Ось сходимости интеграла Лаплас

А. Начнем с факта равномерной сходимости интеграла Лапласа. Для любого оригинала / (/) при s > So имеем (см. (6.18), где следует положить а =-р, 1 = S и заменить у яг. f) [c.200]

Б. Выясним теперь вопрос об аналитичности изображения, являющегося, в силу равномерной сходимости интеграла Лапласа и непрерывности функции непрерывной функцией в полу- [c.201]

Здесь изменение порядка интегрирования опиралось на равномерную сходимость интеграла Лапласа при s Sj > So и использовалась основная теорема Коши, в силу которой ф dp = О, [c.201]

Таким образом, установлены следующие фундаментальные особенности интеграла Лапласа (изображения по Лапласу). Интеграл сходится в полуплоскости Re /7 > Sq, где Sq — показатель роста оригинала, и равномерно сходится в полуплоскости s Si > > So, где Sj — произвольное сколь угодно близкое к о число (но не равное ему). Равномерная сходимость интеграла Лапласа и непрерывность по параметру р подынтегрального выражения / (/) обеспечивают непрерывность интеграла (изображения) в полуплоскости Re /7 > о и делают возможным при интегрировании изображения F (р) изменять порядок интегрирования в получаемом двукратном интеграле. Наконец, интеграл Лапласа (изображение F (р)) есть функция аналитическая при Re р > Sq, допустимо дифференцирование под знаком интеграла при Re р > о и при Re /7 -> + оо интеграл Лапласа исчезает (см. (6.37) ). [c.202]

Таким образом, если не пользоваться готовыми таблицами, то для определения оригинала по изображению необходимо выполнить квадратуру по комплексному переменному р вдоль бесконечной прямой, параллельной мнимой оси и отстоящей от неё на расстоянии с. Прямая Ке (р) — а называется осью сходимости интеграла Лапласа [c.309]

Для дальнейшего существенно выяснение некоторых фундаментальных особенностей интеграла Лапласа (6.28), сходимость которого в правой полуплоскости s > Sq установлена ранее. [c.200]

Таким образом, преобразование Лапласа, связывающее функции / (х) и F (s), является преобразованием Фурье между функциями g(x) и G (vj), где а — произвольное действительное число, большее показателя роста функции /(х). Область применения преобразования Фурье значительно уже области применения преобразования Лапласа, так как для сходимости несобственного интеграла функция g(z) должна удовлетворять довольно жесткому условию по бесконечности, например условию абсолютной интегрируемости, т. е. сходимости интеграла [c.502]

Перейти к пространственно-временному представлению решения (3.82) можно с помощью обратного преобразования Лапласа, которое для произвольного образа (5) определяется через интеграл Меллина вдоль прямой, проходящей параллельно мнимой оси комплексной плоскости 5 через точку с абсциссой сТо > О > выбранной так, чтобы все особенности функции (5) лежали слева от пути интегрирования, при условии существования и сходимости интеграла [57] [c.158]

Решение системы (1) — (12) связано с большими трудностями. Поэтому были рассмотрены различные возможности численного решения задачи. Применение операционного исчисления Лапласа по переменной времени приводит к системе интегральных или (при несколько иной форме решения) интегро-дифференциальных уравнений. Ядра этих уравнений представляют собой решение уравнений теплопроводности и, строго говоря, являются бесконечными рядами по собственным значениям данной краевой задачи. В этих системах остаются две независимые переменные (время и высота в насадке), т. е. имеются двойные интегралы, причем и по Ро и по 2 как с переменным, так и с постоянным верхним пределом получается своеобразная смесь интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Поэтому известные аналитические методы, используемые для решения уравнений типа Фредгольма или Вольтерра в отдельности, в данном случае неприменимы. Конечно, полученные интегральные (интегро-дифференциальные) уравнения могут быть решены одним из известных методов численно, тем более, что численные методы для решения интегральных уравнений хорошо исследованы и их сходимость проверена. [c.338]

Как видим, интеграл Лапласа при s > Sq мажорируется сходящимся интегралом, зависящим от параметра р (неравенство (6.33), где S Re р), а при s > Sq — мажорируется сходящимся интегралом, не зависящим от параметра р (неравенством (6.34) ). Следовательно, интеграл Лапласа не только сходится при s > Sq (что было установлено ранее), но и равномерно сходится при s Sj > Sq. Последнее обстоятельство чрезвычайно важно, так как равномерно сходящийся несобственный интеграл от непрерывной функции параметра, во-первых, представляет непрерывную функцию этого параметра и, во-вторых, в таком интеграле при интегрировании по параметру допустимо изменение порядка интегрирования. Оба эти факта легко обосновываются или непосредственно или отделением в интеграле действительной и мнимой частей, для которых в силу их равномерной сходимости упомянутые факты справедливы [13]. [c.201]

Имеется аналогия между преобразованием Лапласа и степенными рядами [29]. Как известно, степенной ряд сходится в некотором круге — круге сходимости. Радиус круга сходимости равен расстоянию от точки, относительно которой идет разложение в ряд, до ближайпхей особой точки разлагаемой функции. Интеграл, представляющий (одностороннее) преобразование Лапласа, вообще говоря, сходится в полуплоскости комплексной плоскости, лежащей справа от некоторой прямой, параллельной мнимой оси. Ясно, что на прямой, являющейся границей сходимости интеграла, обязательно лежит особая точка преобразования как функции комплексного аргумента. Сказанное не означает, что преобразование имеет смысл только там, где сходится интеграл (как и в случае рядов). Часто функцию можно аналитически продолжить, иногда на все точки комплексной плоскости, кроме некоторых, особых. [c.106]

Во многих случаях, когда вычисление интеграла (6.18) методом вычетов представляет затруднение (если Ф, кроме простых полюсов, имеет также другие особые точки, как, например, множитель У (o-fa, или где сходимость интеграла (6.18) остаётся под вопросом), имеет смысл лучше попытаться найти такую функцию /( ), которая, будучи подставлена в (6.19), даёт требуемую форму для ср. Для того чтобы упростить решение такой задачи о нахождении соответствующей функции / ( ), были составлены таблицы преобразований Лапласа (таблицы (Ьупкций /(/) и соответствующих им функций Ф(, ) этими [c.70]

Существование интеграла Стильтьеса гарантируется определением (1.8). Сак [11] считает более удобным использовать двустороннее преобразование Лапласа. Это, по-видимому, является излишним усложнением, так как нужно предположить существование нижнего уровня энергии на основе соображений сходимости. Поэтому с помощью имеющейся в нашем распоряжении аддитивной постоянной мы всегда можем добиться того, чтобы энергия была неотрицательной. [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...