Функция аналитическая (регулярная) в области

Функция аналитическая (регулярная) в области 212 [c.624]

Отсюда, зная разложение функции / в ряд по степеням 7, легко получить разложение для 1, а также перенести заключение об аналитичности / на f. Функция f при любом фиксированном к является целой аналитической функцией 7, а при любом фиксированном 7 — аналитической функцией к, регулярной в области 1т й > О и непрерывной вместе со своей производной в области 1т 0. Для того чтобы эти утверждения были справедливы, потенциал обязательно должен удовлетворять условиям (12.9) и (12.21). Если, кроме того, выполняется условие (12.20), то функция аналитична также и в области О 1т /г > — а. Рассмотрение возможностей расширения области аналитичности функции /, приведенное в п. 1, полностью переносится на [c.318]

Пусть все функции Д,. .., / регулярны в области хк — к [к = 1, то) и по абсолютной величине fi М. Тогда в определяемом начальными условиями Хк т) = к = 1,. .., ш) решении системы уравнений (1) Хк Ь) являются регулярными аналитическими функциями от 4 в комплексной окрестности точки т [c.33]

Построенная таким образом функция Ф( ) удовлетворяет уравнению (27. ) как ъ В, так и в В". Функция, регулярная в области/), является регулярной и в области В". Мы будем говорить о регулярности в полной области В, если обобщенная аналитическая функция, регулярная в /) (и в В"), непрерывна в В. Последнее имеет значение для областей, пересекающих ось симметрии, так как участок I оси не входит в В или /)", но входит в состав В. Таким образом, по определению, для регулярности не требуется существования производной на оси симметрии. Но, как будет показано в 30, регулярная функция обладает непрерывными производными любого порядка везде ъ В, ъ том числе и на оси симметрии. [c.244]

Этот ряд совпадает с вещественной частью ряда (28.12). Замечая, что обобщенная аналитическая функция, регулярная в области, содержащей точки оси симметрии, вполне определяется своей вещественной частью (см. конец п. 6 27), получим требуемое утверждение. [c.251]

В предположении, что потенциал ведет себя достаточно хорошо, из (12.154> следует, что полюсы S (к) на комплексной /-плоскости отвечают нулям функции f ( ). Рассуждения, приведенные в гл. 12, 2 и 3, легко распространить на случай комплексных значений I. Согласно этим рассуждениям, при фиксированных kur функции fl (k, г) и фг (k, г) будут аналитическими функциями I. Так как граничное условие (12.15) не зависит от I, то / должна быть регулярной во всей комплексной плоскости /. По причине, указанной после (12.132) и в гл. 12, 3, граничное условие для ср с необходимостью зависит от I таким образом, что функция фг должна быть регулярной только в области Re / > — V. .. При весьма общих ограничениях на потенциал существует аналитическое продолжение функции фг в область Re / < — /г, которое имеет только простые полюсы при отрицательных целых и полуцелых значениях I (16501 и 16531, гл. 4). Поскольку, однако, для преобразования Ватсона необходима только область Re / > — V2, то мы не будем здесь касаться аналитического продолжения в область Re / С — [c.380]

Функцию, у которой при некотором значении независимой переменной существует производная, не зависящая от направления дифференцирования (при этом исключается направление ыйх°), назовем регулярной при данном значении независимой переменной. Если указанное свойство выполняется для любых значений независимой переменной в некоторой области, то функцию будем называть аналитической в этой области. Соотношения (2.8), выполняемые для всех значений X в области, являются необходимыми и достаточными условиями аналитичности функции комплексной переменной X в этой области. Как следствие, необходимым и достаточным признаком аналитичности является возможность представить функцию формулой (2.11) или (2.13). Поэтому в случае справедливости формул (2.8) или (2.11) функция будет аналитической и наоборот для аналитической функции эти формулы будут справедливы [c.22]

Функция w z), имеющая производную (П3.15) в точке г е D, называется моногенной в этой точке. Если однозначная функция w z) моно-генна в каждой точке z е D, то она называется аналитической (регулярной) во всей области D, Производная (П3.15) аналитической функции представляется в следующих равносильных формах [c.290]

Функция, дифференцируемая для значений г в области плоскости г, называется регулярной и аналитической в этой области. Точка, в которой удовлетворяются указанные условия, называется регулярной. Аналитическая функция, однако, характеризуется не только поведением совокупности ее регулярных точек, но также и ее особыми точками. С точки зрения теории функций последние представляют большой интерес и требуют глубокого изучения. [c.139]

Принцип отражения. Пусть аналитическая функция комплексного переменного Щ) регулярна и однозначна в области D, ограниченной частично (как на рис. 20) отрезком АВ действительной оси, и стремится непрерывно к действительным значениям на АВ. Тогда соотношение /( ) =/ t) продолжает функцию t) аналитически через отрезок АВ в зеркальный образ D области D, так что f t) является аналитической в области D[iD UAB. [c.59]

