Первый интеграл однозначный

Первый интеграл должен обращаться в нуль из условия, что интегрирование производится по замкнутой кривой и что w является однозначной функцией. Отсюда [c.336]

Функция и>о является однозначной в области, ограниченной контуром С, поэтому первый интеграл вследствие теоремы Коши обращается в нуль. Так как функция постоянна на линиях тока С, и С,, то последний интеграл сводится к интегралу вдоль кривой АВ + В А. На дуге АВ комплекс-яый потенциал имеет значение а)о, а на дуге ВА он имеет значение Шо — [c.224]

Так как контур Ь замкнут и потенциал ускорения объемных сил 41 есть однозначная функция координат, то первый интеграл в правой части последнего равенства равен нулю. Если плотность газа р зависит только от давления, то равен нулю и второй интеграл. В частности, это имеет место при адиабатическом процессе, [c.351]

Наличие неоднозначных решений накладывает сильные ограничения на однозначный первый интеграл. Действительно, пусть решение z t), неоднозначно вдоль некоторого контура Г С С т. е. функция z t) после обхода контура Г получает приращение ф 0. Если f z) — однозначный интеграл, то, очевидно, [c.129]

Теорема 2 [63]. Если функция h имеет простой нуль, то при достаточно малых ф О комплексная поверхность А имеет трансверсальное самопересечение, и система (1.9) не имеет в однозначного аналитического первого интеграла. [c.334]

Первый интеграл должен обращаться в нуль, в силу того обстоятельства, что интегрирование производится по замкнутому контуру кривой, а перемещение w является однозначной функцией. [c.297]

Первый интеграл в правой части этого равенства в случае замкнутого контура I ввиду однозначности перемещения т обращается в нуль. Второй интеграл в правой части равняется удвоенной площади 2, ограниченной контуром [c.246]

Теорема 10. Группа симплектических диффеоморфизмов д с однозначной функцией Гамильтона Р сохраняет функцию Н тогда и только тогда, когда Р — первый интеграл га- [c.98]

Кроме того, имеет место Следствие. При тех же условиях всякий однозначный аналитический первый интеграл есть функция интегралов энергии и момента. [c.154]

Спрашивается, в каких еще случаях возможно существование четвертого алгебраического интеграла. В то время, когда Ковалевская писала свою работу, ]Брунсом был исследован вопрос об алгебраических интегралах задачи п тел. Именно он доказал, что задача не имеет других алгебраических интегралов, кроме классических. Следовательно, остальные интегралы должны быть трансцендентными. Пуанкаре изучал более общий вопрос —об однозначных решениях уравнений динамики в канонической форме. Он показал, что, вообще говоря, не существует даже однозначного трансцендентного первого интеграла, отличного от классических. Однако эта [c.167]

Существуют два различных подхода в описании малых трещин применительно к области малоцикловой усталости материалов применяется расчетная величина /-интеграла [88, 91, 92, 99, 102, 103] и размах деформации, использующийся в управляющем параметре в качестве основной характеристики [87, 90, 100, 101, 104-107]. Величина/-интеграла определяется коэффициентом интенсивности напряжения во второй степени. Поэтому в первом и во втором подходах имеется однозначная связь скорости роста трещины с ее длиной в соответствии с первым уравнением синергетики. Различие состоит лишь в управляющих параметрах. При использовании /-интеграла управляющий параметр может оказаться зависимым от глубины трещины, тогда как при использовании размаха деформации управляющий параметр остается постоянным на всем этапе стабильного роста трещины. Тем не менее, при обоих подходах описание процесса распространения малых трещин осуществляется [c.244]

Обращение в нуль G происходит тогда, когда существует интеграл Якоби или вообще какой-нибудь однозначный пространственный интеграл. Пусть / (xi, Х2, Хп, fi) есть такой интеграл. Частную производную df/dXr обозначим через /г- Предположим, что ас = а не является стационарной точкой функции / (зс 0), т. е. не все производные (а 0) равны нулю. Тогда в силу (21.1.9) и (30.7.13) т — i первых производных /г (а 0) не могут все равняться нулю, и, расположив переменные в определенном порядке, мы всегда мон<ем считать, что [c.615]

