Коши интеграла аналитической функции

Первый интеграл в левой части равенства на основании интегральной формулы Коши равен (g). Второй же интеграл равен постоянной на основании следующей теоремы теории аналитических функций для того чтобы непрерывная на окружности у функция / (х) была граничным значением аналитической функции внутри окружности у, необходимо и достаточно, чтобы [c.171]

Интеграл типа Коши записывается также в виде (1.5), ио теперь откажемся от предположения, что функция /(т) есть краевое значение аналитической функции. Покажем, что интеграл типа Коши порождает некоторые аналитические в областях 0+ и О- функции, которые будем обозначать через Ф+(2) и ф-(2). Эти две функции можно также рассматривать как одну кусочно-аналитическую функцию, которую естественно обозначить через Ф(2). [c.13]

Здесь Ф г) и Фг(2)—аналитические функции, ограниченные в окрестности соответствующих концов и имеющие предельные значения. Формулы (1.22) дают сразу возможность определить поведение интеграла типа Коши в окрестности той точки, где плотность имеет разрыв первого рода. Обозначим эту точку через с, а через Дс —0) и ((с- -0)—предельные значения плотности с разных сторон. Представляя тогда интеграл как сумму интегралов по двум контурам, приходим, используя (1.22), к выражению [c.18]

Это выражение является аналитическим, так как продифференцированный ряд для ф ( ), полученный из (а) 70, является аналитической функцией, если находится вне 7, то есть если 1/ находится внутри 7, Очевидно, функция f( j) является аналитической по у. Следовательно, интеграл от нее по контуру у, то есть в (д), согласно теореме Коши, равен нулю, [c.224]

Интеграл типа Коши и элементы теории аналитических функций [c.8]

Представляет собой аналитическую функцию во всей плоскости комплексного переменного, кроме точек самого контура L. Этот интеграл принято называть интегралом типа Коши, функцию /(т) —его плотностью, выражение 1/(т—z) —ядром. Если в окрестности точки отличной от узлов (в том числе концов), функция /(т) удовлетворяет условию Я, интеграл (1.19) имеет [c.9]

Основное различие между (10.14) и общими решениями модельных уравнений, рассмотренных в предыдущих разделах, состоит в том, что здесь мы имеем двойной интеграл (который существует в обычном смысле) вместо однократного (типа Коши). Трудность заключается в том, что не существует стандартной теории для уравнений с комплексным ядром Коши и — хю)- и двукратным интегрированием такая теория необходима для конструктивного доказательства полноты и ортогональности. Однако эту теорию можно построить [37], используя некоторые результаты теории обобщенных аналитических функций 38]. В общем случае, если о = а + Ф — комплексная переменная, то обобщенная аналитическая функция / — ф является ком- [c.362]

Основное интегральное представление периодических аналитических функций Р (ограниченных в бесконечности) дает интеграл Коши с распространением контура интегрирования на период решетки (как это было сделано на рис. 1) [c.115]

Выражение (31.1), где W t, т) — обобщенное ядро Коши, будем называть обобщенным интегралом типа Коши. Этот интеграл представляет собой обобщенную аналитическую функцию, регулярную по всей плоскости, за исключением точек линии L. Если L не имеет бесконечных ветвей, то поведение Ф( ) в окрестности бесконечно удаленной точки определяется представлением (30.42). В (31.1) молено перейти к интегрированию по дуге L, тогда эта формула принимает вид (30.1). [c.277]

Если в правой части (40.9) заменить Фу(ту) — про-" извольной плотностью, то получится обобщенный интеграл типа Коши, который будет представлять собой некоторую обобщенную аналитическую "функцию. [c.388]

С другой стороны, в случае первой основной задачи уравнение (46.40) имеет более простое ядро по сравнению с (36.10). Кроме того, после решения уравнения (46.40) мы сразу получаем граничное значение р-аналитической функции, в то время как после решения (36.10) соответствующее значение еще нужно будет найти путем вычисления обобщенного интеграла типа Коши. [c.448]

В отличие от интеграла Коши, интеграл типа Коши, внешне представляемый той же формулой (2.1) при ге1>+, образует некоторую аналитическую в /)+ функцию (обозначаем ее через Ф+ 2)), а при геП — аналитическую в В функцию Ф (2), обращающуюся в нуль на бесконечности. Построенные так функции Ф (г) и Ф (г) можно рассматривать как единую кусочно-аналитическую функцию Ф(г). [c.22]

Левая часть (3.9) представляет собой интеграл типа Коши. Следовательно, совокупность К,, и можно рассматривать как единую аналитическую функцию К (к, X Е), определенную во всей плоскости комплексной переменной Е с разрезом, вообще говоря, вдоль вещественной оси. Видно также, что спектральная функция J(к, к -, Е) непосредственно выражается через предельные значения К (к, к Е) на верхнем и нижнем краях разреза. Действительно, при приближении к вещественной оси сверху и снизу (см., например. [И]) соответствующие предельные значения (3.9) имеют вид ) [c.31]

Интеграл Коши. Пусть f z) — функция, аналитическая в односвязной области 5, ограниченной простой кусочно-гладкой замкнутой линией L, и непрерывная в S+L. Тогда значение функции f z) в любой точке z S определится граничным значением этой функции на линии L в виде [c.136]

Интеграл типа Коши. Пусть L — гладкий замкнутый контур в плоскости комплексного переменного а. Область, расположенную внутри контура, будем обозначать через 0+, а вне — через 0 . Пусть непрерывная функция f(т) есть краевое значение на контуре L некоторой функции (г), аналитической в 0+ или в 0 , а точка г располагается либо в 0+, либо в 0 . Рассмотрим интеграл [c.12]