Необходимо отметить, что решение задач посадки связано с преодолением больших математических и вычислительных трудностей. Математические трудности значительно возрастают, если помимо напряженной посадки и распределенных нагрузок, приложенных к свободным контурам, в отдельных точках пластины дополнительно приложены сосредоточенные внешние силовые факторы (сосредоточенные силы и моменты), лежащие в срединной плоскости пластины. Наличие сосредоточенных силовых факторов вызывает трудности при аналитических исследованиях искомых функций для установления их регулярности в отдельных областях рассматриваемой пластины. [c.67]

Пусть Ф( ) — обобщенная аналитическая функция, регулярная в односвязной области /), а и 1) и У 1) — некоторые непрерывные и непрерывно дифференцируемые в О функции переменных 2 и г. Рассмотрим условия, при которых интеграл [c.238]

Формулы (28.1)—(28.2) полезны при построении полных систем обобщенных аналитических функций, регулярных в односвязных областях, пересекающих ось симметрии. [c.249]

Можно убедиться, что и, наоборот, любая регулярная в кольце О обобщенная аналитическая функция может быть представлена рядом (28.12) при == 0. Для доказательства воспользуемся тем, что В (г, г) = Ке Ф( ) является осесимметричной гармонической функцией в полой сфере, построенной на области О, как на своем меридиональном сечении. Как известно [60], такая функция может быть разложена по сферическим функциям [c.251]

Из сказанного выше ясна эффективность метода Дейча. Функции, стоящие в левой и правой частях равенства (6.10), являются аналитическими функциями к, но аналитичность каждой из них доказана в различных областях. Соотношение (6.10) показывает, что эти функции являются частями одной аналитической функции, регулярной в обеих областях. Следовательно, можно заключить, что функция X, к, г) может быть продолжена во все области этого вида с 1тЛ<0, где к = ке и ф1<я/2. Сумма всех этих областей составляет всю -плоскость с разрезом вдоль верхней мнимой полуоси. Указанный вывод справедлив, естественно, при любом конечном X, поскольку, как было показано в гл. 5, 1(Х, к, г) — четная целая функция X. [c.74]

Итак, если (ш) является граничным значением аналитической функции, регулярной в верхней полуплоскости комплексного переменного со, и обращается в нуль на бесконечности в области Im > О, то всегда то же самое можно сказать и о функции [c.110]

Рассуждения, основанные на требовании причинности, равным образом можно применить к сферическим волнам с фиксированными значениями J и М. Если сферическая волна, имеющая резкий фронт при t = г, падает на рассеивающую сферу радиусом R, то расходящаяся сферическая волна должна отсутствовать вплоть до момента времени, при котором t = г — 2R. Из этого следует, что если амплитуда падающей волны является граничным значением аналитической функции комплексного переменного со, регулярной в верхней полуплоскости и обращающейся в нуль на бесконечности в области Im со > О, то амплитуда расходящейся волны, умноженная на [c.111]

Там, где у У (Е) простые полюсы, Я имеет дискретные собственные значения ( 3). То обстоятельство, что как Я, так и Яо имеют непрерывный спектр, простирающийся от == О до = оо, приводит к тому, что О ( ) и (Е) в этой области имеют разрезы (гл. 9, 4). Другими словами, так как Яо не имеет никаких других собственных значений, кроме собственных значений, принадлежащих непрерывному спектру, простирающемуся от = Одо = оо, то О ( ) является аналитической функцией Е, регулярной всюду в любой конечной области плоскости Е с разрезом от = О до = оо. Если Я не имеет связанных состояний, то такими же свойствами обладает и ( ) если Я имеет связанные состояния с энергиями то при Е = Е функция Ц/ (Е) имеет простые полюсы ( 3). Поскольку как С (Е), так и ( ) имеют разрезы от = О до = оо, то их значения на положительной части действительной оси Е различны в зависимости от того, откуда мы подходим к действительной оси — сверху или снизу. В первом случае мы находимся на верхнем, а во втором случае — на нижнем береге разреза. Эти два различных предельных значения равны (Е) и С ( ) или (Е) и, 9 ( ). Таким образом, для 1гп Е — = 0 и Re > О имеем [c.172]

Оператор резольвенты (а — КУ замкнутого оператора К является аналитической (операторной) функцией комплексной переменной а, регулярной во всех точках а в резольвентном множестве (19311, стр. 291). Понятие аналитической операторной функции было введено в гл. 6, 7, п. 2. Если К — вполне непрерывный оператор, то оператор (а — К) аналитичен всюду в комплексной а-плоскости, за исключением изолированных полюсов конечного порядка, которые все заключены в конечной области и которые не могут иметь каких-либо точек сгущения, кроме точки а = 0. [c.199]

