Нелинейные колебания — Исследования — Методы

В связи с широким использованием в синергетике теории нелинейных колебаний уместно напомнить слова Л.И. Мандельштама "В сложной области нелинейных колебаний еще в большей мере, чем это уже имеет место сейчас, выкристаллизуются свои специфические, общие понятия, положения и методы, которые войдут в обиход физика, сделаются привычными и наглядными, позволят ему разобраться в сложной совокупности явлений и дадут мощное эвристическое оружие для новых исследований" [15]. [c.254]

В следующем параграфе приведем данные о математическом обосновании приближенных методов исследования нелинейных колебаний. [c.291]

Метод усреднения принадлежит к асимптотическим методам исследований в теории нелинейных колебаний. Как уже было упомянуто, теперь эта теория достигла значительного совершенства. Изложенные выше приемы решения задач следует рассматривать как историческое введение к существующим методам, включающим стандартные формы уравнений колебательного движения слабо нелинейных систем, т. е. систем с малыми значениями е, рассмотренными выше, В настоящее время существует обширная литература, относящаяся к этой области механики. Отсылаем читателей к этим работам ). [c.294]

С целью применения методов теории колебаний в исследованиях движения ротора обычно его вращательное движение заменяют двумя колебательными движениями, происходящими в двух взаимно перпендикулярных плоскостях с постоянным сдвигом фаз. Исследуют отдельно каждую компоненту и далее для получения общей физической картины производят суммирование обеих составляющих. Этот метод удобен и точен для линейных систем. Однако этого нельзя сказать о нелинейных системах. [c.74]

В 1 были изложены основные условия использования асимптотических методов в теории нелинейных колебаний и приведены уравнения в стандартной форме (5.5) для системы с одной степенью свободы. В гл. IV были выведены уравнения в стандартной форме в предположении, что система испытывает одночастотные колебания и что ее выход является узкополосным процессом с медленно изменяющейся амплитудой и фазой. Воспользуемся этим методом для исследования параметрических систем. [c.204]

Проведем исследование системы (3.37) методами теории нелинейных колебаний. Особые точки определяются алгебраическими уравнениями [c.101]

В качестве методов выявления указанных выше типов решений системы (28) и исследования их устойчивости во многих случаях могут быть использованы классические асимптотические методы теории нелинейных колебаний. Например, в случае малой объемной концентрации мелкодисперсных фаз движение несущей среды может быть найдено независимо от движения частиц и пузырьков. Динамическое поведение последних удобно исследовать в переменных Лагранжа, после введения которых уравнения движения представляются в виде [4, 5] [c.110]

О частотных методах исследования устойчивости. Как вытекает из изложенного в п. 3 гл. I, а также в т. I и в предыдущих пунктах настоящей главы, исследование устойчивости нелинейных колебаний во многих случаях сводится к изучению характера решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Так обстоит дело, в частности, при рассмотрении вопроса об устойчивости стационарных движений автономных систем. [c.103]

В большинстве прикладных исследований для замыкания уравнений используют приемы, аналогичные известным методам детерминистической теории нелинейных колебаний, как, например, при использовании метода малого параметра [10], когда решение задачи иш,ут в виде ряда по степеням малого параметра [c.79]

Для исследования стационарных нелинейных колебаний, описываемых уравнениями (5.93), воспользуемся спектральным методом. Введем интегральные представления для случайных процессов V, Ui, 2- [c.221]

