемого, содержащего вторую производную от ш. Здесь в уравнении (1) (см. условие задачи) возможен предельный переход. Умножая все члены уравнения на О и полагая его равным нулю, получим [c.384]

Для исследования устойчивости такой осесимметричной изгиб-ной формы равновесия цилиндрической оболочки можно воспользоваться системой уравнений (6.73), но величины = Wq х) и Т°у Т1 (х) следует определить из решения уравнения нелинейного краевого эффекта. [c.265]

Для H. Д. . краевого эффекта решения соответствующих уравнений теории оболочек дают следующие зависимости 63] [c.25]

Уравнения (5.1) - (5.3) справедливы лишь при условиях малости производных ЭЛ /да и ЭЛ/ Э]3 в местах резкого изменения толщины оболочки (например, на границе оболочки) возникает краевой эффект, для изучения которого обычное приближение теории оболочек не годится и нужно так или иначе привлекать трехмерные уравнения теории упругости. Условие малости указанных производных, очевидно, эквивалентно уравнению (5.4), т.е. существованию некоторого малого числа. [c.260]

На основании заданных первых двух силовых или кинематических факторов (по два на каждом краю оболочки) составляется система четырех уравнений, из которой определяются постоянные интегрирования С (га=1, 2, 3, 4), входящие в частные решения краевого эффекта. [c.131]

Дифференциальные уравнения (15) в литературе называют уравнениями пологих оболочек, уравнениями теории краевого эффекта, а также уравнениями для состояний с большим показателем изменяемости. [c.423]

При этом решения первого уравнения отражают статический изгиб сферического сегмента краевыми усилиями и момента.ми, решения второго уравнения затухают с удалением от края оболочки и характеризуют динамический краевой эффект, решения третьего уравнения совпадают с формами свободных колебаний всюду за исключением области, прилегающей к краю. [c.446]

В столбце I приведены результаты определения параметра внешнего давления u) , когда докритическое состояние определялось из уравнения нелинейного краевого эффекта, а решение уравнений устойчивости проводилось с учетом докритического искривления образующей оболочки. В столбце II — значения параметра внешнего давления < при нелинейном докритическом состоянии, но бе< учета докритического искривления образующей оболочки. В столбце III — значения при линейном докритическом состоянии, но с учетом докритического искривления образующей оболочки. [c.274]

Книга представляет собой элементарное систематическое изложение теории оболочек. После вывода основных уравнений общей линейной теории уделено внимание различным упрощенным ее вариантам теории пологих оболочек и безмоментной теории (и краевому эффекту). Обсуждаются частные случаи общей теории — теория оболочек вращения, в том числе цилиндрических оболочек. [c.2]

Два полученных совместных уравнения (6. 10) и (6. 12) полностью решают задачу расчета оболочки вращения, нагруженной краевыми усилиями Со и М . Однако в практических расчетах в своей полной форме эти уравнения применяются очень редко в виду сложности их решения. Чаще всего приходится пользоваться приближенными уравнениями краевого эффекта. Эти приближенные уравнения получаются из уравнений (6.10) и (6. 12), если отбросить в их левых частях подчеркнутые члены. [c.123]

Из этой таблицы видно, что функции, через которые выражаются компоненты напряженного и деформированного состояния оболочки в краевых задачах, носят быстро затухающий характер. Это свойство, как было сказано выше, и лежит в основе упрощения исходных уравнений (.6 10) и (6.12). Быстро затухающие функции краевого эффекта обладают тем свойством, что их низшие производные малы по сравнению с высшими производными, а сама функция меньше, чем ее первая производная. [c.127]

Краевой эффект в цилиндрической оболочке. Рассмотрим длинную цилиндрическую оболочку (рис. 10.16, а), нагруженную на торце распределенными силами Qo и моментами jWq. В данной задаче Л 11 = 0, 1 = 2=173 = 0. Частное решение уравнения (10.77) йу = = 0. Поэтому общее решение задачи (10.79) имеет вид [c.234]

