Решение равномерно устойчивое

Здесь qi и pi —разные решения системы (9.20) двойная вертикальная черта обозначает норму, которой может быть, например, sup I...]. Если такое т] не существует, то решение pi (Х , t) неустойчиво. Если т] можно выбрать независимым от то решение равномерно устойчиво. [c.61]

Определение 2. Нулевое решение равномерно устойчиво, если 6 = 6(8) (от /о не зависит). [c.415]

Решение задач устойчивости ортотропных, некруговых конических и цилиндрических оболочек, нагруженных равномерным внешним давлением и осевой сжимающей силой, представлено в работе Петрова [221]. [c.240]

Рассмотрим прямоугольную пластину, равномерно сжатую в двух направлениях (рис. 4.12, а). В том случае, когда 5 = О, Тх = — Цх, Т = — qy и выполняются граничные условия рассмотренной сейчас задачи, можно применять намеченную выше общую схему решения. Для упрощения расчетов ограничимся решением задачи устойчивости прямоугольной пластины, свободно опертой по всему контуру. Для такой пластины, равномерно сжатой в одном направлении, выше найдена система собственных функций. В рассматриваемом случае решение уравнения (4.40) можно искать в виде [c.159]

Начнем с простейшей задачи устойчивости длинной цилиндрической оболочки (трубы), нагруженной равномерным внешним гидростатическим давлением (рис. 6.15). Длину оболочки будем считать настолько большой, что характер закрепления ее торцов не влияет на поведение оболочки при потере устойчивости. (Ниже дана оценка длины оболочки, при которой можно пренебречь влиянием закреплений ее торцов на критическое давление). Такая длинная оболочка может деформироваться без удлинений и сдвигов срединной поверхности в частности, каждое сечение оболочки может деформироваться одинаково, как нерастяжимое кольцо. Поэтому для определения критического внешнего давления и формы потери устойчивости такой оболочки можно воспользоваться решением задачи устойчивости кругового кольца под действием равномерной гидростатической нагрузки. [c.249]

Трехслойная пластина, панель или оболочка нагружаются по обшивкам тангенциальными равномерно распределенными погонными усилиями (рис. 5.16). Погонные усилия (/ = 1,2) могут задаваться отдельно для нижней и верхней обшивок, а также в виде суммарных величин Т%, Ту. В последнем случае погонные усилия будем распределять по обшивкам пропорционально жесткостям несущих слоев. Для цилиндрической панели или оболочки возможно также задание внешнего равномерного давления р . При решении задачи устойчивости нагружение будем считать пропорциональным, при определении частот — фиксированным. [c.227]

Точное аналитическое решение задачи устойчивости пластин удается получить только для нескольких частных случаев. Например, для прямоугольной пластины, равномерно сжатой вдоль одной из сторон распределенной силой q, начальные силы в срединной плоскости = -q-, =0 Т2 =0. Если все стороны пластины свободно оперты, т.е. заданы граничные условия w = О, / дх =0 при [c.210]

Получить точное аналитическое решение уравнения устойчивости пластин удается лишь в весьма ограниченном числе частных случаев. Простейший из них — длинная пластина, равномерно сжатая в поперечном направлении (рис. 7.10, а). Граничные условия на удлиненных сторонах произвольны, но неизменны вдоль пластины. [c.194]

В пятой главе описаны слоистые упругие трансверсально изотропные пластинки, имеющие симметричное относительно срединной плоскости строение пакета слоев. Выбор срединной плоскости в качестве плоскости приведения позволил отделить уравнения плоской задачи теории упругости от уравнений изгиба пластинки, которые и явились предметом исследования. Найден широкий класс решений этих уравнений, что позволило, в частности, решить задачу изгиба круговой пластинки, несущей поперечную нагрузку. В качестве примера рассмотрена задача осесимметричного деформирования круговой пластинки. Выполненное исследование, включающее в себя вычисление разрушающей, интенсивности нагрузки, определение механизма возникновения разрушения и определение зоны его инициирования, выявило принципиальную необходимость учета влияния поперечных сдвиговых деформаций на расчетные характеристики напряженно-деформированного состояния для пластин с существенно различными жесткостями слоев. Решена задача устойчивости пластинки, нагруженной силами, действующими в ее плоскости. Составлены общие уравнения устойчивости и подробно исследован тот случай, когда тензор докритических усилий круговой. Для этого случая найден широкий класс решений уравнений устойчивости. В качестве примера дано решение задачи устойчивости круговой пластинки, нагруженной равномерно распределенным по контуру сжимающим радиальным усилием. Эта же задача решена еще и на основе других неклассических уравнений, приведенных в третьей главе, а также на основе уравнений трехмерной теории устойчивости. Выполнен параметрический анализ полученных решений, что позволило указать границы применимости рассматриваемых уточненных теорий, оценить характер и степень влияния поперечных сдвиговых деформаций и обжатия нормали на критические интенсивности сжимающего усилия. Полученные результаты приводят к выводу о пригодности разработанных в настоящей моно- [c.13]

