Функция аналитическая Римана

Поскольку всякой аналитической функции и (х, у) соответствует другая гармоническая функция v х, у), связанная с ней условиями Коши — Римана, то отсюда следует, что всякую гармоническую функцию и (х, у) можно рассматривать как действительную часть некоторой аналитической функции w (2) = и х, у) + + iv х, у), мнимая часть которой v х, у) определяется равенством (5.9). Но в формуле (5.9) содержится произвольная постоянная С V (хо, у ). Следовательно, соответствуюш.ая гармонической функции аналитическая функция определяется с точностью до чисто мнимой постоянной i . [c.180]

Установленные результаты могут иметь несколько неожиданное следствие. Пусть на контуре задана функция ср(0> имеющая индекс нуль. Тогда эту функцию всегда можно представить в виде отношения двух функций, являющихся краевыми значениями функций, аналитических соответственно в 0+ и 0 (исключая бесконечно удаленную точку), для чего необходимо считать ее коэффициентом вспомогательной однородной задачи Римана. [c.21]

Остановимся на постановке задачи Римана для случая одного разомкнутого контура. Задача Римана будет заключаться в определении теперь не кусочно-аналитической функции, а функции, аналитической во всей плоскости, исключая разрез по данному соотношению между предельными значениями слева и справа искомой функции. Введением дополнительного разреза, соединяющего концы дуг, можно прийти к задаче Римана для замкнутого контура при наличии разрыва в коэф--фициентах G(t) и g(t) (на дополнительном разрезе коэффициент G(t)=l,ag(t)=0). [c.29]

Функция / (г) называется комплексной функцией кручения. Поскольку функции ф (jfj, Xi) и р (л 1, х ) удовлетворяют условиям Коши—Римана (7.74), функция / (г) будет аналитической в области поперечного сечения. [c.166]

Из теоремы Римана (основная теорема конформного отображения) следует, что если конечная односвязная область 5 ограничена простым замкнутым контуром, то всегда можно найти аналитическую функцию (7.183) в круге < 1, отображающую однолистно [c.168]

Между аналитическими и гармоническими функциями имеется тесная связь. Пусть w (г) = и х, у) + iv х, у) — аналитическая функция на области D. Тогда для любых z D существуют частные производные ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy и выполняются условия Коши—Римана. Предположим дополнительно, что производные ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy сами непрерывно дифференцируемы (можно доказать, что аналитическая функция обладает непрерывными производными любых порядков и, следовательно, это предположение соответствует действительности). Дифференцируя первое равенство (5.6) по х, второе по у и складывая, приходим к уравнению Лапласа (5.7). Точно так же, дифференцируя первое равенство (5.6) по у, второе по д и вычитая, приходим к уравнению Лапласа дЪ/дх -f d v/dy = 0. Таким образом, установлено, что действительная и мнимая части аналитической функции являются функциями гармоническими. Более того, установлено, что функции класса С, связанные условиями Коши—Римана, — гармонические. [c.179]

Допустим, что X = 0. Тогда функция 1пС(/) является однозначной, функции же Ф+(г) и Ф (г) не имеют нулей, а поэтому 1пФ+(2) и 1пФ-(2)—аналитические функции соответственно в 0+ и О-. Прологарифмировав (1.28), приходим снова к задаче Римана [c.20]

Аналитичность функции Ф+(г) очевидна, так же как и то, что функция Ф (2) в бесконечности равна С и, следовательно, не является аналитической. Поэтому будем рассматривать (1.32) как некое обобщенное решение задачи Римана. [c.21]

Аппарат решения задачи Римана позволяет восстановить в полуплоскости аналитическую функцию по значению ее действительной части на некоторых участках границы и мнимой части — на оставшихся. Соответствуюш,ая формула, называемая формулой Келдыша — Седова, была получена иным путем в [119]. [c.28]

Из изложенного следует, что в силу (10.17), (10.19) и (10.24) можно перейти к задаче Римана для аналитической функции .(v) [c.452]

Это — уравнения Коши—Римана (см. стр. 181) для функций Gw и ф. Следовательно, Gw + i(f будет аналитической функцией переменного x - --iy. Отсюда [c.342]

Из теории аналитических функций следует, что если выполняются условия (25.9), носящие название условий Коши — Римана, то линейная комбинация [c.82]

Аналитическое построение геометрии, не зависящее от какой-либо специальной системы отсчета, является лишь одним из достоинств римановой геометрии. Более фундаментальным открытием Римана является то, что определение (1.5.7) линейного элемента образует не только новый, но и гораздо более общий базис для построения геометрии, чем старый базис евклидовых постулатов. Только в том случае, когда g,k принадлежат к некоторому определенному классу функций, получается геометрия евклидова типа. В общем же случае возникает новый тип геометрии, характеризуемый следующими двумя фундаментальными свойствами [c.42]