Определение ядра А дано после формулы (10.79). При выполнении условий (10.81) и (10.81а) ядро с4 является аналитической операторной функцией переменной к, регулярной в полуплоскости 1т > О и непрерывной всюду в этой области, включая границу 1т = 0. Что касается экспоненты,, то функция [c.271]

Принцип симметрии относится к функции w=f(z), регулярной в области, примыкающей к отрезку вещественной оси, непрерывной на данном отрезке и к тому же преобразующей этот отрезок в отрезок вещественной еси на плоскости ш. Согласно принципу симметрии функция /(2) может быть аналитически продолжена через вещественную ось, и в точках плоскости г, принадлежащих рассматриваемой области и симметричных им относительно вещественной оси, она принимает значения, симметричные относительно вещественной оси плоскости ш. [c.473]

Очевидно, функции ф(г) и ф(2) аналитически продолжимы в область 51 и, следовательно, являются регулярными во всей области 5 = 5о+51, занятой сопряженными телами. Внося выражение (5) в граничное условие (1), получим для определения ф(г) иф 2) следующее равенство [c.92]

Положим, что F(t) является граничным значением какой-либо обобщенной аналитической функции Ф( ), которая регулярна в области D, ограниченной контуром L, и непрерывно продолжима на L. Тогда в силу обобщенной теоремы Коши W t) = О, когда t (при г = Im г 0) лежит вне замкнутой области D L. [c.264]

Теорема Витали. Пусть / г) есть последовательность функций, каждая из которых регулярна в области О. Пусть / (г) < для каждого /I и г из О. Пусть / г) стремится к пределу при п -> оо на множестве точек, имеющем предельную точку внутри О. Тогда / (г) равноммно стремится к пределу в любой области, ограниченной контуром внутри О, откуда следует, что этот предел является аналитической функцией г. [c.509]

Функция f z), однозначная и дифференцируемая в каждой точке области D, называется аналитической (регулярной или голоморфной) в этой области. Функция /(z) называется аналитической в конечной точке г, если она является аналитической в некоторой произвольно малой окрестности точки г. Точки плоскости г, в которых однозначная функция f г) анали-тнчна, называются п р а в и м ь н ы м ii точкам и / (г). Точки, в которых функция / (г) не является аналитической, называются особыми точками этой функции. [c.53]

Учитывая последние зависимости из соотношений (33) на границах ( 5 — 1, 2,. . ., %—1), можно установить, что функции ср (г) и (г) аналитически продолжимы из области 5 в каждую из областей 5 (к — 2, 3,. . ., т ) и, таким образом, они будут регулярными всюду в области 5, ограниченной [c.25]

Из соотношений (45) с учетом выражений (38), (39) и (43) можно установить, что функции ф(г) и ф(г) аналитически продолжимы из области 5о в каждую из областей 5 (я = 1, 2,-..,т) и будут регулярны во всей области 5, ограниченной контуром у/. [c.32]

Из уравнений (290) с учетом функций (291) на границах (п = 1, 2,...,т) можно установить, что функции <р(г) и <]>(г) аналитически продолжимы из области 5] в каждую из областей 5 , (п = 1, 2,..., т + 1) и, таким образом, они будут регулярны всюду в области 5, ограниченной контуром уо- [c.161]

Из уравнений (348), учитывая функции (349) на границах Т (1, 2,. ..,т— 1), устанавливаем, что функции ср (г) и ф(г) аналитически продолжимы из области 1 в каждую из областей 8 (п=1, 2,.. т) и будут регулярными всюду в области 5. [c.204]

Из соотнощений (484) — (486) следует, что функции ф(г) и ф (г) аналитически продолжимы из области 5о в область 5 и будут регулярны во всей области 5, ограниченной контуром - о- Вернемся к контурному условию (2) и заменим в нем функции фо(0 и 4 о(0 через ф(/) и ф( ) с помощью равенств (486). [c.258]

Если функция f (г) сдноаначна, непрерывна и дифференцируема в каждой точке некоторой области (т. е. имеет в ка кдой точке этой области конечную производную), то такую функцию называют регулярно , илп аналитической в этой области. [c.212]

Регулярная функция [(г), будучи заданной в некоторой области, может быть продолжена за ее пределы, если это вообще представляется возможным, лищь единственным образом. Если заданы две функции fl (г) — регулярная в одной области, [2(2 —регулярная в другой, и эти области имеют общую часть, в которой /1(2) =/2(2), то каждая из данных функций называется аналитическим продолжением другой в область, на которой задана данная функция. Функцию, состоящую из всех аналитических продолжений на другие области регулярной функции [(г), называют аналитической функцией, заданной в области, образуемой всеми этими областями. [c.473]

