Функции комплексного переменного. Аналитические и гармонические функции

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [c.176]

Отсюда вытекает, что функция ф +1% является аналитической функцией комплексной переменной г = хх Х2. Функции ф и х являются гармоническими, а соотношения (37) представляют собой известные соотношения Коши — Римана. [c.414]

Общие сведения. Мощные методы исследования задач плоского движения грунтовых вод, как и всех задач плоского потенциального движения жидкости, предоставляет теория функций комплексного переменного Это объясняется наличием тесной связи между гармоническими функциями, каковыми являются потенциал скорости ф(л , у) и функция тока г )(л , у), и аналитическими функциями комплексного переменного. [c.471]

Из теории функций комплексного переменного известно, что действительная Ф( , -п) и мнимая Ч , т)) части каждой однозначной аналитической в некоторой области функции Р( ) Ф( , т)) являются в этой области гармоническими функциями. С другой стороны, произвольную гармоническую функцию можно рассматривать как действительную (или мнимую) часть некоторой аналитической функции, определенной с точностью до постоянного мнимого (или соответственно действительного) слагаемого. [c.472]

Использованный в этом и предыдущем параграфах прием произвольного выбора гармонической функции ф и выяснения затем, для какого контура поперечного сечения стержня функция дает решение задачи о кручении, на первый взгляд представляется мало эффективным, поскольку исследователь лишен при этом возможности распоряжаться по своему усмотрению выбором контура поперечного сечения. Однако данный прием весьма полезен, поскольку позволяет весьма просто и быстро обследовать большой круг задач теории кручения и получить сведения, относящиеся к достаточно широкому классу поперечных сечений. Этот прием был использован еще Сен-Венаном, который последовательно рассмотрел гармонические функции, являющиеся вещественными или мнимыми частями аналитических функций комплексного переменного z , z , z, z , и показал, что уже этот простейший класс функций позволяет решить задачу кручения для обширного круга контуров поперечного сечения. В частности, контур, рассмотренный в данном параграфе, принадлежит к семейству контуров, которые могут быть исследованы, исходя из аналитической функции z - k. [c.262]

В 8.5 было показано, что 0 — гармоническая функция, следовательно, она может рассматриваться как действительная часть аналитической функции комплексной переменной [c.324]

Здесь ij o(x, у) означает гармоническую функцию (Аг )о = 0), удовлетворительную условию (6.4), а IF(Z, g) — аналитическую функцию комплексного переменного Z х iy, осуществляющую конформное отображение данной области на единичный круг так, что произвольная точка области щ переходит в центр круга, т. е. W(l, g) — 0. [c.157]

Поскольку Gw (д , у) — гармоническая функция, представим ее в виде вещественной части некоторой аналитической функции / (z) комплексного переменного z х iy [c.181]

Поскольку Т х, у) в области 5 — гармоническая функция, то ее можно представить в виде вещественной части некоторой аналитической функции / (2) комплексного переменного z = д + iy [c.220]

Предположим, что тело находится под действием установившейся температуры, т. е. Т [х, у) является гармонической функцией переменных д и у и ее можно представить в виде вещ,ественной части некоторой аналитической функции / (z) (VII.5). Тогда компоненты напряжений в области, занимаемой телом, удовлетворяют обычным условиям равновесия, как если бы тело было равномерно нагрето (Т = 0). Следовательно, их можно выразить через две аналитические функции Ф (z) и (z) комплексного переменного 2 [c.226]

I. Некоторые гармонические функции, связанные с упругими смещениями. В плоской теории упругости существует тесная связь между решениями граничных задач (первой и второй) и теорией аналитических функций комплексной переменной. Эта связь основана на известных представлениях Колосова—Мусхелишвили (см. Мусхелишвили [1]) для составляющих смещений и напряжений, с помощью двух пар аналитических функций эти представления имеют следующий вид [c.595]

Если Но (х, у) — гармоническая функция, сопряженная с Gq (х, у), то аналитическая функция комплексного переменного z [c.358]

Функция напряжения. В последнем параграфе было показано, что функция кручения ф (ж, у) является двумерной гармонической функцией в области Я поперечного сечения цилиндра. Из теории же функций комплексного переменного известно, что существует также другая двумерная гармоническая функция х, у) такая, что функция ф х, у) -Ь 1)3 (х, у) является аналитической функцией комплексного переменного х + 1у. Функции ф и о)) связаны друг с другом с помощью условий Коши — Римана [c.58]

В предыдущих параграфах (58—63) было выяснено важное значение гармонических функций от трех переменных х, у, г при построении решений основных уравнений теории упругости. Обращаясь к плоской задаче, заметим, что здесь мы будем иметь дело с гармоническими функциями на плоскости, которые весьма тесно связаны с аналитическими функциями комплексной переменной [c.277]

Функция депланации ф(х,у), а также функция х(х,у), связанная с функцией кручения Прандтля 1р х,у), являются гармоническими функциями. Поэтому они могут быть представлены в виде вещественной и мнимой частей так называемой аналитической функции комплексной переменной. Такая формулировка задачи кручения оказывается весьма целесообразной, так как для рещения задачи тогда можно привлечь общие теоремы теории аналитических функций [c.168]

В упоминавшейся выше (см. 5) работе В. И. Моссаковского [91] при решении задач для полупространства вводились плоские гармонические функции, которые выражались через аналитические функции комплексного переменного, и указанные задачи теории упругости при- [c.224]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...