Вычеты аналитических функций

ВЫЧЕТЫ АНАЛИТИЧЕСКОМ ФУНКЦИИ [c.200]

Выпуклость кривых 264 Вычерчивание кривой по параметрическим уравнениям 265 Вычеты аналитических функций 200 Вычисления — Оценка точности 66 [c.568]

ВЫЧЕТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [c.200]

Вычерчивание кривой 265 Вычеты аналитических функций 200 Вычисления — Оценка точности 66 [c.548]

Вычерчивание кривой 1 — 265 Вычеты аналитических функций I — 200 Вычисления —Оценка точности 1—66 [c.406]

Интеграл аналитической функции по замкнутому контуру, содержащему конечное число изолированных особых точек, равен сумме вычетов относительно этих точек, умноженной на 2-пг (теорема о вычетах). [c.186]

Аналитическая статика 366 Аналитические функции — Вычеты 200 [c.547]

Другой вывод интегральной теоремы Коши известен как теорема о вычете. Коэффициент а 1 при (г—а) в разложении аналитической функции в ряд Лорана называется вычетом функции в точке г = а. Теорема читается так если С есть простая замкнутая кривая и функция (г) однозначна и регулярна на кривой С и внутри нее, за исключением конечного числа особых точек внутри кривой, в которых вычеты составляют Яи Яп, то [c.144]

Вычеты комплексной скорости, циркуляция и поток скорости. Как известно из теории функций комплексного переменного, структура аналитической функции Р (г) вполне определяется распределением в плоскости г особых точек функции и их характером. [c.141]

Построенная аналитическая функция в общем случае, однако, будет многозначной. Приравнивание нулю ее вычета относительно бесконечно удаленной точки приводит к двум условиям разрешимости, которым должно удовлетворять выбранное распределение скорости, чтобы искомый контур оказался замкнутым. Кроме того требование отсутствия самопересечений контура накладывает дополнительные ограничения на характер распределения скорости [97]. [c.144]

Особые точки аналитической функции (14.13) — простые полюсы, расположенные на мнимой оси р. Оригинал можно записать как сумму (ряд) вычетов. Это соответствует представлению решения в виде ряда по формам свободных колебаний. Анализ изображения [c.69]

Штрих означает, что сингулярный член опускается легко показать, что предел а всегда существует.) Далее будет показано, что функция Со г) Ткаченко [4] имеет тот же вид, что и функция Р г) и мы примем это обозначение. Дзета-функция С(2) = С г и 1,и 2) представляет собой нечетную аналитическую функцию с простыми полюсами с вычетом 1 в каждой точке решетки. При этом дзета-функция является квазипериодической для всех г С — [c.339]

Здесь Q+(p) задана в верхней полуплоскости переменного р и является там аналитической функцией р. Соответственно Q (p) задана в нижней полуплоскости и аналитична там. При Qj.(p) -> 0. Значения Q (p) на вещественной оси определяются по теореме о вычетах [c.210]

В последнем равенстве проще всего убедиться, заметив, что обе его части — аналитические функции с одинаковыми вычетами в совпадающих полюсах). Следовательно, Р .(2) s 1, но поскольку эта функция — полином, то то же г [c.348]

Интеграл от аналитической функции по какому-либо замкнутому контуру С равен, как известно, умноженной на 2т / сумме вычетов этой функции относительно её простых полюсов, расположенных внутри С поэтому [c.39]

Лемма Жордана дает возможность при вычислении интеграла вдоль прямой в комплексной области использовать теорию вычетов. Для этого рассматривается совокупность конечных отрезков, переходящих в пределе в заданную прямую. Концы каждого из отрезков соединяются какой-либо другой, а заданная на прямой функция аналитически продолжается на эти дуги, и далее рассматриваются интегралы по образованным таким образом замкнутым контурам. В лемме Жордана специально оговаривается случай, когда с увеличением длины дополнительной дуги интеграл по этой дуге стремится к нулю. Наиболее просто требуемые оценки получаются, когда такой дугой выбирается дуга окружности. [c.75]

Из формул (8.41) и (8.90) следует, что полиномы Nfm, NfJ, имеют порядок, меньший, чем полином det N (р). Изображение вектор-функции F (/), компоненты которой определены по (8.87), является аналитической в плоскости р вектор-функцией и не содержит особенностей, кроме полюсов. Такая вектор-функция комплексного переменного называется мероморфной [62]. Отсюда компоненты вектор-функции Г/ (р) являются мероморфными функциями и для их обращения можно воспользоваться теоремой о вычетах (п. 6.4). [c.250]

Сущность методов вычисления интегралов, основанных на применении теоремы о вычетах, состоит в следующем. Пусть требуется вычислить интеграл от действительной функции fix.) по какому-либо (конечному или бесконечному) отрезку [я, Ь оси . Дополним отрезок некоторой кривой С, которая вместе с отрезком а, Ь] составит замкнутый контур С, ограничивающий некоторую область G, и возьмем некоторую вспомогательную функцию /(г), аналитическую в области G, кроме конечного числа особых точек, причем такую, чтобы на отрезке я, 1 значения вспомогательной функции были равны значениям интегрируемой функции вещественного переменного. К вспомогательной функции применим теорему [c.200]