Исследования, проведенные в последние десятилетия в теории потенциала, теории нелинейных колебаний, теории волновых процессов, теории систем с обратными связями, кибернетике, бионике и различных областях применения электронных счетных машин, неоспоримо выявляют более глубокое значение общих закономерностей механического движения для современного технического прогресса. Стоит указать, что вариационные принципы механики и методология отыскания универсальных динамических характеристик (мер) сложных процессов являются в наши дни исходными методологическими положениями в ряде важнейших разделов современной теоретической физики и их познавательное (эвристическое) значение уже переросло формальные границы простейшей формы движения. Мы с удовлетворением наблюдаем, как надлежащая оценка механических форм движения в физиологических процессах живого организма приводит к нетривиальным открытиям недоступным догматическим глашатаям невероятной сложности (а по существу — непознаваемости) специфики живого . Глубоко был прав гениальный М. В. Ломоносов, который советовал при изучении явлений природы широко использовать арсенал методов и средств, добытых всей наукой. Он писал, например, что химик обязан выспрашивать у осторожной и догадливой геометрии, советоваться с точною и замысловатою механикою, выведывать через проницательную оптику . [c.14]

Существенный вклад в теорию нелинейных колебаний был сделан Б. В. Булгаковым, который сумел придать методу малого параметра форму, удобную для приближенных исследований нелинейных автоматических систем. Результаты приближенных исследований в ряде случаев были подтверждены Б. В. Булгаковым точным математическим методом. [c.17]

Для получения укороченных нелинейных дифференциальных уравнений вынужденных колебаний, следуя методу усреднения, сначала рассмотрим линеаризованную упрощенную систему, заменим переменные и перейдем от рассмотрения исследуемого процесса колебаний к исследованию колебаний около положения равновесия. После этого произведем усреднение нелинейности системы, заменяя реальный колебательный цикл окружностью. [c.214]

Излагаемый метод исследования вынужденных колебаний нелинейных автоматических систем отличается от метода гармонического баланса в принципе только тем, что вместо обычной применяется уточненная линеаризация. Этот метод является графоаналитическим и базируется на геометрической интерпретации, предложенной Р. В. Беляковым в работе [3]. [c.217]

В данном очерке рассмотрены лишь некоторые направления многообразных исследований советских ученых по развитию и приложению метода функций Ляпунова в теории устойчивости движения. Вместе с тем следует подчеркнуть, что этот метод нашел разнообразные и широкие приложения и в других областях науки — в бурно развивающейся в последние годы теории оптимального управления и стабилизации, в теории нелинейных колебаний, в общей качественной теории дифференциальных уравнений и т. п. Некоторые из приложений метода освещаются в последующих очерках настоящего тома, в особенности в очерке Н. Н. Красовского (стр. 179—243). Метод функций Ляпунова оказался весьма эффективным во многих разделах науки, и нет сомнения, что и в дальнейшем он будет развиваться и находить все новые области приложений, являясь мощным средством количественного и качественного исследования. [c.66]

Метод осреднения первоначально возник в небесной механике и дальнейшее его развитие в известной мере связано с решением задач небесной механики, а в последние годы — с исследованиями, относящимися к изучению движения искусственных небесных тел ). Поэтому естественно, что вопросы такого рода в обзоре отчасти затрагиваются, однако и в этой области мы не стремились к исчерпывающему изложению предмета, так как эти проблемы выходят по существу за рамки теории нелинейных колебаний и образуют самостоятельный обширный раздел современной науки. [c.115]

Годовой спецкурс Теория колебаний является ключевым в подготовке студентов по данному направлению. Его содержание в значительной мере отражает научное направление Горьковской школы теории нелинейных колебаний. Основное внимание уделено методам теории колебаний. Их изложение всегда со про во ждается соответствующими примерами из механики, биофизики. В начале курса рлссказьшается о качественных методах исследова щ нелинейные систем (в осиорлюм, это — системы на фазовой плоскости). Затем излагаются количественные методы расчета периодических колебаний в автономных системах (методы точечных отображений, Пуанкаре, Ван-дер-Поля, гармонической линеаризации, а также метод исследования разрывных колебаний). Заключительный раздел курса посвящен колебаниям в линейных и нелинейных системах, подверженных периодическим внегдним воздействиям. [c.11]

