Функция аналитическая первого порядка

Изучение фазового портрета системы первого порядка позволяет сделать следующий вывод если функция / (л ) аналитическая на всей прямой, то периодические движения [c.23]

Функцией Я (ф) скорости движения или передаточной функцией первого порядка какого-либо звена называется аналитическое представление производной первого порядка функции перемещения по координате входного звена [c.85]

Это и будут уравнения Маджи [ ]. Они вместе с уравнениями (77) с аналитической точки зрения дают в дифференциальной форме полную постановку задачи о движении для системы 5 с двусторонними идеальными (в том числе и неголономными) связями. Действительно, если представим себе, что в уравнения (82) вместо величин q подставлены их выражения (77) через е и и выполнено дифференцирование по t, то будет очевидно, что после выполнения всех преобразований в уравнениях останутся, помимо q, е, t, только v производных ё от е, которые войдут в них линейно. Замечания, совершенно аналогичные тем, которые были сделаны в п. 36, приводят к выводу, что полученные таким образом из системы (82) v уравнений разрешимы относительно этих v производных е, так что мы заключаем, что уравнения (77) и (82) вместе составляют дифференциальную систему уравнений первого порядка, приводимую к нормальному виду относительно я-f-v неизвестных функций времени q VI е. Если конфигурация и состояние движения материальной системы в начальный момент заданы, т. е. заказаны произвольные численные начальные значения q (позиционных координат)и е (кинетических характеристик), то движение неголономной системы будет однозначно определено. [c.326]

По поводу различных задач, относящихся к движению системы материальных точек и рассмотренных до сего времени, можно сделать одно важное и интересное замечание Во всех случаях, когда силы являются функциями только координат движущихся точек и когда задачу удалось свести к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка с двумя переменными, оказывается также возможным свести эту задачу к квадратурам. Мне удалось превратить это замечание в общее положение, которое, как мне кажется, дает новый принцип механики. Этот принцип, так же как и другие общие принципы механики, дает возможность получить интеграл, но с той разницей, что другие принципы дают только первые интегралы дифференциальных уравнений динамики, тогда как новый принцип приводит к последнему интегралу. Этот принцип обладает общностью, более высокой, нежели другие принципы, потому что он применим к случаям, когда аналитические выражения сил, а также уравнения, выражающие структуру системы, содержат координаты движущихся точек в любой форме. С другой стороны, принципы сохранения живых сил, сохранения площадей и сохранения центра тяжести во многих отнощениях имеют преимущество перед новым принципом. Прежде всего, эти принципы дают конечное уравнение между координатами движущихся точек и составляющими их скоростей, тогда как интеграл, получаемый на основании нового принципа, требует еще квадратур. Во-вторых, применение нового принципа предполагает, что уже найдены все интегралы, кроме одного, предположение, которое осуществляется лишь в очень небольшом количестве задач. Но это обстоятельство не может уменьшить- ценности нового принципа, в чем, я надеюсь, убедит применение его к нескольким примерам. [c.294]

Здесь Wj x, t) = Uj x, t) + ivj x, t) — комплексный прогиб ротора на/-м участке EI тир— постоянные на каждом участке жесткость на изгиб и масса единицы длины i, с — линейная и угловая жесткость опор. Функции fj,gj,Pj,Fj,Gj,Pj непрерывны и периодичны по времени t кроме того, предполагается, что они могут быть нелинейными функциями, но аналитическими относительно X, малого параметра fi, функций Wj и их частных производных Wj по t я X необязательно первого порядка. [c.7]

Рассмотрим снова простейшую систему, случайные колебания которой описываются дифференциальным уравнением первого порядка (3.1). Будем считать нелинейную восстанавливающую силу F (и) нечетной аналитической функцией, представимой в виде степенного ряда. При конкретных расчетах введем кубический закон нелинейности [c.61]

Здесь под g ( ) подразумевается функция, которая должна быть аналитической всюду в интересующей нас области, за исключением точек = О и = оо в этих точках функция g (Z) может иметь полюс, но ие выше первого порядка. [c.191]

Рассмотрим изгибания сферы. Если последняя замкнута, то они задаются комплексной функцией перемещений g (S), которая должна быть аналитической во всей плоскости С, за исключением точек С = О, = оо в них для g (С) можно допустить полюсы не выше первого порядка ( 13.4). По теореме Лиувилля все функции, обладающие такими свойствами, задаются равенством [c.238]