Однако при вычислении интеграла типа Коши слагаемые с такими полюсами отфильтровываются , поскольку представляют собой функции, аналитические внутри единичной окружности, и в окончательное решение не попадают. [c.149]

Преобразованием формулы Коши (4), похожим на описанное, можно получить также интеграл Шварца, который восстанавливает аналитическую в единичном круге функцию /(г) по граничным значениям ее действительной части [c.83]

Эти наблюдения обобщаются на случай полиномиальных интегралов произвольной степени для любого п 1 существует семейство аналитических потенциалов У х,1), 2тг-периодических по X, зависящее от п - 1 произвольной аналитической 2тг-периодической функции, для которых уравнение (3.1) имеет полиномиальный интеграл степени п с однозначными аналитическими коэффициентами. Доказательство основано на применении теоремы Коши — Ковалевской. Однако эту теорему непосредственно нельзя применить к системе (3.4). Преобразуем (3.4), поль- [c.381]

Вместе с тем то обстоятельство, что преобразование Лапласа от ядерной функции есть интеграл типа Коши, сильно облегчает решение задач теории переноса, так как известны аналитические свойства этого интеграла [10,29. [c.107]

Из теоремы Коши следует, что если / (г)— функция, аналитическая в односвязной области О, а I — дуга, расположенная в этой области и соединяющая точки 2 и г, то интеграл [c.214]

Из сказанного в конце п. 3 30 вытекает, что функции т) (к = 3,4) удовлетворяют условию Н х) по обеим переменным, когда х Ь == аЬ, а точка t (1т > 0) находится в окрестности Ь. Каждая из функций Ф 1, / ) является аналитической по переменной < и равна производной по г от обычного интеграла типа Коши, плотность которого удовлетворяет условию Н( х) по т. Поэтому при любом г для нее выполняется неравенство вида (31.19) ([94], 20). Функция З (г, Ь) ограничена при г ф Ь. Отсюда и следует справедливость неравенства (31.19) для Ф Щ, [c.285]

I ется краевым значением функции, аналитической в й ", то на основании интегральной теоремы Коши можно утверждать, что интеграл [c.21]

Из изложенного следует, что, исходя из произвольного гладкого контура Ь и заданной на нем функции ф(тг), можно определить во всей комплексной плоскости (исключая контур V) интеграл типа Коши — кусочно-аналитическую функцию Ф(г), а в точках контура — сингуляр-.ный интеграл Ф(0. Рассмотрим далее предельные значения функций Ф (г) при стремлении точек г к точкам контура Ь изнутри и извне и обозначаемые через Ф (0- Формулы Племели — Сохоцкого устанавливают связь между функциями Ф(0. Ф (0 и Ф (0- Представим их в двух эквивалентных формах [c.23]

В цлтированной выше работе А. А. Соколова указан метод применения теоремы Коши о числе корней аналитической функции в замкнутой области для решения задачи Гурвица путем непосредственного вычисления интеграла от логариц мической произв дной левой части уравнения по полуокружности, лежащей в правой полуплоскости изменения корней и указан прием определения радиуса этой полуокружности, вне ко юрой уравнение не может име1ь корней с положительной вещественной частью. [c.129]

КОШЙ ИНТЕГРАЛ — интегральная ф-.ла, выражающая значение аналитической функции j (z) в точке, лежащей внутри замкнутого контура у, не содержащего внутри себя особенностей / (z), через её значения на этом контуре [c.483]

КОШЙ ТЕОРЁМА — теорема об обращении в нуль интеграла от аналитической функции, взятого вдоль замкнутого контура. Точнее, пусть ф-ция f t) аналитична в области D, а V — кусочно-гладкий контур, лежащий в D и НС содержащий внутри себя особепностей ф-ции [c.484]

Замкнутый контур С лежит в комплексной области, где функция f z) является аналитической, а точка 2 находится внутри контура С. Если f z) — аналитическая функция в верхней нолунлоскости и нри 2 оо убывает как f z) = 0 z ), то интегрирование в формуле (5.2.51) можно производить вдоль действительной оси, так как вклад от интеграла по верхней полуокружности убывает при стремлении ее радиуса к бесконечности. Для таких функций формула Коши записывается в виде [c.367]

Общая теория обобщенных аналитических функций w t, t) была построена И. Н. Векуа [51] в предположении, что козффициенты А В суммируемы со степенью р> 2. В частности, доказаны изолированность нулей и полюсов, справедливость теоремы Сохоцкого — Вейерштрасса для окрестности существенно особой точки, аналог теоремы Лиувилля и т. д. Были получены обобщенная формула Коши и обобщенный интеграл типа Коши. Подобные функции под названием псевдоаналитических изучались Л. Берсом [172] и др. [c.236]

Для значений с отрицательной действительной частью функция, находяш аяся в правой части формулы (16), не дает решения уравнений (3) и (8) 7. Это следует из того, что интеграл типа Коши (13) определяет с разных сторон пути интегриррвания (ooi,—ooi) различные аналитические функции. Функция g (С) для ReS < О должна иметь значения, получаемые аналитическим продолжением через линию (оо , —ooi) значений (16). [c.419]

Обе части уравнения (5.1) содержат интегралы с сингулярными ядрами, поэтому обычные формулы для аппроксимации этих интегралов типа формулы трапеций, дают результат, неравномерно зависящий от размера отрезка интегрирования. Верный способ вычисления таких интегралов - разбить область интегрирования на малые от резки, на каждом таком отрезке искомую функцию представить разложением Тейло ра и получившиеся выражения проинтегрировать аналитически с учетом вида ядра Результат будет зависеть от дифференциальных свойств самой функции, но не ядра Рассмотрим вначале аппроксимацию интеграла типа Коши в правой части (5.1) с рав номерным шагом Дг и запишем его значение в точке (х/ , г,) [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...