Оба канонических интеграла будут содержать в этой точке п и соответственно —(п + 1) в показателе степени. Из положительности п следует, что для нашей цели пригоден лишь первый из этих интегралов, который может быть представлен в виде степенного ряда, начинающегося с г", поскольку он соответствует большему значению степени п. (Второй, не интересующий нас интеграл, соответствующий меньшему значению корня определяющего уравнения, может при разложении содержать логарифмический член, поскольку разность — (п + 1) — п целочисленна.) Так как ближайшая особая точка лежит в бесконечности, ряд, соответствующий взятому нами первому интегралу, везде сходится и представляет собой целую трансцендентную функцию. Мы установили, таким образом, что искомое решение представляет собой определенную с точностью до несущественного постоянного множителя однозначную целую трансцендентную функцию, соответствующую при г = О показателю степени п. [c.670]

При а = п первый из этих интегралов, а при а = — ( + 1) второй интеграл будут соответствовать согласно (9) нашей искомой целой трансцендентной функции, которая является однозначной. Не теряя общности, мы можем, следовательно, ограничиться одним из двух значений а. Выберем значение [c.670]

Когда дифференциальные уравнения теории упругости установлены, приходится решать для них два основных вопроса вопрос о существовании решения для составленной системы уравнений и вопрос об однозначности решения Что касается первого вопроса, то он имеет чисто математический характер. Задача о существовании интеграла для дифференциальных уравнений теории упругости до сих пор не вполне разрешена и мы этого вопроса в дальнейшем касаться не будем [c.54]

В данном случае мы получим систему линейных уравнений, из которой однозначно определим все коэффициенты. .., Оп. Функции. .., в рассматриваемом случае выгодно взять в виде целых полиномов. Если мы ограничимся тремя членами ряда (Ь), то можем положить Уз = ( — 1) + "Ь (Е — 1) I + (Е — 1) 1 При этом условия закрепления правого конца будут удовлетворены, так как взятые нами функции и их первые производные обращаются в нуль при = 1. На левом конце условия удовлетворяются вследствие равенства нулю момента инерции поперечного сечения балки при 5 = 0. Вставляя Уз вместо у в выражение интеграла 8 и составляя уравнения (с), приходим к такой системе Ь [c.205]

Если контур будет замкнутым, то первое слагаемое, содержащее интеграл от йг, обратится в нуль. Так как проекции скорости должны представлять собой однозначные функции, то и последнее слагаемое также должно обратиться в нуль. Следовательно, при поступательном движении плоского замкнутого контура в вязкой несжимаемой жидкости при условии прилипания частиц к контуру и при отбрасывании квадратичных членов инерции главный вектор результирующего воздействия в комплексной форме будет представляться окончательно в виде [c.160]

При вычислении квадратуры в (29) делается замена переменной -ш = 8. В комплексной плоскости 3 = и + iv подынтегральная функция имеет особые точки в нуле (в = 0) — полюс первого порядка, две точки ветвления алгебраического типа при 8 = -/3 и 8 = -1. Для однозначного представления подынтегральной функции в (24) в комплексной плоскости 3 проводятся разрезы от 5 = -/3 и 5 = -1 до -оо вдоль отрицательной части вещественной оси (Ке з < 0), с последующим выбором ветвей функций //3 + 8 и VI + 5 при условии /1 = 1. Вычисление интеграла в [c.35]

Так как Ж 1, ср, /х) — тоже первый однозначный интеграл, то [c.112]

Если /X достаточно мало, то функция ё , Ж) аналитична по I, (р в области V х И, где V — компактная область, лежащая внутри V. Так как разложение функции (Ж) в ряд по степеням /х не содержит свободного члена, то — М Ж) = = /х . Функция 1, р, /х) — первый однозначный интеграл, аналитический в области А У, 1> )хИх —г, г ), где р, е достаточно малы. По леммам 1 и 2 функция не содержит ср и Жо 1) и 1) зависимы в области V С В. Так как [c.112]