Для того чтобы описать свойства пучка, определим для аналитического сигнала полный класс корреляционных функций. Однако ограничимся пока рассмотрением функций первого порядка. [c.447]

Предложение 2. Пусть функция со (О является аналитической во всей плоскости f, за исключением бесконечно удаленной точки, в которой она имеет полюс первого порядка, и, может быть, конечного числа изолированных точек однозначного характера, расположенных внутри единичного круга I f I < 1 Тогда второе краевое условие (1.2.4) может быть аналитически продолжено во внешность единичного круга I f I > 1 при помощи функционального уравнения (1.2.10). [c.11]

Точка Г] = О при выполнении (54) также является особой для уравнения (53). К уравнению первого порядка обычными приемами (53) уже не сводится. Из теоремы 2 следует, что существует особая интегральная кривая Н = i ( ]), удовлетворяющая (54), и функция Н( ]) является аналитической в некоторой окрестности нуля. Всю особую интегральную кривую можно найти путем численного интегрирования (53). Краевой режим и,(0, t) = = f t), соответствующий (49), неявно определяется уравнением [c.276]

Получено представление решений смешанных задач Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными и аналитическими коэффициентами в виде рядов по некоторым специальным системам функций, зависящих от характеристической переменной. Исследована сходимость рядов для конкретных систем функций. Приведены результаты численных расчетов. [c.332]

Аналитическая функция /(С) голоморфна в области Д, за исключением точки С — оо, в которой она имеет, очевидно, полюс первого порядка. Поэтому эта функция должна разлагаться в ряд Лорана следующего вида [c.258]

Если Р-представление обладает значительной сингулярностью, то, как отмечалось выше, поле всегда можно описать аналитическими функциями Р ( а , Рй ) и соответствующими операторами плотности вида (9.5). При вычислении с помощью этих операторов корреляционной функции первого порядка получаем [c.108]

Неизвестные функции а (а, р, /, М, й, й),. .., (а, р, г, М, й,й), согласно методу Н. И. Боголюбова, находятся как решения некоторых линейных уравнений в частных производных первого порядка [36]. Этот асимптотический метод особенно эффективен, когда уравнения промежуточного движения удается проинтегрировать. В этом случае упомянутые уравнения в частных производных решаются в аналитическом виде, и последовательно можно найти сначала возмущения первого порядка в смысле Н. И. Боголюбова а, р. ....шь далее, возмущения второго порядка аг, Р2,. ... сог и т. д. [c.442]

В случае системы двух линейных уравнений с частными производными первого порядка с постоянными коэффициентами для двух независимых функций щ и 2 эту систему можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами для функции щ или 2. Тогда решения краевых задач можно определить в аналитическом виде 24, 62]. В этом случае можно также использовать интегральное преобразование Лапласа (см., например, п. 15). Этот метод, однако, непригоден в некоторых случаях, именно тогда, когда вместе с решением данной системы уравнений необходимо определить границу области, в которой ищется решение, например при определении волны разгрузки для упругопластической среды (с кусочно линейной характеристикой материала). [c.68]

В канонические уравнения возмущающая функция непосредственно не входит, а входят ее частные производные первого порядка, поэтому их разложения представляют особенный интерес. Если разложение возмущающей функции задано в аналитической форме, и особенно в виде ряда, расположенного по [c.321]

Тогда. уравнения (5.3.9) совместно с уравнением (5.3.10) составят систему шести уравнений первого порядка. Коэффициенты этих уравнений, когда последние приведены к нормальной форме, представляют собой аналитические функции относительно независимого переменного у и параметров М , aR, и с. [c.103]