Для численного решения задачи (8.6.23), (8.6.24) необходимо выделение конечномерной подсистемы. Так как при е = О оболочка теряет устойчивость с образованием окружных волн (см. параграф 8.5), то естественно ожидать, что при е - О главным в системе (8.6.23) будет (векторное) уравнение с номером п . Число Пд определяется в результате решения задачи устойчивости при равномерном давлении. Пусть Z (1 < < 2) — класс неотрицательных целых чисел, содержащий п , тл (л О — целое число. Формулой [c.270]

Теория Кирхгоффа возбудила много споров, в ходе которых удалось устранить многочисленные трудности, найти путь к упрощенному ее построению и в то же время подтвердить ее конечные выводы. В более близкое К нам время она нашла применение в решении задач устойчивости упругих систем, как, например, выпучивания равномерно сжатого кругового кольца или поперечного выпучивания кривого стержня с узким прямоугольным поперечным сечением, подвергнутого чистому изгибу. [c.308]

Пусть решение v = О уравнения (2.1.25) равномерно устойчиво и выполняется условие V < >( х ). В этом случае /(е) >0 не зависит от /q. Но тогда <5 также можно выбрать не зависящим от to, положив <5(е) = " (//(е)). Значит невозмущенное движение х = О системы (1.2.1) равномерно у-устойчиво. [c.88]

В силу равномерной устойчивости по Ляпунову нулевого решения линейной системы (2.2.26), найдется число О такое, что [c.117]

В случае равномерной асимптотической устойчивости по Ляпунову нулевого решения системы (2.6.2) имеет место равномерная устойчивость этого решения при малых ПДВ. Это значит, можно выбрать числа <5i(e) > О и 62(e) > О, для которых из II Zo II < 1 и R(/, у, z) < O2, II Z II < е следует z(/ /о, уо, Zo) < е при всех t > to. [c.147]

Доказательство. Рассмотрим линейную подсистему, описывающую поведение у-переменных линейной части системы (3.2.3). При ВфС эта подсистема полностью управляема на основании теоремы 2.5.1. Поэтому коэффициенты вектора Ь в (3.2.4) можно выбрать так, что нулевое решение у = О, г, = О линейной части системы (3.2.3) равномерно устойчиво по Ляпунову и (одновременно) экспоненциально асимптотически у-устойчиво. [c.180]

Замечание 2. В соответствии с замечанием 1, если устойчиво (асимптотически устойчиво) или неустойчиво тривиальное решение системы (2) при io = О то таким же свойством будет обладать тривиальное решение при любом конечном Однако 6 в общем случае может зависеть от io и с этим связано определение равномерной устойчивости. [c.415]

Устойчивость тонкой пластины. Рассмотрим последовательность решения задачи устойчивости тон.чой свободно опертой слоистой пластины несимметричного строения при двухосном равномерном сжатии. Для тонких пластин, которые не содержат слоев с низкой трансверсальной сдвиговой жесткостью, учет деформаций поперечного сдвига не вносит существенных уточнений. Поэтому при расчете можно сразу положить = Фу = = 0. В этом случае в формулировке задачи (5.31) будут участвовать следующие переменные [c.416]

Определение 2. Если б = б(е) (не зависит от io s Г) и выполняются остальные условия определения 1, то решение x t) называется равномерно устойчивым в области Т. [c.830]

Замечание 4. Аналогично предыдущему, определяется устойчивость по Ляпунову любого решения любого дифференциального уравнения (автономного или нет) это — равномерная сходимость решений на полуоси 0 к рассматриваемому решению при стремлении начальных значений этих решений при =0 к начальному значению изучаемого решения. Равномерная сходимость здесь определяется при помощи некоторой метрики в фазовом (или расширенном фазовом) пространстве (или многообразии). В отличие от случая положения равновесия автономной системы, определенная таким образом устойчивость зависит от выбранной метрики. Например, устойчивое [c.28]

