Разложение аналитической функции в степенной ряд

РАЗЛОЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД [c.197]

Отметим несколько свойств аналитических функций, которые вытекают из их представимости степенными рядами. Во-первых, любой степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, поэтому аналитические функции обладают производными всех порядков. Отсюда следует, что разложения аналитических функций в степенной ряд совпадают с их разложениями по формуле Тейлора [c.72]

Разложение в степенные ряды 197 Аналитическое выражение функций [c.547]

Предположим, что нелинейные функции в уравнениях случайных колебаний являются аналитическими и допускают разложение в степенные ряды с ограниченным числом членов. Тогда для вывода моментных соотношений и приближенного исследования стационарных процессов может быть применен метод спектральных представлений в виде стохастических интегралов Фурье. [c.91]

Ясно, что из доказанной сходимости разложения со в степенной ряд по к для достаточно малых значений к следует сходимость разложения Чепмена — Энскога для очень ограниченного класса зависимостей от пространственных переменных все производные газодинамических переменных должны быть равномерно ограничены по порядку производных, а это означает, что они не только аналитические, но также и целые функции. [c.170]

Применение конформного отображения и преобразования краевых условий к виду (8.189) и (8.190), которые выражают эти условия на окружности круга, позволяет применить для отыскания неизвестных функций <р (С) и ф (С) разложение их в степенные ряды. Эти функции суть аналитические внутри [c.228]

Из первых двух формул Колосова непосредственно следует, что ф (г) и i 3 (z) являются однозначными и дифференцируемыми, т. е. аналитическими функциями. Поэтому ф г) и i )(z) имеют такой же характер и могут быть представлены в односвязной области в виде разложений в степенные ряды [c.213]

Покажем теперь, что всякая функция /(г), аналитическая в некотором круге 12 — 61 < / с центром Ь, может быть представлена внутри этого круга степенным рядом (3) и что такое разложение единственно. Представление функции таким степенным рядом называется разложением в ряд Тейлора. [c.530]

Заметим, что матрица М должна быть положительно определенной, поскольку квадратичная форма 2, данная равенством (17.33) или (17.39), есть среднее число фотонов, подсчитанных в некотором когерентном поле. Таким образом, собственные значения aSi положительны, и сингулярности производящей функции лежат на отрицательной части действительной оси переменной Я. Поскольку функция Q аналитична в полуплоскости Re Я > О, мы видим, что если разложить функцию Q в степенные ряды около точки Я = О или Я = 1, то эти разложения в ряды в других точках можно вычислить в принципе методом аналитического продолжения. Это соображение показывает, что использованная нами процедура вычисления производящей функции посредством ее разложения в точке Я = О действительно ведет к единственному результату для распределения вероятности. [c.185]

Отсюда прежде всего следует, что р является аналитической функцией в окрестности х = О, г] = О я что существует разложение в сходящийся степенной ряд следующего вида [c.220]

Большинство физических задач, с которыми сталкиваются сегодня инженеры, физики и специалисты в области прикладной математики, обнаруживает ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения. Такими особенностями являются, например, нелинейности, переменные коэффициенты, границы сложной формы и нелинейные граничные условия на известных или, в некоторых случаях, неизвестных границах. Если даже точное решение некоторой задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. Примерами таких задач являются функции Бесселя большого порядка при больших значениях аргумента и двоякопериодические функции. Таким образом, для получения информации о решениях уравнений мы вынуждены прибегнуть к аппроксимациям, численным решениям или к сочетанию этих двух методов. Среди приближенных методов прежде всего следует назвать асимптотические методы возмущений, которые и являются предметом этой книги. Согласно этим методикам, решение представляется несколькими первыми членами асимптотического разложения, число которых обычно не превышает двух. Разложения могут проводиться по большому или малому параметру, который естественно возникает в уравнениях или вводится искусственно для удобства. Такие разложения называются возмущениями по параметру. С другой стороны, разложения могут быть проведены по координатам для больших или малых значений в этом случае они называются возмущениями по координатам. Примеры разложений по параметру и координате и их существенные характеристики даны в 1.1 и 1.2. Для формализации понятий пределов, оценок погрешности в 1.3 введены определения символов порядка и другие обозначения. Параграф 1.4 содержит опреде ления асимптотического разложения, асимптотической последовательности и степенного ряда в 1.5 дается сравнение сходящегося и асимптотического рядов. Затем, в 1.6 определены равномерные и неравномерные асимптотические разложения. Краткая сводка операций над асимптотическими разложениями дана в 1.7. [c.9]

Если подойти к определению аналитической функции другим путем, а именно, охарактеризовать ее возможностью разложения в сходящийся степенной ряд, то можно получить [c.23]

