Функция аналитическая в област

Слева присутствует краевое значение функции, аналитической в области П+, справа — аналитической в области 0 , исключая бесконечно удаленную точку, в которой полюс порядка не более к. На основании теоремы Лиувилля [33] получаем, что эти функции являются взаимно аналитически продолжи- [c.21]

Слева присутствуют функции, аналитические в области О, а справа—в области. Ввиду совпадения их предельных значений получаем, что они представляют собой единую в области О —О и 07 аналитическую функцию, которую и обозначим через Р г). Следовательно, доказано, что функция [c.365]

Поскольку функция ф( ) есть функция, аналитическая в области 0+, то правая часть (3.2) оказывается краевым значением функции, аналитической в области 0+. Согласно интегральной теореме Коши (1.6) гл. I получаем [c.378]

Это уравнение принадлежит классу уравнений Фредгольма. Проведем исследование этого уравнения, которое сводится к установлению условий разрешимости, а также к доказательству того факта, что любое его решение (функция ф(Д) должно представлять собой краевое значение функции, аналитической в области о+. [c.379]

Отсюда следует, что функции ф (() и ф (/) являются краевыми значениями функций, аналитических в областях и Оа, причем ф (оо) = о и ф (оо) = 0. [c.384]

Рассмотрим теперь третье слагаемое. Функция ф((т) есть функция, сопряженная к ф(сг), являющейся краевым значением функции, аналитической в области П+. Покажем, что эта функция ф(а) является краевым значением функции, аналитической в области 0 , откуда сразу будет следовать, что интеграл обращается в нуль. [c.387]

Функция ф(/) есть краевое значение функции, аналитической в области О, функция Г— (.г До ) есть краевое зна- [c.406]

Функция, аналитическая в области О, имеет в ней производные всех порядков. [c.196]

Значение функции, аналитической в области, ограниченной контуром С, определяется по ее значениям на контуре но форму ле Коша [c.197]

Если ряд из функций, аналитических в области О, сходится равномерно в этой области, то его сумма также является аналитической в О функцией. [c.71]

Обозначим через А М) класс функций, аналитических в области М С К . [c.15]

Обозначим через С (У") класс функций, аналитических в области С К . Множество М С V назовем ключевым (или множеством единственности) для класса если любая аналитическая функция, равная нулю на М, тождественно обращается в нуль всюду в V. Таким образом, если аналитические функции совпадают на М, то они совпадают на всем V. Например, множество точек интервала Д С К является ключевым для класса С (Д) в том и только в том случае, когда оно имеет предельную точку внутри Д. Достаточность этого условия очевидна, необходимость вытекает из теоремы Вейерштрасса о бесконечном произведении. Отметим, что если М — множество единственности для класса функций СР У) (О р оо), то М плотно в V. [c.179]

Лемма 5.3.1. Пусть Г(ф)—функция, аналитическая в области [c.200]

Гамильтона 273, 311 Функция аналитическая в области 402 [c.588]

Интеграл Коши. Пусть f z) — функция, аналитическая в односвязной области 5, ограниченной простой кусочно-гладкой замкнутой линией L, и непрерывная в S+L. Тогда значение функции f z) в любой точке z S определится граничным значением этой функции на линии L в виде [c.136]

Функция / (г) называется комплексной функцией кручения. Поскольку функции ф (jfj, Xi) и р (л 1, х ) удовлетворяют условиям Коши—Римана (7.74), функция / (г) будет аналитической в области поперечного сечения. [c.166]

Применение метода конформных отображений значительно расширяет возможности теоретического построения плоских потенциальных течений. Напомним кратко его математическую основу. Пусть = / (z) — аналитическая функция, определенная в области плоскости переменного г (рис. 7.15). Будем интерпретировать переменную С как комплексную координату точек плоскости С- Если 2 принимает все возможные значения в пределах области )j, то соответствующие значения С = / (z) образуют в плоскости S некоторую область Dj, которая является отображением области Di. Если, в частности, переменная z пробегает вдоль линии 1 , то соответствующие значения образуют линию /j. Областями Dz и Dj могут быть целые плоскости z и включающие бесконечно удаленную точку. [c.236]