Покажем, как можно достаточно просто получить решение задачи устойчивости, пользуясь методом конечных разностей, для пластины, шарнирно опертой с трех сторон н четвертой стороной свободной при равномерном сжатии (рнс. 22). [c.45]

В отечественных и зарубежных работах по устойчивости изотропных цилиндрических оболочек указывается на то, что наименьшее значение критической нагрузки дает осесимметричная форма потери устойчивости [2 . Воспользуемся этим указанием при решении уравнений устойчивости цилиндрической стеклопластиковой оболочки при осевом сжатии равномерно распределенными усилиями [c.6]

Устойчивость равномерно сжатых кольцевых пластин (рис. 4.13,6) тоже может быть исследована с помощью уравнения (4.51). Но Б этом случае решение получается значительно более громоздким в выражениях для (г) остаются все четыре произвольные постоянные и подчинение этих выражений граничным условиям на внутреннем и наружном контурах пластины приводит к системе четырех однородных уравнений. Окончательный результат представляется тоже в виде формулы (4.56). В этой формуле для кольцевых пластин коэффициент К зависит не только от граничных условий, но и от отношения внутреннего и наружного радиусов. Значения коэффициента К для всех практических интересных случаев табулированы [33, 351. [c.166]

Сначала рассмотрим классическую задачу устойчивости шарнирно-опертой по всем сторонам прямоугольной пластины (при а Ь), равномерно сжатой в двух направлениях. Точное решение этой задачи известно (см. 21). При потере устойчивости поперечные перемеш,ения пластины (с точностью до постоянного множителя) описываются функцией [c.201]

Из методических соображений, прежде чем перейти к исследованию устойчивости цилиндрической оболочки, детально рассмотрена родственная задача устойчивости упругого кругового кольца. Затем дан вывод основного линеаризованного уравнения круговой цилиндрической оболочки, находящейся в неоднородном безмоментном докритическом состоянии, и получено выражение для подсчета изменения полной потенциальной энергии такой оболочки. Приведены решения только двух задач устойчивости оболочки при равномерном внешнем давлении и равномерном осевом сжатии. Многочисленные решения других задач устойчивости оболочек получены приближенными методами [7,9, 19,22,27]. [c.220]

Рассмотрим закритическое поведение кругового кольца. Выше определены критические точки бифуркации исходной формы равновесия кругового кольца при нескольких случаях его нагружения. Более детальное изучение закритического поведения кольца в окрестности критической точки бифуркации показывает, что при потере устойчивости кольцо ведет себя подобно сжатому стержню, продольные перемещения которого не стеснены (см. 17). Следовательно, критическая точка бифуркации кольца Ах оказывается точкой бифуркации первого типа, а малейшее превышение критической нагрузки приводит к резкому нарастанию прогибов кольца (рис. 6.8). Если имеется несколько дополнительных жестких опор, препятствующих перемещениям кольца, то его поведение после потери устойчивости будет иным. В том случае, когда число опор четное и они равномерно распределены по окружности кольца, критическое значение гидростатической внешней нагрузки определяется по следующей формуле (в случае нечетного числа опор нельзя пользоваться полученным выше решением для незакрепленного кольца) [c.235]

Долгое время решение Лоренца и Тимошенко оставалось единственным, описывающим потерю устойчивости упругой цилиндрической оболочки, равномерно сжатой в осевом направлении, й только недавно с помощью ЭЦВМ удалось сделать следующий шаг— рассмотреть задачу при произвольных граничных условиях с учетом неоднородного начального напряженно-деформированного состояния. [c.261]

Анализу изгиба и устойчивости осесимметрично нагруженных пологих оболочек вращения при ползучести посвящено относительно небольшое число работ, касающихся в основном сферических оболочек постоянной толщины под действием равномерного внешнего давления. При исследовании устойчивости оболочек такого класса не обязательно учитывать начальные несовершенства срединной поверхности. При этом имеются в виду неосесимметричные несовершенства, так как учет осесимметричных начальных прогибов, формально соответствующий анализу деформирования осесимметричной оболочки новой формы, не меняет существа подхода к решению задачи. [c.8]

На практике часто тепловая нагрузка распределена неравномерно по длине трубы. Для изучения влияния неравномерности тепловой нагрузки на граничный массовый расход были рассмотрены три варианта ее распределения (рис. 7). Средний удельный тепловой поток во всех трех вариантах оставался постоянным, q[lq =ll3, q [lql = 3. Все остальные параметры поддерживались неизменными. Решение показало, что по сравнению со случаем равномерно распределенной тепловой нагрузки поток в варианте 2 более устойчив, а в варианте 3 менее устойчив. Это можно объяснить уменьшением в варианте 2 (а в варианте 3 увеличением) длины испарительного участка. Однако для рассмотренных соотношений удельных тепловых нагрузок наличие неравномерности не очень существенно сдвигает границу устойчивости потока, что полностью подтверждается экспериментальными данными [17]. Например, [c.58]