Большинство физических задач, с которыми сталкиваются сегодня инженеры, физики и специалисты в области прикладной математики, обнаруживает ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения. Такими особенностями являются, например, нелинейности, переменные коэффициенты, границы сложной формы и нелинейные граничные условия на известных или, в некоторых случаях, неизвестных границах. Если даже точное решение некоторой задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. Примерами таких задач являются функции Бесселя большого порядка при больших значениях аргумента и двоякопериодические функции. Таким образом, для получения информации о решениях уравнений мы вынуждены прибегнуть к аппроксимациям, численным решениям или к сочетанию этих двух методов. Среди приближенных методов прежде всего следует назвать асимптотические методы возмущений, которые и являются предметом этой книги. Согласно этим методикам, решение представляется несколькими первыми членами асимптотического разложения, число которых обычно не превышает двух. Разложения могут проводиться по большому или малому параметру, который естественно возникает в уравнениях или вводится искусственно для удобства. Такие разложения называются возмущениями по параметру. С другой стороны, разложения могут быть проведены по координатам для больших или малых значений в этом случае они называются возмущениями по координатам. Примеры разложений по параметру и координате и их существенные характеристики даны в 1.1 и 1.2. Для формализации понятий пределов, оценок погрешности в 1.3 введены определения символов порядка и другие обозначения. Параграф 1.4 содержит опреде ления асимптотического разложения, асимптотической последовательности и степенного ряда в 1.5 дается сравнение сходящегося и асимптотического рядов. Затем, в 1.6 определены равномерные и неравномерные асимптотические разложения. Краткая сводка операций над асимптотическими разложениями дана в 1.7. [c.9]

Между аналитическими и гармоническими функциями имеется тесная связь. Пусть w (г) = и х, у) + iv х, у) — аналитическая функция на области D. Тогда для любых z D существуют частные производные ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy и выполняются условия Коши—Римана. Предположим дополнительно, что производные ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy сами непрерывно дифференцируемы (можно доказать, что аналитическая функция обладает непрерывными производными любых порядков и, следовательно, это предположение соответствует действительности). Дифференцируя первое равенство (5.6) по х, второе по у и складывая, приходим к уравнению Лапласа (5.7). Точно так же, дифференцируя первое равенство (5.6) по у, второе по д и вычитая, приходим к уравнению Лапласа дЪ/дх -f d v/dy = 0. Таким образом, установлено, что действительная и мнимая части аналитической функции являются функциями гармоническими. Более того, установлено, что функции класса С, связанные условиями Коши—Римана, — гармонические. [c.179]

Гв) и пароперегреватель (Тм Тв) при величине 1 = = 5- 20. Для одного из этих двух наиболее интересных типов радиационных аппаратов (пароперегревателя) выше было приведено сопоставление точных разгонных кривых температуры по всем каналам передачи возмущений ( 1—q—А, Dbi—Pi—с характеристиками модели с сосредоточенными параметрами (см. рис. 5-15) и аппроксимирующими разгонными характеристиками звеньев первого и второго порядков (см. рис. 7-11). Аналитические выражения нормированных разгонных функций приведены в соответствующих разделах. Коэф- [c.305]

Функцией П (ф) скорости движения кдкого-либо звена или передаточной функцией первого порядка назьшают аналитическое представление производной первого порядка функции перемещения по координате ф входного звена [c.64]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

Это соотношение показывает, что во всех внутренних точках срединной поверхности оболочки, за исключением, быть может, С = О и С = комплексная функция перемещений g (О должна быть аналитической, а в точках S = О и С = сю она моэюет иметь полюс, но не выше первого порядка. [c.185]

В ней функция / должна иметь нуль, и притом первого порядка, ибо в окрестности нулей высшего порядка аналитическая функция не взаимно однозначна (она имеет там характер степени). Поэтому в окрестности 2о функция / должна иметь тейлоровское разложение вида [c.85]

Решение находилось методом Рунге — Кутта — Мерсона с относительной погрешностью на шаге 10 . Интегрирование проводилось до некоторой точки сшивки лежащей в области наибольших по абсолютной величине производных. Решение ui. (х), аналитическое в окрестности точки x = —i, при ж = 1, вообще говоря, становится неограниченным. Однако если существует такой набор параметров Ие и Рг, при котором u L x) является аналитическим и при ж = 1, то с точностью до постоянных множителей функции n t. (х) и и+ (х) совпадут всюду на интервале [—1, 1]. Чтобы это произошло для линейного однородного уравнения второго порядка (6), достаточно совпадения функций и первых производных в произвольной точке Жс (— 1,1). Эти условия в терминах функций u L x) и и х) имеют вид линейной системы уравнений [c.262]