Под сильно нелинейной с11стемой обычно понимают либо динамическую систему, не допускающую линеаризации в малом, либо систему, в которой проявляются нелинейные эффекты, не обнаруживаемые квазилинейной теорией. К таким системам относятся релейные системы автоматического регулирования, динамические системы с ударным взаимодействием, системы с люфтом и сухим трением и др. Одним из эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (4.1) с кусочно-гладкими правыми частями, является метод точечных отображений. Этот метод, зарождение которого связано с именем А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, А. А. Андронов сущест-Еенно расширил возможности метода припасовывания и сформулировал принципы, которые легли в основу метода точечных отображений и позволили эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных систем автоматического регулирования и радиотехники. С помощью метода точечных отображений оказалось возможным полностью решить ряд основных задач теории автоматическою регулирования и, в первую очередь, классическую задачу И. А. Вышнеградского о регуляторе прямого действия с сухим трением в чувствительном элементе [1, 2J. Была рас- [c.68]

В данной главе, имеющей целью показать характерные особенности квазилинейных систем, рассматривается лишь один метод — метод медленно меняющихся коэффициентов, связанный с проблемой осреднения. Начало применения этого метода к задачам теории нелинейных колебаний принадлежит Ван-дер-Полю [15] дальнейшее его развитие и обоснование связано с именами Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского, Л. И. Мандельштамма, И. Д. Папалекси, А. А. Андронова, Б. В. Булгакова и их учеников и последователей. Указанный метод нами используется еще и потому, что позволяет в наибольшей степени использовать идеи А. А. Андронова по качественному исследованию дифференциальных уравнений. [c.119]

Дж. В. Стрэтт (лорд Рэлей, 1842—1919) в своем труде Теория звука впервые изложил расчеты ряда колебательных процессов с последовательным учетом нелинейных свойств колебательных систем. В современной теории колебаний используются также математические методы, развитые А. Пуанкаре (1854—1912) в его работах по небесной механике нашли применение и исследования А. М. Ляпунова (1857—1918) по устойчивости движений и методы расчета колебательных движений, развитые А. Н. Крыловым (1863—1945). Очень большое значение для формирования теории колебаний имели основополагаюш,ие работы Ван дер Поля (1889—1959) по колебаниям в некоторых нелинейных системах и общие исследования колебательных процессов в нелинейных системах, проведенные А. А. Андроновым (1901 —1952), развившим учение о самоподдерживающихся колебательных процессах, названных им автоколебаниями. Этот термин в настоящее время является общепринятым. [c.10]

Большое значение при создании мощных поршневых и турбомашин имели исследования по колебаниям соответствующих упругих систем. Двигателестроительные заводы были пионерами разработки расчетов коленчатых валов и валопроводов на крутильные колебания. Наряду с применением способа конечных разностей был разработан метод цепных дробей, получивший развитие в научно-исследовательских институтах для расчета вынужденных и нелинейных колебаний, а также проектирования демпферов. Для крутильных, изгибных и связных колебаний успешно разрабатываются методы электромоделирования, позволившие заранее вычислять колебательную напряженность элементов конструкций при сложной структуре как самих упругих схем (например, свойственных вертолетным трансмиссиям), так и сил возбуждения, (например, характерных для многоцилиндровых поршневых машин). [c.38]

Асимптотические и другие методы исследований нелинейных колебаний (например, метод Ван-Дер-Поля) предполагают, что выход системы является квазигармоническим или, по терминологии случайных процессов, узкополосным процессом с медленно изменяющейся во времени амплитудой и фазой. Это объясняется тем, что почти все реальные механические, электрические системы и большинство систем автоматического регулирования обладают высокими фильтрующими свойствами. Предположение о квазигармоничности процесса на выходе для систем с малым затуханием хорошо подтверждается экспериментально и является вполне обоснованным. [c.177]

Совр. Р. имеет сложную и разветвлённую структуру, обеспечивающую 1) техв. освоение всего охватываемого ею спектра эл.-магн. колебаний 2) исследование физ. свойств линейных и нелинейных систем (сред) и создание их адекватных моделей 3) обогащение новыми физ. идеями радиотехники, технологии и др. инженерных областей 4) развитие методов метрологии в части измерения важнейших физ. параметров, констант и создание надёжных эталонных стандартов 5) исследование свойств окружающего пространства 6) изучение эл.-магн. проявлений биол. объектов. [c.236]