Напомним вкратце математическую основу этого метода. Пусть = / (а) аналитическая функция, определенная в области плоскости переменного г (рис. 127). Будем интерпретировать переменную С как комплексную координату точек плоскости Если 2 принимает все возможные значения в пределах области то соответствующие значения = / (г) образуют в плоскости 4 [c.252]

Функция комплексного переменного, аналитическая в каждой точке области D (дифференцируемая в каждой точке), называется аналитической в области D. [c.179]

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла аргумента и модуля производной функции комплексного переменного. Пусть W =- W (z) — функция аналитическая на области D комплексной плоскости г. Предположим, что w (z) Ф О на D и обозначим w (г) = Ле . Так как w (г) О на D, то в каждой точке Z D числа А, а однозначно определены (ноль не имеет аргумента). Пусть С — некоторая гладкая кривая на области D, имеющая уравнение z = z (t), а с / < р, где z (t) — дифференцируемая функция, dz/dt =/= О на (а, Р). Функция комплексного переменного W W (z) осуществляет отображение области D ее определения (лежащей в плоскости z) на область Д ее значений (лежащей в плоскости w). При этом отображении кривой г = z (t) будет соответствовать ш = а [г (01 = (О и так как суперпозиция непрерывных функций есть снова непрерывная функция, то непрерывная кривая С с= D, уравнение которой z = z (t) при отображении W W (z) перейдет в некоторую непрерывную кривую Г с= Д, [c.183]

Интеграл типа Коши записывается также в виде (1.5), ио теперь откажемся от предположения, что функция /(т) есть краевое значение аналитической функции. Покажем, что интеграл типа Коши порождает некоторые аналитические в областях 0+ и О- функции, которые будем обозначать через Ф+(2) и ф-(2). Эти две функции можно также рассматривать как одну кусочно-аналитическую функцию, которую естественно обозначить через Ф(2). [c.13]

Перейдем теперь к рассмотрению второго слагаемого Отношение со(а)/(о (а) есть краевое значение функции ш( )/(о (1/ ), аналитической в области 1 1> 1, при наличии на бесконечности [c.387]

Если осуществить аналогичные построения и для функции ф(г), то придем к новой функции ф (г), аналитической в области Ох и представимой в каждой из областей О а Оо ь виде [c.407]

Тогда из (6.4) (строго говоря, в этом равенстве следует подразумевать значения it) и ( )) получаем, что функции ф (г) и Фд (г) совпадают на контурах (у Ф 0). Поскольку же каждая из функций (г) аналитична в соответствующих областях, то получаем, что все они представляют собой единую функцию, аналитическую в суммарной области 1) О " и 11 1) ш)- [c.415]

Излагаемый ниже прием называется методом сопряжения. Пусть 0+ и 0 — верхняя н нижняя полуплоскости. Рассмотрим некоторую аналитическую в области 0+ функцию ср(2). Введем в области 0 функцию, которую обозначим через ф (г) и определи.м формулой [c.417]

Таким образом, определяемое продолжение функции будем называть продолжением посредством сопряжения. Аналогичным образом функция, аналитическая в 0-, может быть продолжена в область 0+. Можно показать, что функция ф(2) является аналитической в функцией. Очевидно, что между предельными (на действительной оси) значениями функций ф(г) и ф(2) выполняются соотношения [c.417]

Поэтому интеграл F сходится и является аналитической функцией в области О < Res < Rep. По этой же причине интегралы о+ и v сходятся и являются аналитическими функциями соответственно в областях Res>0 и Res < Rep. Таким образом, в формулах (5.8) — (5.12) имеем, что О < Res < Rep. [c.485]

Следовательно, исходя из свойств преобразования Лапласа, получаем, что функция а+ аналитическая в области Res > 0, стремится к нулю при 5->оо в этой области. А функция v аналитическая в области Re S < Re р, убывает при s — оо (Re s < Re р) [c.486]