Коши ( au hy) Огюстен Луи (1789 - 1857) — известный французский математик, один и.э основоположников теории аналитических функций. Окончил Политехническую школу (1807 г.), Школу дорог и мостов (1810 г.) в Париже. В 1810 1813 гг. работал инженером на постройке порта в Шербуре. С 1816 г. профессор Политехнической школы, Сорбонны, Колеж де Франс (1848 - 1857 гг.). Написал более 700 фундаментальных работ по теории функций, математическому анализу, математической физике. Создал теорию функцнй комп-лексного переменного. Заложил основы теории сходимости рядов. Ему принадлежит постановка одной из ос новных задач теории дифференциальных уравнений, метод интегрирования уравнений с частными произвол ными первого порядка. В теории упругости ввел понятие напряжения, расширил понятие деформации и ввел соотношения между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций для изотропного тела. Исследовал задачи о деформации стержней, в частности задачу о кручении. В оптике развил математические основания теории Френеля и дисперсии. [c.242]

С другой стороны, можно определить грубость динамической системы, предполагая правые частп рассматриваемых динамических систем аналитическими (или имеющими непрерывные частные производные до порядка т) при другом определении близости динамической системы. Именно, можно считать близкими динамические системы (А) и (A), у которых близки не только сами функции и пх производные первого порядка, но и все соответствующие производные до порядка т. Это, очевидно, означает, что мы рассматриваем пространство, точками которого являются динамические системы с аналитическими правыми частями, в котором расстоянием между двумя точками М п М — одной, соответствующей системе (А), другой — системе (А), является наибольшая из величин [c.149]

Найденные выражения для весовых функций меры Планшереля основной непрерывной серии унитарных представлений полупростых групп Ли являются аналитическими функциями параметров представления р, обладающими полюсами не выше первого порядка (за счет гиперболических тангенсов). Расположение полюсов и их количество находится в однозначном [c.109]

Теорема Сундмана. Если у решения задачи трех тел момент количества движения отличен от нуля, то существуют такие I и что в полосе 1ш.ч < 6 координаты всех трех тел, попарные расстояния между ними и время I являются аналитическими функциями переменной, ч, связанной с временем Ь соотношением (22). В той же полосе скорости тел могут иметь на вещественной оси з лишь полюсы первого порядка. [c.37]

Во.второй части изучаются специальные задачи равновесия оболочек, приводящиеся к эллиптическим системам первого порядка или к уравнениям второго порядка эллйптического типа. Это дает возможность получить плодотворны е применении теории аналитических и обобщенных аналитических функций в теории оболочек. [c.2]

Для аналитического определежя движения, которое мы желаем сообщить точке Н оси Ог, достаточно задать 0 и ф в функции t, так как эти два угла определяют направление оси Ог. Мы предполагаем, что движение, которое сообщается точке Н, удовлетворяет обычным условиям, т. е. что скорость и ускорение точки Н остаются меньше некоторого определенного предела или, что то же, 0 и ф, которые являются функциями времени t, а также их производные 0, ф, 8", ф" первого и второго порядков не превосходят по абсог лютным значениям некоторого определенного предела X. При этих условиях величины [c.192]

Формулы теории возмущений дают возможность, пользуясь невозмущенными функциями (г, т) и +(г, х), найти в первом приближении изменение линейного функционала температуры при изменении параметров системы. Особенно это важно в тех случаях, когда прямое решение задачи затруднительно даже для численного расчета (например, когда возмущение носит локальный характер) или не может обеспечить нужной точности [64, 75]. Так, полезно применять теорию возмущений при приближенном решении задач теории теплопроводности на основе упрощенных допущений о характере пространственно-температурной зависимости теплофизических констант. В этих случаях можно оценить погрешность определения интересующего функционала температуры из-за принятого допущения. При этом есть возможность развить теорию возмущений высоких порядков, что особенно удобно, если сопряженная температура выражается аналитически. Формулы теории возмущений могут быть полезны также для тех задач, в которых трудно найти прямое решение из-за азимутальной зависимости условий теплосъема или источников тепловыделения. [c.111]

Давление р (р) можно определить по значению за ударной волной (1.6), положив Pi =р, тогда величина р2 на ударной волне равна нулю. Следует подчеркнуть, что зависимость р2 от параметра е определяется из регнения задачи и может не иметь аналитического представления. Однако если главный член разложения этой функции будет порядка с а > — 1, то полученные результаты останутся справедливыми, и отброгненные члены будут порядка выгпе первого. [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...