Рассчитать оболочку в форме шарового сегмента, нагруженную по шарнирно закрепленному краю ai = 80° равномерно распределенным моментом М Т-м1м), при отношении a /i=100 и v=0,25 (рис. 104). Для расчета использовать уравнения краевого эффекта. [c.282]

ДЛЯ удовлетворения граничным условиям необходимо к частному решению w = добавлять решение однородного уравнения, которое затухает на длине порядка X. Таким образом, общая картина поведения круговой цилиндрической оболочки под действием осесимметричной нагрузки рисуется следующим образом. На большей части длины оболочки в ней реализуется безмоментное напряженное состояние. Изгиб проявляется лишь вблизи концов и в местах резкого изменения нагрузки он носит характер краевого эффекта, т. е. область, где напряжения изгиба существенны, простирается лишь на некоторую определенную длину порядка Я. [c.423]

На примере цилиндрической оболочки мы убедились в том, что при плавно меняющейся нагрузке в большей части оболочки можно пренебречь изгибом и напряжениями от изгибающих моментов но сравнению с равномерно распределенными по толщине напряжениями от усилий Гар. Моментное напряженное состояние реализуется только в зоне краевого эффекта, протяженность кото-рой оценивается характерным линейным размером к = УНк. Для оболочки положительной гауссовой кривизны этот результат носит совершенно общий характер, схема расчета таких оболочек строится следующим образом. Сначала находится усилие в оболочке, которую представляют как тонкую, нерастяжимую мембрану, совершенно не сопротивляющуюся изгибу. Эта задача решается с помощью одних только уравнений статики и, собственно говоря, не относится к теории упругости. Соответствующая теория называется безмоментной теорией оболочек. Решение, найденное по безмоментной теории, как правило, не позволяет удовлетворить всем граничным условиям, поэтому вблизи границы рассматривается краевой эффект, связанный с изгибом. Ввиду малости области краевого эффекта, уравнения теории оболочек для этой области принимают относительно простую форму. Для вывода уравнений безмоментной теории нам понадобятся некоторые сведения из теории поверхностей, которые предполагаются известными и сообщаются для справки. [c.423]

Уравнения краевого эффекта в теории оболочек [c.427]

Если характерный размер области краевого эффекта есть Я = соответствующий небольшой кусок оболочки можно рассматривать как плоскую предварительно изогнутую пластину. Это значит, что метрика срединной поверхности оболочки приближенно отождествляется с метрикой плоскости, касательной к срединной поверхности в ее недеформированном состоянии. Линии кривизны поверхности спроектируются на эту плоскость приблизительно как ортогональные прямые, которые можно принять за координатные линии. В окрестности точки касания М в декартовых координатах z, выбранных так, что оси Ха лежат в касательной плоскости, а ось z нормальна к ней, уравнение поверхности можно записать следующим образом [c.427]

Интегрирование этой системы уравнений представляет значительные трудности. Как показывают расчеты, результаты точного интегрирования всегда аналогичны результатам расчета краевого эффекта в цилиндрической оболочке у края возникает напряженное состояние, имеющее форму быстро затухающего колебания вдоль меридиана. [c.243]

На этом свойстве краевого эффекта строится приближенная теория его расчета. При дифференцировании функций, изображающих затухающие колебания с большим коэффициентом затухания, значение производной всегда больше значения самой функции на величину коэффициента затухания. Поэтому при выводе основных уравнений краевого эффекта возможно везде, где суммируются усилия, деформации и перемещения оболочки с их производными, принимать во внимание лишь производные [c.243]

Введя обозначение радиуса у нижнего края оболочки через / 2к и выбирая начало отсчета дуги меридиана у этого же края, получаем решение уравнения (м) для описания краевого эффекта у нижнего края в таком виде [c.247]