Аналитический вид функции Ь х) может быть найден только методами статистической физики. Мы будем называть ее обобщенной функцией Ланжевена, или для краткости просто функцией Ланжевена по своему физическому смыслу она представляет собой степень ориентации элементарных магнитных моментов. Мы увидим в дальнейшем, что существует несколько различных функций Ь(х) — классическая функция Ланжевена и ряд квантовых функций Ланжевена. По этой причине мы не будем пользоваться явным видом функции Ь(х), тем более, что для получения большинства физических результатов существенны только следующие качественные свойства всех функций Ь(х) при X = МоН/КТ 1 (сильные поля и низкие температуры) имеет место эффект насыщения и Ь(х) 1 при х °о. Наоборот, при х 1 (слабые поля и высокие температуры) степень ориентации магнитных моментов мала и Ь(х) 1. Тангенс угла наклона кривой Ланжевена при X = о отличен от нуля Ь (0) 0, и разложение функции Ь(х) при [c.74]

Этот результат весьма полезен с математической точки зрения, так как ясно показывает причину непригодности как Я-разложения, так и вириального разложения. Действительно, поскольку Ид из этого результата следует, что главная поправка к свободной энергии имеет порядок Наличие полуцелых степеней указывает на то, что свободная энергия плазмы не является аналитической функцией Я, или п. Начало отсчета в обоих случаях (Я = О или га = 0) является точкой ветвления функции Ос (Я, га). Следовательно, эту функцию нельзя разложить в ряд Тейлора вблизи начала отсчета именно такой результат мы и получили. [c.251]

Аналитические функции фо г) и зо(г) представимы в кольцевой области в виде разложения в ряд Лорана с положительными и отрицательными степенями, т. е. [c.215]

Представление функций рядами Лорана дает возможность классифицировать изолированные особые точки аналитической функции, т. е. те особые точки, которые являются центром некоторого, достаточно малого круга, в котором нет других особых точек функции. Вблизи такой точки аналитическая функция может быть разложена в ряд Лорана с кольцом сходимости, у которого внутренняя окружность вырождается в точку. Если разложение (13) 3 содержит конечное число членов с отрицательными степенями (г — Ьу), т. е. имеет вид [c.534]

Для того, чтобы доказать утверждение /, заметим, что при малых к радиальные направления поворачиваются указанным образом по крайней мере для точек, близких к началу координат, потому что разложения Р1, 1 в ряды по степеням р, д имеют члены не выше четвертой степени, не зависящие от к, и изменяются как аналитические функции от к. С другой стороны, угол, на который поворачивается радиальное направление влево, будет аналитической функцией от р, д. исключая начало координат эта функция положительна при к = О (за исключением начала координат) и, следовательно, будет положительной вне некоторого круга р = 5 > О при достаточно малых к. [c.333]

Отсюда, зная разложение функции / в ряд по степеням 7, легко получить разложение для 1, а также перенести заключение об аналитичности / на f. Функция f при любом фиксированном к является целой аналитической функцией 7, а при любом фиксированном 7 — аналитической функцией к, регулярной в области 1т й > О и непрерывной вместе со своей производной в области 1т 0. Для того чтобы эти утверждения были справедливы, потенциал обязательно должен удовлетворять условиям (12.9) и (12.21). Если, кроме того, выполняется условие (12.20), то функция аналитична также и в области О 1т /г > — а. Рассмотрение возможностей расширения области аналитичности функции /, приведенное в п. 1, полностью переносится на [c.318]

Вопрос о сходимости разложения, упоминаемого в пункте (И), гораздо более сложен. Действительно, в этом случае мы имеем дело со степенным рядом по е (50), и вопрос о его сходимости решается, в отличие от случая ряда (51), исследованием особых точек аналитической функции и = и е,1) в поле комплексных значений е при произвольных фиксированных вещественных значениях ь (именно по этой причине потребуется рассматривать формулы, приводившиеся в 284, также при комплексных значениях z—e). Кроме того, коэффициенты степенного ряда (50) зависят от Поэтому радиус сходимости р этого ряда является функцией р ( ) вещественной угловой переменной Правда, достаточно исследовать функцию р ( ) при О л / 2, так как ввиду симметрии эллиптического движения по отношению к обеим осям декартовых координат имеем [c.259]

Если переменную ф считать комплексной, то правые части равенств (5.6.7) и (5.6.8) будут целыми функциями, и, исключив ф, мы получимх как аналитическую функцию от т. Разложение 3Toii функции в степенной ряд в окрестности точки т О имеет вид [c.78]

Аналитическое решение полученных уравнений дл5Г профиля произвольной конфигурации затруднительно. Для замкнутых профилей может быть использован прием разложения искомых функций В тригонометрические ряды по периметру сечения. Таким образом, получаются бесконечные системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов этих рядов. Ограничившись тем или иным числом учитываемых членов ряда, можно получить решение с требуемой степенью точности. [c.434]