Теория колебаний и волн содержит матем. аппарат для исследования процессов в колебат. системах (линейных и нелинейных, с сосредоточенными н распределёнными параметрами, постоянными или периодически изменяющимися во времени, см. Колебания). Особую роль играют исследования нелинейных колебаний (в частности, автоколебаний), лежащих в основе работы большинства генераторов электромагнитных колебаний радиодиапаэояа. Впоследствии в этот раздел вошли теоретич. и экспсрим. задачи, в к-рых колебат, движения являются частными (хотя и по-прежнему выделенными) случаями общих процессов. Сформировалось особое направление исследования динамич. поведения нелинейных систем, отвлечённое от их конкретной реализации с привлечением методов качественной теории дифференц. ур-ний, физического (аналогового) и численного моделирования. В Р. активно используется это новое направление, к-рое чаще наз. нелинейной динамикой (см. Динамическая система. Нелинейные уравнения математической физики). [c.236]

Представленный нелинейш,ш гидродинамический процесс является многопараметрическим, и его численному моделированию должен предшествовать подробный качественный анализ, который и составляет предмет данного исследования. Это тем более оправдано, что практика численных расчетов разрывных течений доставляет, как известно, осциллирующие решения, которые нуждаются в однозначной физической интерпретации. А именно требуется обнаружить существенные черты исходной задачи, являющиеся причинами нелинейных колебаний в гидродинамической системе. Для исследования краевой задачи (3.6)-(3.14) применяем подход, связанный с приближенным описанием течения с помощью конечномерных динамических систем. Воспользуемся методом Бубнова-Галеркина [112], который приводит исходную задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для существенных степеней свободы. Это дает возможность изучрггь бифуркационные ситуации и установить пороги возникновения автоколебаний. [c.88]

Том второй посвящен нелинейным колебаниям механических систем. В нем приведены сведения о нелинейных колебаниях систем и рассмотрены их основные модели (консервативные, диссипативные, автоколебательные системы, системы с заданным внешним воздействием). Изложены. математические. методы изучения нелинейных колебаний, в то.м числе важнейшие методы исследования устойчивости. В отличие от известных руководств по нелинейным колебаниям то.м содержит раздел, в котором рассмотрены задачи о взаимодействии нелинейных колебательных систем с источниками возбуждения, проблемы синхронизации колебательных и вращ,атель-ных движений, виброперемещение и виброреология, теория виброударных и электромеханических систем, колебания сосудов с жидкостью, колебания твердого тела на нелинейно-упругих опорах. [c.12]

При исследовании нелине 1ных колебаний в системах с одной степенью свободы графоаналитические методы применяют как для общих качественных исследований конкретных систем (путем построения соответствующих фазовых диаграмм, см, п. 2 гл. I), так и для непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих нелинейные колебания. Графоаналитические методы могут быть эс[)фективными в случаях, когда не требуется высокой точности решений дифференциальных уравнений низкого порядка. Точность этих методов зависит от способа построения графиков решений н обычно возрастает при увеличении нх масштаба. [c.47]

Развитие метода точечных отображений. При решении конкретных задач на начальном этапе развития теории нелинейных колебаний метод точечных отображений не использовали, а применяли аналитические методы и методы теории возмущений. Спустя некоторое время независимо от работ А. Пуанкаре и Д. Биркгофа идея секущей поверхности и точечных отображений возникла вновь при решении конкрет71ых задач методом сшивания (припаговыванип). В своем первоначальном виде этот метод позволял находить периодические решения кусочно-линейных систем, но с его помощью исследовать устойчивость не удавалось. Результаты по исследованию устойчивости вошли в первое издание монографин [2], где рассмотрены автоколебания простейших моделей маятниковых часов и лампового генератора с 2-образной характеристикой зависимости анодного тока от напряжения на сетке. В обоих случаях рассмотрение сводилось к исследованию точечного отображения прямой в прямую. [c.93]