Напомним, что выше начальный прогиб Wq — (х) и начальное окружное усилие Ту = Ту (х) определены с использованием решения уравнения обычного линейного краевого эффекта. Такой краевой эффект не оказывает заметного влияния на критическую нагрузку, так как зона начального моментного состояния локализована вблизи закрепленных торцов, а амплитуда начального прогиба при нагрузках порядка критических невелика. Однако для сжатой в осевом направлении цилиндрической оболочки имеется одно обстоятельство, существенно увеличивающее влияние начального моментного напряженного состояния оболочки на критические нагрузки. Осевые усилия в цилиндрической оболочке могут заметно влиять на докритические прогибы Wq, если абсолютные значения осевых усилий имеют порядок q p. Для выявления этого влияния при определении начального прогиба вместо линейного уравнения осесимметричного изгиба оболочки (6.65) следует использовать так называемое уравнение нелинейного осесимметричного краевого эффекта [c.264]

При малых (по сравнению с единицей) значениях параметра со решение уравнения нелинейного краевого эффекта мало отличается от решения обычного линейного уравнения осесимметричного изгиба цилиндрической оболочки. Но при приближении значения параметра со к единице понятие краевого эффекта теряет силу, так как возмущения, возникающие у торцов оболочки, распространяются на расстояние, значительно превышающее зону обычного линейного краевого эффекта. При о) 1 эти возмущения охватывают всю длину оболочки, а их амплитуды неограниченно возрастают. [c.265]

Такие быстро затухающие решения уравнений теории оболочек можно (если они для данного контура существуют) легко найти (см. 36), и они по форме практически не отличаются от решений краевого эффекта для осесимметричных оболочек вращения. Сочетание основного напряженного состояния и краевого эффекта часто позволяет получить сравнительно простые и достаточно точные результаты при решении практически важных задач. [c.259]

Решения, полученные на основе безмоментной теории, если они оказываются медленно изменяющимися и удовлетворяют граничным условиям на контуре оболочки, мало отличаются от точных. Если эти решения не удовлетворяют граничным условиям, наложенным на нормальные перемещения, углы поворота или соответствующие усилия, то часто можно получить достаточно точный результат, учитывая дополнительно краевой эффект. Кроме того, как и в симметрично нагруженных оболочках вращения (гл. 3), медленно изменяющиеся решения безмоментной теории мол<но рассматривать как приближенные частные решения уравнений общей теории. [c.289]

Известно, что напряженное осесимметричное состояние тороидальной оболочки описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка. Если свести систему уравнений к одному дифференциальному уравнению и представить, как обычно, решение в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения, соответствующего заданной правой части, то решение однородного уравнения будет определять напряженное состояние краевого эффекта, частное же решение с достаточной точностью опишет безмоментное напряженное состояние. [c.124]

Интегрирование этой системы уравнений представляет значительные трудности. Точное решение задачи показывает, что у края возникает напряженное состояние, имеющее форму быстро затухающего колебания при удалении от этого края. Это позволяет построить приближенную теорию расчета краевого эффекта. Анализ функций, характеризующих затухание колебания с большим коэффициентом затухания, показывает, что значение производной такой функции всегда больше значения самой функции на величину коэффициента затухания. Поэтому при суммировании усилий, деформаций и перемещений в оболочке с их производными можно принимать во внимание лишь производные высшего порядка. [c.206]

Дальнейший ход решения задачи заключается в следующем. Производится расчет оболочки по безмоментной теории из уравнений (10.3) определяются усилия N° и М°- Общее решение задачи получается суммированием усилий краевого эффекта и усилий, полученных по безмоментной теории. Затем из граничных условий определяются произвольные постоянные общего решения. [c.209]

Для исследования краевого эффекта в цилиндрической оболочке воспользуемся уравнением (10.16). Соответствующее ему однородное уравнение [c.209]

Последовательность решения задач с использованием теории краевого эффекта состоит в следующем. Вначале находят силы и перемещения в оболочке по безмоментной теории. Сила Т и перемещение и определяются только этими зависимостями. Нормальное перемещение и окружная сила составляются из двух слагаемых. Из уравнения (9.6.11) определяют Wg. Изгибающий момент и перерезывающую силу находят по зависимостям (9.6.12). Все моментные части сил и перемещений выражаются через константы С и С- . Их определяют из граничных условий или условий сопряжения. Если оболочка имеет несколько участков, для каждого сопрягаемого края записывается решение вида (9.6.11) со своими коэффициентами к. Из условия равенства нормальных перемещений, углов поворота нормали, изгибающих моментов и перерезывающих сил находят все искомые значения констант. [c.154]