Найденное любым способом разложение аналитической функции в ряд по положительным и отрицательным степеням г — а является лорановским разложением этой функции. [c.198]

В этом случае компоненты интенсивности пульсаций, отнесенные к осреднеи-ной продольной скорости V2, пришмают на оси экстремальные значения [86]. Опираясь на уравнения для Ц V, введем скалярный потенциал = (х,> ,г), см. п. 1.2.1. Полагаем, что функции /7, V, IVq, И , р, t], А, С, ии, Ti" и т. д., характеризующие осредненное течение, в новых переменных явно от времени не зависят д<р Iд = Q), и аргументами для них являются х, . Уравнения пульсационного движения определяют м, и, и о, w,, р, зависящие от аргументов X, t. Решение построено в виде разложений искомых функций в ряды по степеням < О < < , < 1 с, —> О, > -со, О2 - 0,р р . Уравнения д.чя коэффициентов этих рядов решены методом дифференциальных операторов все подробности аналитического алгоритма даны в [24, 25]. В результате пол> чепо локальное решение, характеризующее квазистационарное турбулентное течение вдоль оси симметрии канала. Обсудим свойства этого решения. [c.38]

Аналитические вычисления, необходимые для решения дифференциального уравнения (7.28), довольно затруднительны. Г. Блазиус получил решение, применив разложение функции / (т)) в степенной ряд в окрестности точки т) = О и асимптотическое разложение для больших т) и затем сомкнув оба разложения в некоторой подходящим образом выбранной точке т). Этот способ подробно изложен Л. Прандтлем в работе [ ]. Позднее Л. Бэрстоу 14 и С. Голдстейн [ ] еще раз решили это уравнение несколько иным способом. [c.134]

Эта задача решена численным методом в [Л. 10 и 1 ]- Аналитическое решение с помощью метода Ритца впервые получено Лейбензоном [Л. 12] и уточнено в (Л. 3]. Решение, основанное иа разложении функции распределения температуры по сечению потока в степенной ряд, дано Марьямовым [Л. 13], а также в [Л. 14 и 6]. [c.91]

Однако необходимо отметить, что разложение в ряд (IV.49), очевидно, не единственно возможное. Не существует математического доказательства того, что ряд (IV.49) должен сходиться быстрее, чем степенной ряд (IV.50). Единственным аргументом в пользу такого вывода служит хорошее согласие с экспериментом, которое видно из фиг. 23. С теоретической точки зрения, можно лишь с определенностью утверждать, что разложение (t) в степенной ряд справедливо до члена с Тогда можно доказать, что Gi t) может быть а priori представлено с помощью любой четной функции F (t) с F 0) — i, F" (0) — М2, F (0) = М4. Главным критерием для выбора этой функции служат простота и согласие с экспериментальной кривой Gi t) в широкой области. Экспериментальные кривые очень похожи на аналитическую кривую [c.122]

Теория возмущений п-го порядка в смысле Крылова — Боголюбова содержит возмущения любого порядка (не только до п-го), найденные классическими методами теории вог муще1шй. Если вектор-функция Z(z, t, ) является аналитической относительно р S [О, ji ], то в этом случае можно ожидать, что функции Ui, z,t, ) также окажутся аналитическими относительно р е [О, Z [О, где существование величины ц, , гарантируется теоремой Коши о существовании аналитического реншпия. Но нрп этих условиях функции Uk z,t, ) могут быть представлены в воде рядов по степеняй Р, и, подставляя их в формулу для замены переменных (58), можно перестроить полученные разложения в классические разложения теории возмущений по степеням малого параметра ц. [c.32]

Естественно, что научные вопросы составляют если не наибольшую по объему, то, во всяком случае, наиболее существенную часть переписки. И здесь, прежде всего, необходимо отметить, что, несмотря на достаточное разнообразие затрагиваемой в переписке научной тематики, есть одна доминирующая тема, к которой чаще всего обращается Софья Васильевна — это вопрос об интегрировании уравнений при помощи аналитических функций, главным образом при помощи абелевых функций, и прежде всего вопрос об интегрировании уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки — это задача, прославившая С. В. Ковалевскую. Школа Вейерштрасса — это, конечно, школа теории функций комплексного переменного здесь разбираются и изучаются общие теоремы и общие методы теории, идет сравнение методов самого Вейерштрасса, алгебраизированных методов, основанных на систематическом применении степенных рядов, и методов, основанных на теоремах Коши это работы Миттаг-Леффлера , юного Рунге, начинающего Гурвица. А кстати изучаются вопросы об области существования аналитических функций, о разложении функций в ряд — это работы Бендиксона, Фрагмена. [c.17]