Рекомендации по численному решению задач свободной конвекции в емкостях приведены в [14, 34, 71, 94]. Решения получены до значений чисел Релея 10 . Возможность получения решений при больших числах Релея была показана в (34 ) путем введения автоматической коррекции разностного оператора. Установлено, что при больших числах Релея, когда схемные коэффициенты переноса превосходят молекулярные, для сохранения устойчивости решений и равномерной сходимости следует опустить в уравнениях диффузионные члены. Подход к численному решению уравнений в замкнутой области можно проиллюстрировать па примере свободной конвекции жидкости в горизонтальной трубе. Математическая модель задачи описывается системой уравнений движения, энергии и неразрывности [c.187]

При описании ракетных двигательных систем на жидком топливе автор стремится излагать материал доступно, не упуская при этом из виду важные явления, происходящие на каждой стадии превращения окислителя и горючего, от их подачи в камеру сгорания до истечения газообразных продуктов через сопло. Для некоторых типов систем рассмотрена проблема моделирования горения. Получение высоких характеристик в двигательных установках такого типа связано с необходимостью использования системы впрыска, обеспечивающей мелкодисперсное распыление и последующее эффективное равномерное смешение компонентов топлива, однако такие требования, как правило, несовместимы с требованиями к устойчивости горения. При этом часто бывает трудно найти компромиссное решение. Нередко в этом случае приходится использовать акустические поглотители, которые усложняют конструкцию камеры сгорания. [c.11]

Устойчивость разностных схем. Устойчивыми называют такие разностные схемы, решения которых непрерывно зависят от параметров системы и равномерно от h. Для сложных систем априорные оценки устойчивости затруднены, поэтому о них судят, непосредственно сопоставляя результаты вычислений для различных значений h и входных параметров. [c.187]

При других граничных условиях в задаче устойчивости прямоугольной пластины, равномерно сжатой в одном направлении, окончательный результат представляют в виде формулы (9.12.6) значения коэффициента к, полученные с помощью точных или приближенных решений, табулированы [1, 31, 33]. Аналогичные решения получены и результаты их табулированы для прямоугольных пластин, нагруженных распределенными нормальными силами, изменяющимися вдоль пластины по линейно гу закону. [c.210]

Л. М. Куршин и К. А. Матвеев в работе [50] приводят сравнение некоторых имеющихся в литературе результатов решения задачи устойчивости квадратной пластинки с круговым центральным отверстием. Наружный контур шарнирно оперт, а внутренний свободен и не подкреплен. На пластинку в ее плоскости на два противоположных края действует равномерно распределенная сжимающая нагрузка. В работе подчеркивается, что удовлетворительные результаты теоретического анализа могут быть получены без предварительного решения плоской задачи теории упругости. [c.296]

Доказательство. Необходимость [35]. Пусть система (7.1) обладает свойством конвергенции, тогда она имеет (о-периодическое решение X = Ф t). По определению это решение асимптотически устойчиво. Но хорошо известно (см., например, [15]), что асимптотически устойчивое ш-пе-риодическое решение системы (7.1) будет и равномерно асимптотически устойчиво. Таким образом, решение Л = Ф( ) равномерно асимптотически устойчиво. Покажем, что и любое решение X t, Xq, to) будет равномерно при асимпто- [c.94]

С. И. Горшиным (1948—1949) и И. Г. Малкиным (1954). Из результатов Я. Курцвейля (1956) и X. Массера (1956) следует грубость асимптотической устойчивости в предположении лишь непрерывности периодических функций Х (х, t). Н. Н. Красовский (1959) доказал, что некоторое свойство (А) траекторий, эквивалентное в случае асимптотической устойчивости равномерности устойчивости по о и Хо, является грубым свойством если решение х = О асимптотически устойчиво (или неустойчиво) и при этом выполняется свойство (А), то эта устойчивость (неустойчивость) является грубым свойством. [c.50]

Точные решения системы (5.43), (5.44) представляют несомненный самостоятельный интерес, но для нас они существенны ещё и потому, что позволяют оценить степень точности приближённых решений. Мы укажем некоторый класс точных решений задачи устойчивости для равномерно сжатых пластинок произвольной формы и решения, для прямоугольных пластинок в тех случаях, когда возможна цилиндрическая форма потери устойчивости. [c.296]