Функция Й( ). Из соотношения (3.30) гл. III следует, что внутренние критические точки отсутствуют. Следовательно, t) — аналитическая и регулярная функция, не обращающаяся в нуль ни в одной точке области Г. Мы докажем теперь, что С не обращается в нуль ни в одной точке замкнутой хэбласти Г, отличной от С. Указанные факты интуитивно правдоподобны. [c.169]

Различные специальные вопросы. Недавно С. М. Белоносову И—3] удалось получить интегральные уравнения плоской задачи, пригодные, вообще говоря, и в случае угловых точек ). Рассматриваемая область (конечная или бесконечная), ограниченная кусочно-гладким контуром L, отображается на правую полуплоскость Re С >0 плоскости вспомогательного переменного + iii]. Затем для искомых комплексных потенциалов ф и -ф, регулярных в правой полуплоскости, получаются функциональные уравнения, аналогичные уравнениям, данным в 78. Эти функциональные уравнения после применения к ним одностороннего преобразования Лапласа приводят к интегральному уравнению с действительным симметричным ядром относительно неизвестной плотности интегрального представления. Если контур L не содержит угловых точек и вообще достаточно гладок, то ядро уравнения, определенное для обеих переменных на всей бесконечной прямой, является фредголь-мовым. В общем случае при наличии угловых точек оно уже не будет фредгольмовым, но будет принадлежать к типу ядер Карлемана. Для частных случаев клина и бесконечной полосы интегральное уравнение допускает обращение по формуле Римана — Меллина и решение задачи находится в замкнутом виде (в квадратурах). Ядра интегральных операторов, входящих в решение задачи, не выражаются, правда, в элементарных функциях, но их всегда можно аппроксимировать с достаточной точностью простыми кусочно-аналитическими функциями. В названной выше работе [c.598]

Очевидно, функции ф(2) и 1з(2) аналитически продолжимы через функции ф1(0 и л1 1( ) в область и, следовательно, являются регулярными во всей области 5о + 5ь заполняющей круг. [c.177]

Отметим, что справедлив аналог теоремы Морера если функция Ф( ) непрерывна в односвязной области D и интеграл вида (27.15) по любому замкнутому контуру, лежащему в D, равен нулю, то Ф 1) является обобщенной аналитической функцией, регулярной в D. Доказательство такое же, как и в случае классических аналитических функций. [c.241]

Используя аналог теоремы Морера, можно показать, что к обобщенным аналитическим функциям применим принцип аналитического продолжения (см. [51]), т. е. если границы двух неперекрывающихся односвязных областей D i и Z>2 имеют один общий участок Z, и в этих областях соответственно заданы регулярные в них функции Ф( ) и W t), которые непрерывно продолжимы на I, причем Ф(т) = Р(т) (т е Z), то обобщенная аналитическая [c.241]

Мй — произвольная вещественная постоянная. Функция В,. удовлетворяет соотношениям (27.4) и условию четности (27.186). Учитывая непрерывность частных производных дВ дг и дBJдr вплоть до оси 2, легко убедиться в том, что В 1, непрерывно продолжима на участок оси 2, причем ее значения на этом участке равны нулю (см. аналогичные рассуждения, относящиеся к (27.19)). Следовательно, Фй(0 = 5, Ц- 1В . является обобщенной аналитической функцией, регулярной в той части области В, которая односвязна, симметрична относительно оси 2 И содержит внутри себя участок этой оси. [c.247]

Преобразования (28.2) и (42.1) устанавливают взаимно однозначное соответствие между аналитическими и обобщенными аналитическими функциями, регулярными в одной и той же односвязной области, содержащей точки оси симметрии. Взаимное расположение линии интегрирования и линии разветвления радикала в (42.1) должно быть унорядоченным. Обычно мы их будем проводить [c.399]

Ф( ) будет при этом непрерывной и дифференцируемой в той же части D. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что Ф( ) удовлетворяет уравнению (27.8). Следовательно, выражения (42.11) — (42.13) определяют некоторую обобщенную аналитическую функцию, регулярную в односвязпой части области/), пе содержащей tg. [c.406]

Приступая к численному исследованию аппроксимационной задачи для угловых характеристик светорассеяния аэрозольными системами, следует заметить, что их аналитическое поведение в целом в области (О,я) более регулярно, нежели поведение спектральных характеристик. В частности, функция Оц(0 Я) при изменении угла О для любого фиксированного X ведет себя заметно проще , нежели частная функция 0ц(я 0 ) в пределах видимой области длин волн для фиксированного угла Напомним, что количественно регулярность (то же самое гладкость) аналити- [c.235]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...