Обращая вектор-функцию Г (р) по формуле Римана—Меллина (6.61), получим аналитическое представление общего решения системы дифференциальных уравнений (8.12) в виде [c.235]

Связь с теорией функций комплексной переменной. Решение краевых задач для уравнения Лапласа от двух переменных существенно упрощается применением методов теории аналитических функций комплексной переменной Z = X +/у. Если /(г) = а +/w есть аналитическая функция, то функции и (х, у) и t (х, >() удовлетворяют уравнению Лапласа и связаны соотношениями Коши —Римана [c.250]

Уравнение (4-6-13) является сингулярным интегральным уравнением с ядром Коши (4-6-14). Для. его решения воспользуемся идеей аналитического продолжения в комплексную область. Сведем уравнение (4-6-13) к краевой задаче Римана с разрывными коэффициентами. Введем кусочно-аналитическую функцию [c.277]

Определение и s< > сводится к интегрированию уравнений (13.3.6). Эта система по форме совпадает с условиями Коши—Римана, которым должны подчиняться действительная часть и коэффициент при мнимой части аналитической функции комплексного переменного. Отсюда следует, что [c.181]

Возможность выразить через обычные аналитические функции решения безмоментных уравнений основана на том, что последние удается отождествить с уравнениями Коши—Римана, т. е. в однородном случае привести к виду (13.3.6). Но, как известно, эти уравнения инвариантны относительно преобразования независимых переменных [c.195]

В линейной задаче Римана отыскивается кусочно-аналитическая функция, определенная во всей плоскости, в то время как в задаче Гильберта требуется найти аналитическую функцию в области D. Поэтому для сведения задачи Гильберта к линейной задаче Римана необходимо доопределить искомую в D функцию функцией i ,(z) в области D так, чтобы получить кусочно-аналитическую функцию, определенную во всей плоскости. [c.240]

Поскольку Z F) — аналитическая функция, то имеют место условия Коши Римана [c.164]

Действительная и мнимая части аналитической функции являются сопряженными гармоническими функциями. Следовательно, всегда можно построить аналитическую функцию, для которой данная гармоническая функция является действительной или мнимой частью. Из условия Коши —Римана определяются две частные производные неизвестной функции, т. е. полный ее дифференциал, при этом задача нахождения гармонической функции, сопряженной с данной гармонической функцией, сводится к задаче интегрирования полного дифференциала функции двух переменных. [c.55]

Определение аналитической в нижней полуплоскости функции wi z) (3.5) по заданным на границе соотношениям между её действительной Ui и мнимой Vi частями является частным случаем задачи Римана-Гильберта [25]. [c.137]

Пусть на комплексной плоскости 2 дана ограниченная односвязная область G с границей Г, причем дополнение замкнутой области G = G и Г есть односвязная область D, содержащая бесконечно удаленную точку 2 = оо. По теореме Римана о конформном отображении существует единственная аналитическая в области D (исключая бесконечно удаленную точку) функция = ф г) которая отображает область D конформно и однолистно на область > 1 при условиях [c.226]

Полагаем, что выполнены все условия, обеспечивающие применимость принципа Вольтерра. Тогда для решения поставленной задачи необходимо получить решение соответствующей упругой задачи, которая сводится к задаче Римана—Гильберта и -легко решается методом Л. А. Галина [24]. Согласно этому методу вводятся две аналитические функции [c.125]

Очевидно, что соответствующим подбором g g , h можно добиться, чтобы любая функция от а и Р удовлетворяла уравнению (10.13). Но этот подход не эффективен обобщенные аналитические функции полезны, когда мы имеем весь класс функций удовлетворяющих уравнению (10.13) с постоянными коэффициентами и g2 (h может меняться). Название обобщенные аналитические функции , очевидно, связано с тем, что при gi = = g2 = h = Омы получаем уравнение Коши — Римана для аналитических функций / (w) = ф (а, Р) + г] (а, Р). Если h (w) — интегрируемая функция от а и Р (а, Р g G, где G — замыкание области G), можно непосредственно построить обобщенную аналитическую функцию в G [c.211]

Название обобщенные аналитические функции , очевидно, связано с тем, что при - = 2 = = О мы получаем уравнения Коши — Римана для аналитической функции /(гс ) = ф(а, (3) + + (сб, Р). Любую интегрируемую функцию Н(т) от а и р (а, р е С, С —замыкание С) можно использовать для построения обобщенной аналитической функции, удовлетворяющей уравнению (10.15) с 1 = 2 = 0. Эта функция имеет вид [c.362]