Кроме того, если начало координат лежит внутри отверстия, то всякая функция F (г), аналитическая в области материала во всех точках, включая точки на бесконечности, допускает разложение в ряд Лорана [c.218]

На рис. 123 вычерчена окружность большого радиуса Г, концентрическая с у. Поскольку функция ф( ) является аналитической в области, ограниченной контуром со стрелками, можно применить интегральную формулу Коши, получаем [c.220]

Сущность методов вычисления интегралов, основанных на применении теоремы о вычетах, состоит в следующем. Пусть требуется вычислить интеграл от действительной функции fix.) по какому-либо (конечному или бесконечному) отрезку [я, Ь оси . Дополним отрезок некоторой кривой С, которая вместе с отрезком а, Ь] составит замкнутый контур С, ограничивающий некоторую область G, и возьмем некоторую вспомогательную функцию /(г), аналитическую в области G, кроме конечного числа особых точек, причем такую, чтобы на отрезке я, 1 значения вспомогательной функции были равны значениям интегрируемой функции вещественного переменного. К вспомогательной функции применим теорему [c.200]

Если предположить, что ф (х) ограничено при л О, то можно заключить, что р(1) ведет себя асимптотически подобно, так как каждая сторона уравнения (25) асимптотически стремится к постоянной. При этом функция ( ) является аналитической в области [c.24]

Аналитические функции, имеющие в области G отличную от нуля производную, определяют конформное отображение области G на область W, т.е. отображение, сохраняющее углы между кривыми. В точках, где f (z) = О конформность может нарущаться. [c.106]

На основании формул (2.3.1) и граничных условий на контурах круговых отверстий и на пластических линиях задача сводится к определению двух аналитических в области D функций Ф(2) и Ф (z) из краевых условий [c.117]

Левая часть этого уравнения представляет собой функцию, аналитическую в полуплоскости IntdL> if, а правая - функцию, аналитическую в области Inv L . По принципу непрерывного продолжения можно утверждать, что левая и правая части этого уравнения являются аналитическими продолжениями друг друга. Остается выяснить поведение определенной таким образом функции, аналитической во всей плоскости dm, в бесконечно удаленной точке. Допустим теперь, что имеют место оценки [c.18]

Чдесь фпу (О (/ = 2, 3) —функции, аналитические в области поперечного сечения цилиндра. Тогда для радиального и, тангенциального V и осевого ю компонентов смещения и составляющих тензора напряжения пространственного состояния в цилиндрических координатах получим [c.207]

Пусть f z)—функция, аналитическая в одиосвязной бесконечной области S-, ограниченной простой кусочно-гладкой замкнутой линией L, включая и бесконечно удаленную точку, т. е. f(oo)= o, и непрерывная в S +L. Тогда [c.136]

Аналогично предыдущему можно показать, что функция q/(a) есть краевое значение функции ф (1Д), являющейся аналитической в области 1 1 > 1. [c.388]

Предположим, что отображающая функция со ( ) является всюду аналитической в области, занятой материалом. Следовательно, если потенциалы являются аналитическими функциями от то они останутся аналитическими, будучи выраженными как функции от 2 в любой точке рассматриваемой области. Отсюда следует, что аналитическими функциями являьэтся и все их производные. Из свойства аналитичности вытекает непрерывность этих функций. В частности, они приобретают свое первоначальное значение при обходе любого замкнутого контура, окружающего отверстие и лежащего внутри материала, Отсю,/а также следует, что их сопряженные функции, а также действительные и комплексные части порознь непрерывны ). [c.218]

В соответствии с теоремой О.Коши всякая аналитическая в области D функция /(г) в окрестности точки ZoeD может быть разложена в ряд БЛейлора [c.290]

Функция аналитическая в кольцевых незамкнутых областях r< lz-zol 0 Л<оо) может быть разложена в ряд АМЛорана [c.290]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...