Рассмотрим однородные уравнения, когда рв = Рп 0. Момент-ное напряженное состояние при осесимметричной деформации теряет смысл, так как из решения уравнений ej = 85 = О получаются перемещения и к W, соответствуюш,ие лишь движению оболочки как твердого тела вдоль оси симметрии. Для приближенного определения смешанного напряженного состояния, которое соответствует краевому эффекту, рассмотрим упрощения исходных уравнений, следующие из условия быстрой изменяемости напряженного состояния вдоль меридиана. Будем считать,, что для всех искомых сил и перемещений выполняется условие [c.147]

Расчет обаточек с использованием общей моментной теории связан с решением краевых задач и интегрированием сложной системы уравнений в частных производных. Широко известны численные способы решения этих уравнений. Приближенные теории построены на дополнительных упрощениях безмомент-ная теория оболочек теория краевого эффекта полубезмоментная теория цилиндрических оболочек теория пологих оболочек. [c.151]

Приближенное решение моментной теории оболочек вращения предполагает расчленение напряжерно-деформированного состояния на безмоментное и краевой эффект. Краевому эффекту соответствует аналитическое решение моментной теории, справедливое в сравнительно узкой зоне оболочки. Оно строится на основе упрощения уравнений моментной теории в предположении, что угол oiq между осью вращения и краем оболочки близок л/2, длина краевой зоны невелика и в ее пределах радиусы кривизны Ri н R2 толщина оболочки не меняются, производные от функции перемещений w углов поворота 0j, сил Т2, 01, моментов Mi значительно больше [c.153]

Напомним (см., налример, [15]), что в линейной теории при рассмотрении тонкой оболочки как трехмерного упругого тела напряженное состояние складывается из внутреннего напряженного состояния и пограничного слоя. Последний локализуется в окрестности края оболочки на расстоянии порядка ее толщины Л и не описывается двухмерными уравнениями. Показатель изменяемости пограничного слоя t = 1. Внутреннее состояние с погрешностью, неограниченно убывающей вместе с толпщной оболочки, может быть описано двухмерными уравнениями теории оболочек. Во многих случаях (в частности, для рассматриваемой задачи о растяжении полусферы внутренним давлением) внутреннее состояние складывается из безмоментного состояния с изменяемостью = О и простого краевого эффекта с изменяемостью t = 1/2, локализующегося в окрестности края s = S2 оболочки и приближенно описываемого уравнением [c.366]

Рассматриваем сферический сегмент, подкрепленный шпангоутом, к которому приложена произвольная нагрузка. Общее решение для сферической оболочки, нагруженной краевой нагрузкой, может быть получено путем наложения двух решений безмоментного решения и краевого эффекта. Основные соотношенйя для оболочки и кругового кольца и условия их сопряжения рассмотрены в гл. 1, разд. 1.3. Уравнение в векторной форме, связывающее перемещения оси шпангоута и усилия, действующие на шпангоут с учетом реактивных усилий со стороны оболочки, имеет вид [c.202]

Существование краевого эффекта в симметрично загрулонных оболочках вращения позволяет заменить точные уравнения (7.73) приближенными уравнениями Геккелера [89]. Полагая, что с увеличением расстояния от края оболочки (a = ai или а = аг, рис. 98) V [c.249]