Координаты Ql, .. участвующие в понижении порядка гамильтоновой системы, определены конечно неоднозначно к ним можно добавить произвольные первые интегралы уравнения (3.9). Гамильтониан пониженной системы в общем случае зависит от выбора решения Qn уравнения (3.9). Если же постоянная линейного интеграла Г равна нулю, то функция Г амильтона приведенной системы однозначно определена на кокасательном расслоении локального приведенного пространства положений, точки которого являются орбитами действия группы д. Иногда такое приведение при = О можно осуществить не только локально, но и в целом. [c.37]

Уравнения (8.7) образуют систему 6n-f6 дифференциальных уравнений второго порядка, т. е. представляют собой совместную систему 12(n-fl)-ro порядка. Поэтому общий интеграл этой системы, дающий полное решение рассматриваемой задачи, должен состоять из 12(n-fl) независимых первых интегралов и должен содержать такое же число произвольных постоянных, которые могли бы быть однозначно определены начальными значениями величин (8.1) и их первых производных по времени. [c.386]

Так как указанное интегро-дифференциальное уравнение содержит только первую производную по времени, то его решение однозначно определяется начальным условием Е к, 0) = Е к). Поэтому, зная нз эксперимента форму спектра в начальный момент времени, можно с помощью численного интегрирования определить ее для всех последующих моментов. В применении к уравнению Гейзенберга [c.215]

В дальнейшем мы будем пользоваться следующей терминологией. Если уравнения движения системы (определяемой двумя автономными уравнениями первого порядка) допускают однозначный аналитический интеграл, то мы будем говорить, что структура интегральных кривых на фазовой плоскости для этой системы имеет консервативный характер. Такую систему, имеющую однозначный аналитический интеграл, мы будем называть консервативной системой, если она имеет интегральный инвариант, удовлетворяющий следующим требованиям 1) область интегрирования 0(4) может быть выбрана любой, лишь бы ее не пересекали некоторые изолированные кривые 2) при дальнейшем изменении t 0 t) не стремится к нулю, оставаясь в конечной части фазовой плоскости. [c.163]

Значение эйконала т+(М, у) — у(—у) в этой стационарной точке совпадает (тоже с точностью до членов порядка 0( -л ,/б)) значением эйконала отраженной волны, найденным с помощью лучевого метода. Если расстояние к от рассматриваемой точки М до границы свет —тень удовлетворяет неравенству (5.1), то интеграл 2 (см. (2.8)) можно асимптотически вычислить по методу стационарной фазы ). Первое слагаемое в формуле (2.7) /1 имеет лучевое разложение, совпадающее с разложением падающей волны, 2, будучи формальным решением уравнения Гельмгольца, имеет эйконал отраженной волны, и сумма этих слагаемых обращается в нуль на 5. Из того, что по лучевому разложению падающей волны лучевое разложение отраженной волны определяется однозначно (см. гл. 1), следует, что в области (5.1) асимптотическое разложение 2 совпадает с лучевым разложением отраженной волны. [c.401]

Эту формулу мы и положим в основу дальнейшего анализа. Во-первых, отметим, что подынтегральная функция является однозначной на всей комплексной плоскости у. (не имеет точек ветвления). Следовательно, значения интеграла (1.7.7) полностью определяются вычетами в полюсах подынтегрального выражения. Полюса, как видно из (1.7.7), подчинены трансцендентному уравнению [c.60]

Первый интеграл в (16) равен / смысл обозначений Г, Vr и т. д. ясен из рис. 13. Заметим, что в уиругопластическом теле ири произвольной истории нагружения dW/дх .ф aij de,ij/dx ], поскольку 0(7 не будут однозначными функциями компонент деформации ец. В общем случае величину dW/dxi несложно найти, определив полную работу напряжений W для двух соседних частиц материала. [c.66]