По теореме Римана о конформном отображении существует аналитическая функция z — f Q, которая преобразует область D в область D таким образом, что точки контура I переходят в точки I и любая наперед заданная точка А D переходит в заданную точку Л е D. Эта функция будет единственной, если в точке А задан arg= фд. Воспользуемся этой теоремой, выбрав в качестве точек Л и А бесконечно далекие точки плоскостей Z и и положим при этом фо = 0. Это значит, что мы берем такую функцию г = /( ), которая преобразует бесконечно далекую точку плоскости в бесконечно далекую точку плоскости 2 и не меняет направлений в этой точке. Для этой функции в бесконечно далекой точке = оо производная есть [c.146]

Заметим, что в частном случае несжимаемой жидкости, когда q(p) =/з и q [p) = 1, система Чаплыгина, как и исходная система (1), совпадает с системой Коши — Римана. Это и понятно, ибо в этом случае т — ta = log I f (z) I + i arg f (z), где f — комплексный потенциал, является аналитической функцией как от z, так и от w = f(z). Таким образом, переменные (т, а) и для систем уравнений газовой динамики и в общем случае нелинейных систем вида (2) в известном смысле заменяют производную аналитических функций. Это замечание еще раз подчеркивает важность роли производных систем в общей теории нелинейных квазиконформных отображений. [c.103]

Можно было бы попытаться моделировать систему (1), заменив ее парой простейших систем соответствующего типа для дозвуковых режимов — системой Коши— Римана, а для сверхзвуковых — системой, описывающей /г-аналитические функции. Однако такая модель слишком груба, в ней разрывны основные характеристики течения. Качественные явления газовой динамики существенно лучше отражает модель, предложенная М. А. Лаврентьевым в 1955 г., в которой указанная лара простейших систем моделирует не саму систему [c.138]

Здесь (b( ) — функция, аналитическая во внешности единичного круга, за исключением, быть мржет, бесконечно удаленной точки, в которой она может иметь полюс аД ),. .., а ( ) — некоторые функции ( асть или дайке все 0(( ) могут быть неизвестными заранее) g — некоторая заданная функция своих переменных. Рассмот- рим функциональное уравнение [c.115]

Здесь Akh — несущая способность гладкой полосы, ширина которой равна минимальной ширине надрезанной полосы. Выражение, стоящее в правой части формулы (15.13.3), всегда больше единицы, оно называется коэффициентом поддержки. При любом виде надреза несущая способность полосы с концентратором будет больше, чем несущая способность полосы с той же минимальной шириной. Это следует из статического экстремального принципа. Если предположить, что в заштрихованной на рис. 15.13.2 полосе растягивающее напряжение равно пределу текучести, а в остальной части полосы напряжения равны нулю, мы получим некоторое статически возможное напряженное состояние соответствующая нагрузка будет служить оценкой для предельной нагрузки снизу. Что касается поля скоростей для полосы с двумя круговыми вырезами, расчет его оказывается далеко не элементарным. Разделенные пластическо зоной части полосы движутся поступательно вдоль оси, удаляясь одна от другой с относительной скоростью V на граничных характеристиках нормальная составляющая скорости задана и выполнены условия (15.8.16). Эти данные позволяют или строить поле скоростей численно, или же решать задачу аналитически по методу Рима-на, представляя результат в виде некоторых интегралов, содержащих функции Бесселя. Что касается полноты построения решения, этот вопрос остается открытым. Возможность построения поля скоростей доказывает лишь кинематическую допустимость решения, следовательно, формула (15.3.3) дает наверняка верхнюю оценку. Но могут существовать и другие кинематически возможные схемы, например скольжение по прямой тп, показанной на рис. 15.13.1 штриховой линией, которые дадут для Р оценку более низкую, чем оценка (15.13.3). [c.522]

Уравнения (к) представляют собой уравнения Коши — Римана, обсужд.двшиеся в 55. Они показывают, что функция e + i o является аналитической функцией комплексной переменной д li/. Обозначая эту функцию через 2, получаем [c.475]

При конформных отображениях важную роль играет принцип соответствия границ и принцип симметрии Римана-Шварца 1) если аналитическая функция устанавливает взаимно однозначное соответствие на границах областей, то соответствие взаимно однозначно и внутри области 2) если границы областей О и Д содержат дуги круга с и 7, которые соответствуют друг другу при конформном отображении, то ото Вражение продолжается в областях и Д-1- [c.205]