Таким образом, отсюда видно значение вычетов. Они образуют единственные вклады в интегралы от функции, являющейся аналитической во всех точках внутри замкнутого контура, за исключением особых точек описанного выше вида. [c.137]

Теорема Коши о вычетах. Пусть С—замкнутый контур, внутри н вне которого функция / (г) аналитическая, за исключением конечного [c.137]

Б этом последнем интеграле, подинтегральная функция аналитическая в С, за исключением 2К точек я ... и точки = 0. Вычеты будут равны [c.96]

Формула (10 34) показывает, что wA w), а значит и wA w)e- , является производной по w от функции, выражаемой через X w) и граничные условия. Следовательно, при помощи комплексных формул Грина вклад от непрерывного спектра можно преобразовать в интеграл по границе. Подынтегральное выражение является аналитической функцией вне Я и может быть аналитически продолжено в Я указанным выше способом, если граничное условие Z w) аналитически продол-жимо в Я. Таким образом, аналитическое продолжение возможно при соответствующих граничных условиях. Однако, сдвигая путь интегрирования, мы включаем вклады вычетов от нулей аналитически продолженного дисперсиониого соотношения. Следовательно, даже когда уравнение (111) не имеет решения, основной вклад в последнее может появиться от дискретной собственной функции . [c.370]

Понятие / -аналитических функций введено Г. Н. Положием в работе 1102] как одно из обобщений теории аналитических функций комплексного переменного. Свойства этих функций были подробно изучены в последующих работах того же автора и систематизированы в монографии [112]. Установлены аналоги теоремы Коши и формулы Коши, построена классификация особых точек и нулей, доказана теорема Лиувилля, построена теория вычетов, установлена изолированность 4-точек, в которых р-аналитическая функция принимает значения А == onst, доказана теорема о сохранении области, а так--же получены некоторые другие результаты. [c.435]

Важность существования корреляции между различными амплитудами рассеяния парциальных волн можно оценить, обращаясь к дисперсионным соотношениям для полной амплитуды рассеяния. Допустим, что потенциал экспоненциально убывает на бесконечности. В гл. 10, 3, п. 2 мы видели, что в этом случае амплитуда рассеяния вперед является аналитической функцией от Е, регулярной на физическом листе всюду, за исключением простых полюсов, соответствующих связанным состояниям. Следовательно, она должна удовлетворять некоторому дисперсионному соотношению. Но эта же самая амплитуда является суммой амплитуд парциальных волн, каждая из которых может иметь и в общем случае имеет, бесконечное множество сингулярностей на физическом листе. Поэтому должна иметь место очень сильная корреляция между положениями точек сингулярностей различных элементов S-матрицы и значениями вычетов в них, чтобы в амплитуде рассеяния вперед эти сингулярности взаимно скомпенсировались. Более того, поскольку дисперсионное соотношение существует также и в случае, когда передаваемый импульс не равен нулю, то сингулярности должны также компенсировать друг друга и в амплитудах рассеяния по любому направлению (вплоть до некоторого конечного значения передаваемого импульса). Это, очевидно, означает, что сингулярности должны сильно зависеть друг от друга. [c.355]

Условие о(г/)=0 при у<0 будет выполнено, если а(р) является аналитической функцией комплексного переменного в пижней полуплоскости Im р< 0. Действительно, дополним при у <0 интеграл (6.2) интегралом по кругу бесконечно большого радиуса в нижней полуплоскости р. Значение такого интеграла, очевидно, равно нулю, так как подынтегральная функция убывает пропорционально ехр (—р" г/1). В то же время интеграл по замкнутому контуру от аналитической внутри контура функции равен нулю по теореме о вычетах. Мы приходим к выводу о том, что а р) = = К- р), где iT (p) — аналитическая функция при Im р < О, ограниченная при р- °о. Подставим теперь разложение (6.2) в (6.1) и выполним интегрирование по у от — до используя разложение Фурье Oi iy — y ), даваемое формулой (2.16) с = 1. Получаем [c.208]

В области j >0 вычислить интеграл J по изложенному выше простому методу нельзя. Можно было бы для получения малых е использовать теорему вычетов путем интегрирования в нижней р-полуплос-кости. Но тогда аналитическое разложение функции L/ф, 1), заданной [c.304]

В этом последнем интеграле, подпптегральная функция аналитическая в С, за исключением 22У точек ... й, г . .. и точки 3 — 0. Вычеты будут равны [c.96]