В литературе принято называть эти уравнения уравнениями теории пологих оболочек. Соответствующие решения оказываются затухающими на расстоянии по дуге порядка X = 1/Rh. Многие авторы рекомендуют применять их и для оболочек, размер которых в плане существенно больше, чем Я. Так, Власов рекомендовал эти уравнения для оболочек, у которых стрела подъема не превышает 1/5 пролета, никак не оговаривая при этом относительную толщину. Многочисленные расчеты с помощью приближенных уравнений (12.16.4) и уравнений точной теории, которые мы здесь не приводим, показали, что для оболочек, применяемых обычно в строительной практике, разница сравнительно невелика и рекомендация Власова может считаться практически обоснованной, хотя строгий анализ подтверждает пригодность уравнений (12.16.4) лишь для оболочек, размер которых в плане имеет порядок X, или для исследования краевых эффектов в оболочках положительной гауссовой кривизны. Последняя оговорка существенна. В оболочках отрицательной кривизны состояния изгиба могут простираться сколь угодно далеко вдоль асимптотических линий. В оболочках нулевой кривизны, например цилиндрических, изложенная в 12.13 теория применима далеко не всегда. Действительно, приближенная теория изгиба и кручения тонкостенных стержней открытого профиля, изложенная в 9.15, по существу представляла собою некоторый упрощенный вариант теории оболочек. Краевой эффект от бимоментной [c.428]

Полученное уравнение (9.29) является приближенным уравнением краевого эффекта для круговой цилиндрической оболочки, находящейся под действием произвольной нагрузки. Однако в случае осесимметричного нагрун ения круговой цилиндрической оболочки это уравнение является точным, так как при этом действительно все функции изменяются только в направлении оси х. [c.246]

Интегрирование уравнения (3.128) можно проводить уже после интегрирования основной системы, так как эта система является вамкнутой, и практически всегда. имеется достаточное количество граничных условий для ее интегрирования (исключением, являются только статически неопределимые оболочки, т. е. оболочки, в которых осевая сила F (s) не может быть определена из уравнения равновесия). Лишь в исключительных случаях (короткие и пологие оболочки) система уравнений (3.124)—(3.127) может быть проинтегрирована-методом начальных параметров. Чаще же, в связи с наличием краевых эффектов, метод начальных параметров оказывается неприменимым, и следует использовать либо метод ортогонализации С. К. Годунова, либо метод-факторизации (см. гл. И.) [c.193]

Эти значения L (xi) и г х- являются теперь начальными для интегрирования прогоночных уравнений (11.75), (11.76) при д ЛГ1. Может показаться, что метод факторизации, в котором интегрирование методом начальных параметров исходной линейной системы дифференциальных уравнений (11.59) заменяется двукратным интегрированием нелинейных уравнений (11.75) и (11.76), не имеет существенных преимуществ. Однако это не так. Именно в тех случаях, когда вследствие краевых эффектов метод начальных параметров неприменим, метод факторизации приводит к хорошим результатам, так как элементы матрицы L и вектора г меняются медленно и могут быть легко определены численным интегрированием уравнений (11.75) и (11.76). Это видно, например, из графиков, представленных на рис. 11.3, которые показывают характер изменения по длине цилиндрической оболочки постоянной толщины (радиус R, толщина К) одного из решений однородного уравнения осесимметричной деформации г/ц х) = sh рл X X sin рх и элемента матрицы податливости, соответствующего перемещению, вызываемому единичной поперечной силой [c.476]

Уравнения краевого эффекта. Для изучения напряженно-деформированного состояния у края оболочки (например, х = onst), быстро убывающего при удалении во внутреннюю область, можно использовать уравнения, которые получаются из (141), если пренебречь зависимостью от координаты Х2- Уравнения движения будут в данном случае следующими [c.164]

Построение решений типа краевого эффекта. Пусть оболочка является пологой и занимает прямоугольную (в обобщенном смысле) область, ограниченную линиями Xi = onst и 2 = onst. Исходными являются уравнения (43). Порождающее решение, справедливое во внутренней области, будет следующим [10] [c.229]

Замеяание. Если исследуется краевой эффект вблизи неаснмптотического края у оболочки нулевой гауссовой кривизны (Xi = 0) (под гауссовой кривизной понимают произведение главных кривизн XjXj), то уравнение (50) непригодно, так как х- оо. В этом случае вместо (51) вводят обозначения [c.230]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...