Решение ряда задач о плоской деформашш было получено применением методов теории функций комплексного переменного и краевой задачи Римана-Гильберта (Л.А. Галин, Г.П. Черепанов). Некоторые упругопластические задачи сводятся к краевым задачам для функций комплексного переменного с аналитическими коэффициентами для решения этих задач был разработан метод функционалышх уравнений, основанный на обобщенном принципе аналитического продолжения (Г.П. Черепанов). [c.7]

Многие задачи механики сплошных сред, в частности теории упругости и пластичности, могут быть весьма просто и эффективно решены путем приведения их к краевой задаче теории аналитических функций, обьино называемой задачей Римана или задачей сопряжеция. Хорошей иллюстрацией этого является материал, изложенный в основном тексте книги. Для удобства чтения книги напомним некоторые сведения, относящиеся к краевым задачам теории аналитических функций. Подробное изложение теории краевых задач аналитических функций имеется в классических монографиях НЛ. Мусхелишвили [1] и Ф.Д. Гахова [2]. Там же можно найти библиографию по этому вопросу. [c.235]

Линейной краевой задачей Римана называют следующую задачу найти кусочно-аналитическую функцию F z), удовлетюряющую вдоль контура L условию [c.235]

Сведение граничной задачи Гильберта к линейной задаче Римана. Пусть/) — конечная или бесконечная область плоскости комплексного переменного, ограниченная одним непе-ресекающимся гладким замкнутым контуром L. Граничной задачей Гильберта назьтают следующую задачу найти аналитическую в D, непрерывно продолжимую на L функцию = u+ iv по граничному условию [c.240]

Во-вторых, результаты, полученные методом задачи Римана — Гильберта, охватывающим структуры из бесконечно тонких плоских экранов или экранов с осевой (центральной) симметрией, стимулировали поиск подходов, позволявших бы также эффективно анализировать электродинамические свойства решеток других типов. Эта проблема частично решена с появлением метода, в основе которого лежит аналитическое преобразование матричных уравнений типа свертки [25, 57, 58, 92, 93]. Методологическая основа у этих подходов общая — обращение части оператора некорректного исходного операторного уравнения. Отличает их техника выполнения процедуры полуобращения (решение задачи сопряжения теории аналитических функций и вычисление главных частей в разложении Миттаг — Леффлера мероморных функций), а также то, что в первом подходе выделяется и обращается статическая часть задачи (и = 0), а во втором — часть задачи, отвечающая определенной геометрии периодического рассеивателя. По существу при этом использовалась возможность явного аналитического решения задач статики и дифракции плоских волн на системе идеально проводящих полуплоскостей [38, 40]. Недавно полученные в [94—96] результаты, видимо, также могут послужить основой для создания новых вариантов метода полуобращения. Эффективность последнего подтверждается практическим решением проблемы дифракции волн в резонансной области частот на периодических решетках основных типов 124, 25, 58] идеально-проводящих эшелеттах, решетках жалюзи и ножевых, плоских ленточных и решетках из незамкнутых тонких экранов, решетках из брусьев металлических и диэлектрических с прямоуголь- [c.8]

Таким образом, мы рассматриваем Ь[и 8) как многозначную функцию хю, значения которой лежат на многолистной римано-вой поверхности аналитическое продолжение ведет с физического листа на другой лист (точно так же, как в случае вынужденных волн сдвига, которые исследовались с помощью БГК-модели в разд. 7). Если Ьс[и 8)—аналитическое продолжение Ь и 8) в непрерывный спектр (т. е. та ветвь многозначной функции 1 и 8), которая достигается через А из области вне непрерывного спектра), то уравнение Ьс[и 8) = О может иметь корень Но даже тогда, когда уравнение 1 и 8)=0 не имеет корня (здесь ( / 5) определяется формулой (11.2) даже при и 0 8)). В частности, для 5, близких к критическому значению, при котором щ = ио 8) вливается в непрерывный спектр, Ьс(и 8) будет иметь нуль, являющийся аналитическим продолжением ио 8). Если решения граничной задачи достаточно гладки, то можно попытаться использовать это обстоятельство для того, чтобы найти аналитическое продолжение подынтегрального выражения на непрерывный спектр и затем воспользоваться этим результатом для стягивания контура интегрирования около сингулярных точек и линий аналитически продолженного подынтегрального выражения. [c.369]

Производная / аналитической функции / также является аналитической функцией (см. следующий параграф), а комплексно сопряженная к аналитической функция называется антианалитической (такие функции, очевидно, удовлетворяют условиям Коши — Римана с измененными знаками). Формула (3) показывает, следовательно, что поля скоростей течений, удовлетворяющие принятым выше условиям, описываются антианалитиче-скими функциями. [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...