Имеется аналогия между преобразованием Лапласа и степенными рядами [29]. Как известно, степенной ряд сходится в некотором круге — круге сходимости. Радиус круга сходимости равен расстоянию от точки, относительно которой идет разложение в ряд, до ближайпхей особой точки разлагаемой функции. Интеграл, представляющий (одностороннее) преобразование Лапласа, вообще говоря, сходится в полуплоскости комплексной плоскости, лежащей справа от некоторой прямой, параллельной мнимой оси. Ясно, что на прямой, являющейся границей сходимости интеграла, обязательно лежит особая точка преобразования как функции комплексного аргумента. Сказанное не означает, что преобразование имеет смысл только там, где сходится интеграл (как и в случае рядов). Часто функцию можно аналитически продолжить, иногда на все точки комплексной плоскости, кроме некоторых, особых. [c.106]

При изучении вопроса о концентрации напряжений около щелей и трещин значительный интерес представляет решение смешанных задач теории упругости для неклассических областей типа полосы (слоя). В математическом отношении эти задачи очень трудны. Однако начатое около десяти лет назад систематическое исследование этого вопроса привело к созданию эффективных методов решения задач такого класса (В. М. Александров, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Я. С. Уфлянд и др.). Методами операционного исчисления эти задачи довольно легко сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с нерегулярным ядром. Наибольший эффект в нахождении удобных для практического использования решений этих уравнений был достигнут при использовании специфичных асимптотических методов. Начало исследований вопроса равновесия трещин в полосе было положено И. А. Маркузоном (1963). В. М. Александров (1965) исследовал равновесные трещины вдоль полосы или слоя, где интегральное уравнение строится для функции, определяющей форму трещины. Им получено приближенное решение путем разложения ядра уравнения в ряд при больших отношениях толщины к размеру трещины и получены зависимости нагрузки от размеров трещины. Используя этот метод и решения уравнений Винера — Хопфа, В. М. Александров и Б. И. Сметанин (1965, 1966) получили выражение для коэффициента интенсивности напряжений на краях равновесной трещины в слое малой толщины. Для случая постоянной нагрузки определяется связь размера равновесной трещины с действующей нагрузкой. Аналогичное решение получено для дискообразной трещины в слое конечной толщины. В. М. Ентов и Р. Л. Салганик (1965) рассмотрели в балочном приближении задачу Ь полубесконечной трещине, проходящей по средней линии полосы, причем для нагрузок, приложенных к берегам трещины, задача сводится к рассмотрению расслаивания под действием нормальной или тангенциальной силы. В этой работе с помощью метода Винера — Хопфа получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений для достаточно больших и достаточно малых значений отношения расстояния от конца трещины до точки приложения силы к полуширине полосы. Используя аналитический метод, развитый В. М. Александровым и И. И. Воровичем (1960) при исследовании контактных задач для слоя большой относительной толщины, Б. И. Сметанин (1968) рассмотрел задачу о продольной щели в клине, а также плоскую и осесимметричную задачи о продольной щели в слое при различных условиях на гранях клина и слоя. Для щели, расположенной симметрично относительно граней клина (слоя), и нормальной нагрузки, приложенной к поверхности щели, получены формулы для определения поверхности щели. Коэффициент интенсивности напряжений выражается в виде асимптотического ряда по степеням безразмерного параметра. [c.383]

Осесимметричный электростатический или магнитный скалярный потенциал можно вычислить по его осевому распределению, используя расходящийся ряд (3.20) или комплексный интеграл (3.112). Компоненты электрического поля и вектора магнитной индукции определяются рядами (3.38) —(3.40) и (3.45) — (3.47) соответственно. Комплексный интеграл может -быть вычислен только для аналитических функций. Разложение степенного ряда требует, чтобы осевое распределение задавалось как 2(п—1) раз дифференцируемая функция координаты Z, где п — число членов степенного ряда. К сожалению, для лриемлемой сходимости необходимо весьма большое п. Если осевое распределение задано набором численных данных (что является обычным при процедурах оптимизации, обсуждаемых дальше) или даже если оно известно в виде громоздкой аналитической функции, то производные высших порядков необходимо получать численными методами, которые дают большие погрешности (см. разд. 3.3.5.1). [c.532]

Из (16) видно, что функция I = t(J) обладает в окрестности момента столкновения г = О единственной обратной функцией I = г (г), которую можно разложить при малых i О в вещественный степенной ряд по степеням Уi 0. Подставляя это разложение Пюизо функции 1=1(1) в (15), видим, что особая точка для координат х = х 1), у = у(1.) в момент i = О столкновения имеет такой же характер, как и в 269 (или в 414). В частности, формулы (15) —(16) дают униформизацию координат х = х(Ь), у = у(1) при i = 0. Такпм образом, движение определяется для моментов I, следующих за моментом столкновения i = О с помощью вещественного аналитического продолжения. [c.433]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...