Сформулированы правила построения матричных элементов в нелокальной теории поля. Эти правила отличаются от обычных включением форм-фактора в вершинную часть диаграммы с обязательным условием не учитывать особенностей форм-фактора при вычислении интегралов методом вычетов. Исследуются аналитические свойства матричных элементов и отмечено появление специфических особенностей, положение которых не зависит от величины элементарной длины. Показано, что функции Грина, построенные из гейзенберговских и in-операторов поля, не совпадают друг с другом этим объясняется появление комплексных особенностей собственно энергетической части. Выяснена применимость в нелокальной теории поля редукционной формулы Лемана-Симанзика-Циммермана для матричных элементов рассеяния. [c.130]

Пусть теперь I — контур (замкнутый путь) на плоскости комплексного времени t. Будем говорить, что аналитическая вектор-функция неоднозначна вдоль I, если она имеет ненулевое прира-шение (скачок) после обхода контура 7, Предположим, что все решения невозмушенной системы (1.2) однозначны на плоскости С = i . Тогда теорема Пуанкаре позволяет эффективно исследовать задачу о ветвлении решений системы (1.2) при малых ненулевых значениях параметра е. Все сводится к вычислению интегралов вида (1.4) по замкнутым контурам. В приложениях подынтегральные функции обычно являются мероморфными. Поэтому, согласно теореме Коши, задача о ветвлении решений сводится, по сушеству, к вопросу о наличии полюсов с ненулевыми вычетами, [c.330]

Здесь res — вычет в верхней полуплоскости комплексной переменной t (т. е. Imt > 0). В первом случае контур интегрирования связывает л-=—оосх=+сю, оставляя справа полюсы подынтегрального выражения. Функция G является аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением прямой линиих = х которая является разрезом. Функция G разрывна при переходе через разрез, и разность ее значений на двух берегах разреза равна 1. Это легко проверить, используя приведенное интегральное представление функции G и замечая, что скачок связан лишь с изменением res( ). [c.358]

Существует, вероятно, целая иерархия таких рекуррентных движений, зависящих (в отношении степени сложности соответственных символов) от характера изменения N в зависимости от п. Здесь я хочу только указать один метод, который может привести к обнаружению рекуррентных движений непериодического типа для рассматриваемой системы. Пусть f xi,. .., Хр) будет любая функция, аналитическая и периодическая периода 1, отпоситсльпо своих р аргументов xi,. .., Хр р > 1). Если i,. .., Ср суть р количеств, не связанных между собою никакими линейными соотношениями с целыми коэффициентами, то /(i iA,. .., СрХ) будет квазипериодической функцией от А. Обозначим теперь символом а наименьший положительный вычет по модулю q целой части числа и, так что а есть одно из целых чисел О, 1,. .., <7 — 1. Функция /( iA,. .., СрХ), если мы будем подставлять вместо Л целые числа, даст нам бесконечную в обе стороны последовательность, состоящую из целых чисел О, 1, — 1, обладающую требуемым характеристическим свойством рекуррентности,и пе будет периодического типа, если только функция / пе окажется слишком близкой к периодической. [c.247]

Аналитичность. Из спектральной теории операторов известно, что = Е — Я) 1 является аналитической операторной функцией Е, регулярной всюду в плоскости с правым разрезом, за исключением точек, соответствующих связанным состояниям. Спрашивается, почему же тогда S не регулярна с необходимостью там, где регулярна I/ Это различное поведение и 5 на физическом листе обусловливается тем, что матричные элементы 5 вычисляются для зависящих от энергии волновых функций, которые при комплексных значениях энергии не дгогут быть нормируемыми. Именно это обстоятельство ответственно за возможное отсутствие регулярности функции S там, где функция. V i регулярна, а равно и за возможное появление кратных полюсов у S в точках, в которых функция должна иметь только простые полюсы. Более того, поскольку соответствующий матричный элемент от вычета функции У может обращаться в нуль, то функция S к) необязательно должна иметь полюсы в точках полюсов для Поэтому исследование д как операторной функции Е намного проще исследования S-матрицы. В случае можно привлечь общий и хорошо разработанный операторный формализм S-матрицу же удобнее исследовать методами, которые используются в настоящей главе. [c.328]

Если потенциал аналитический (с индексом а = /гя), т. е. является, например, суперпозицией потенциалов Юкавы (12.22а), то 5 можно аналитически продолжить на весь первый и второй лист римановой поверхности, за исключением линий разрезов Юкавы на обоих листах, которые идут вдоль действительной оси от точки Е -= — аУ >[1 до —сх>. Эта линия разреза на физическом листе обычно называется левым разрезом. Помимо этого, 5, конечно, может иметь (и обычно имеет) полюсы на втором листе. В полюсах на физическом листе, соответствующих связанным состояниям, функция 5 обязательно имеет отрицательные мнимые вычеты, если таковые расположены до начала левого разреза, т. е. если ев < В противном случае из (12.32а) нельзя [c.330]

В результате получаем, что вычет функции S в полюсе, соответствующем связанному состоянию (если только функцию можно аналитически продолжить в окрестность этого полюса), факторизуется в том смысле, что [c.434]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...