Следующий эгап в развитии метода точечных отображений состоял в применении его к новым типам систем, в перенесении на многомерные системы и использовании для решений общих вопросов теории нелинейных колебаний. При этом метод секущей поверхности отступил на второй план, и точечные отображения стали формой описания динамических систем, удобной как для конкретных численных исследований, так и для изучения теоретических вопросов [45]. [c.95]

О методе исследования простраиствеиных колебаний внутренние и виешиие резонансы. Математические особенности исследования нелинейных пространственных колебаний обусловлены наличием многократных резонансов. Трудности, встречающиеся как при исследовании устойчивости, так и при приближенном построении резонансных периодических (почти-периодическнх) решений, общеизвестны [4, 15]. Укажем на некоторые подходы, общие для излагаемого круга задач о нелинейных колебаниях тел [4]. [c.267]

Неймарк Ю. И. Хаотические и стохастические автоколебания Ц Качественные методы исследования дифферопциальпых уравнений и нелинейных колебаний.— Киев Ин-т мат. АН УССР, 1981,—С. 99-115. [c.407]

Первое издание книги опубликовано издательством Московского университета в 1988 г. Во втором издании книги приведены решения 160 новых задач. Включена новая глава 11 Релятивистская механика . Теперь сборник содержит решения 560 задач, иллюстрируюш их приложения методов теоретической механики к исследованию широкого круга проблем. Представлены задачи по всем разделам классической механики динамика частицы во внешнем поле и тел переменной массы, динамика системы частиц, уравнения Лагранжа, линейные и нелинейные колебания, динамика твердого тела, электромеханика, уравнения Гамильтона и канонические преобразования. Задачи по электромеханике рассмотрены в рамках лагранжева формализма. Включены также 42 задачи по релятивистской динамике, которые отсутствуют в известных сборниках задач по механике. Ряд задач, представляюш их различные аспекты одной проблемы, представлен в нескольких разделах сборника. Значительно расширен раздел, включаюш ий множество задач, иллюстрируюш их применение новых методов интегрирования систем нелинейных уравнений обш его вида, представленных в гамильтоновой форме. [c.5]

По существу, все механические системы описываются нелинейными уравнениями. Для исследования поведения систем в окрестности положения равновесия применяют метод линеаризанди уравнений движения поведение системы приближенно описывается линейными уравнениями. Если положение равновесия устойчиво, то движение системы называют линейными колебаниями. Этот вид движения широко распространен в природе и технике. [c.136]

Советская научная литература по устойчивости чрезвычайно обширна и весьма богата результатами как в области развития теории, так л в области ее практических приложений (см. А. М. Ляпунов. Библиография . Составила А, М. Лукомская, под редакцией В. И. Смирнова, М.—Л., 1953). Разработка идей Ляпунова ведется по многим направлениям. Здесь надо отметить развитие и применение первого и, особенно, второго методов Ляпунова, установление новых теорем, расширяющих ж углубляющих эти методы анализ существования функций Ляпунова и их эффективного построения исследования устойчивости по первому приближению и в критических случаях, а также при постоянно действу-лопщх возмущениях исследования устойчивости не установившихся и периодических движений, а также уртойчивости на конечном интервале времени развитие теории приводимых и правильных систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений распространение методов Ляпунова на механические системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений (в особенности на сплошные среды), и многие другие. В последние годы выяснилось, что метод функций Ляпунова можно с успехом применять и в получении оценок приближенных интегрирований, и в теории оптимального управления (см. обзор Н. Н, Красовского в настоящем сборнике, стр. 179— 243), и в теории нелинейных колебаний и во многих других разделах науки. По теории устойчивости движения опубликован ряд прекрасных монографий. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...