Такая постановка задачи совершенно аналогична постановке задачи Эйлера об устойчивости сжатого стержня. Требуется найти критическое значение параметра нагрузки, т. е. множителя при Tafi, при котором линейное однородное уравнение (12.11.1) при однородных граничных условиях имеет нетривиальное решение, т. е. решение, отличное от тождественного нуля. Ограниченность и неполнота анализа подобного рода были разъяснены в гл. 4 и мы не возвращаемся к сделанным там разъяснениям. Здесь в качестве примера мы рассмотрим одну только задачу устойчивости прямоугольная пластина длиной а в направлении оси х , шириной Ъ в направлении оси Хг равномерно сжимается вдоль оси Xi усилием Тц = —Т. Уравнение (12.11.1) примет вид [c.416]

Однако симметрично поставленная задача может иметь и асимметричные решения. Более того, может оказаться, что асимметричное решение имеет наи-низшую энергию, т. е. является устойчивым. Например, рассмотрим Вселенную, равномерно и достаточно плотно заполненную атомами Na и С1. Устойчивым состоянием такой Вселенной при нулевой температуре будет монокристалл, имеющий гранецентриро-ванную кубическую решетку, изображенную на рис. 7.. Это состояние явно анизотропно, несмотря на то, что исходные уравнения движения изотропны. [c.297]

Для решения задач(г разностным методом введем по толщине пластины равномерную сетку узлов с шагом Д= 0,005 м. Явная конечно-разностная схема (текст программы для ЭВМ приведен в Приложении 3) не позволит применить шаг по времени больше чем Дт юп —2 с, который определяется из условия устойчивости (23.18). Неявная конечно-разностная схема (текст программы для ЭВМ, реализующей метод прогопки, приведен в Приложении 4) позволяет применять шаги по времени значительно большие. [c.245]

Рассмотрим также случай потерн устойчивости прямоугольных пластинок при нагружении их сдвигающими усилиями, равномерно распределенными по кромкам. При этом пластина теряет устойчивость с образованием диагональных волн. Первое решение этой задачи энергетическим методом было получено С. П. Тимошенко (1915 г.), а позднее точное решение для бесконечно длинной пластины получил Саутвелл (1924 г.). [c.181]

Заметим, что тем же самым приемом, только с более сложными вычислениями, можно было бы исследовать вопросы устойчивости, относящиеся к меростатическим решениям, которые соответствуют равномерному качению вдоль круговой дорожки, обладающему прецессионным характером ). [c.206]

Простейшим но структуре алгоритмом глобального поиска является независимый поиск (методы Монте-Карло), оенованный на случайном переборе точек в ограниченном пространстве Gp варьируемых параметров [51, 90]. Характерной особенностью методов Монте-Карло является постоянная в течение всего поиска нлот-пость распределепия зондирующих точек. Поэтому для решения этими методами задач оптимизации машинных агрегатов с многомерными векторами Р варьируемых параметров обычно необходимо выполнить значительное число проб. Выгодным для задач динамического синтеза машинных агрегатов свойством метода случайного поиска е равномерным распределением пробных точек является возможность одновременного онределения нескольких оптимальных решений, соответствующих различным критериям эффективности. Это свойство независимого глобального поиска особенно важно для задач параметрической оптимизации машинных агрегатов, оперирующих с неприводимыми к единой мере локальными критериями эффективности. Такая ситуация характерна для параметрического синтеза динамических моделей машинных агрегатов по критериям эффективности, отражающим, ианример, общую несущую способность силовой цепи по разнородным факторам динамической нагругкепности ее отдельных звеньев (передаточного механизма п рабочей машины). Аналогичная ситуация возникает также при оптимизации характеристик управляемых систем машинных агрегатов по критериям устойчивости и качества регулирования. [c.274]

Система нелинейных уравнений (8.38), связывающая функцию напряжений в срединной плоскости пластинки и функцию прогибов, выведена немецким ученым Т. Карманом. Совместно с граничными условиями она представляет основную систему нелинейных ди ференциаль-ных уравнений та>рии гибких пластинок. Решение этой системы в общем виде не получено. В настоящее время с помощью теории гибких пластинок получен ряд частных решений для равномерно распределенной поперечной нагрузки, а также для пластинок, теряющих устойчивость при сжатии и сд иге в их срединной плоскости, [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...