В первых трех главах содержится решение проблемы Пуанкаре о несуществовании дополнительного аналитического первого интеграла уравнений вращения тяжелого несимметричного волчка, поставленной в знаменитых Новых методах небесной механики . В четвертой главе рассмотрены динамические эффекты, препятствующие интегрируемости несимметричного волчка рождение бесконечного числа невырожденных долгопериодических решений и расщепление сепаратрис. Впоследствии автор этой книги связал два указанных явления, оба из которых восходят к Пуанкаре. Мы приводим в приложении доклад В. В. Козлова на семинаре в Институте машиноведения РАН, в котором демонстрируется превосходство методов Пуанкаре над стандартными методами теории колебаний при изучении периодических колебаний в системах Дуффинга. В пятой главе приведено решение старой проблемы Пенлеве-Голубева о связи между ветвлением решений уравнений динамики в комплексной плоскости времени и существованием новых однозначных первых интегралов. Эти результаты дали сильный толчок исследованиям по проблеме точной интегрируемости уравнений движения. Современное состояние этой теории изложено в недавней книге В. В. Козлова Симметрии, топология и резонансы в гамильто- [c.9]

Что касается первого интеграла, то на первый взгляд он должен равняться нулю, как всякий интеграл от градиента функции по замкнутому контуру. Однако в действительность это не обязательно должно быть так. Для однозначности функции Ч = Ч 1ехр( х) не требуется, чтобы фаза % не менялась при обходе по замкнутому контуру достаточно лишь того, чтобы она менялась на 2лп, где п—целое число. Итак, в общем случае [c.352]

Это — движение твердого тела вокруг его центра тяжести. Размерность фазового пространства равна б. Существует 4 первых интеграла, независимых и однозначных энергия Т и три составляющие момента количества движения т относительно фиксированных осей. Точки фазового пространства, для которых Тит принимают заданные значения, образуют в общем случае многообразие М размерности 2 = 6 — 4, являющееся тором. Так как многобразие М инвариантно относительно динамического потока ipt, М несет инвариантную меру л (теорема Лиувилля). Следовательно, (М, / , ( ) — классическая система. Это доказывает также, что М несет на себе поле касательных векторов, не имеющее особых точек, — инфинитезимальный генератор потока (р . [c.118]

Заметим, что набор ( 1,. .., ю ) однозначно определяется (с точностью до перестановок) по Я-симметризатору и форме Е. Любая Я-система регулярна. Поэтому к.-н. Я-система с положительным квадратичным первым интегралом Е есть Я-СГТ. Для любой Я-СГТ существует система канонических линейных координат (р, д) в фазовом пространстве К ", в которой уравнения движения имеют вид (5), первый интеграл Е — вид (6) и характеристическая квадратичная форма [c.231]

Первый интеграл в правой части этого равенства в случае замкну-того контура L ввиду однозначности перемеш,ения обращается в нуль. Вгарой интеграл в правой части равняется удвоенной площади ограниченной контуром 1 [c.246]

При решении уравнений (3.2.9) методом итераций любая дуга может быть исключена. В пределе бесконечного числа итераций все дуги исчезнут и окончательные выражения для будут содержать только вклады сильно связных диаграмм со свободными линиями справа. Таким образом, правила диаграммной техники обеспечивают взаимно-однозначное соответствие между диаграммами и разложениями корреляционных функций по одночастичным функциям распределения. Иными словами, диаграммную технику можно использовать как графический метод решения цепочки ББГКИ. Такой подход обладает двумя важными достоинствами. Во-первых, диаграммы высших порядков составляются из отдельных блоков, каждый из которых, в свою очередь, соответствует некоторой последовательности диаграмм. Во-вторых, во всех порядках теории возмущений остаются только сильно связные диаграммы, которые, как мы вскоре убедимся, дают вклад в интеграл столкновений. [c.188]

Потенциальное течение с циркуляцией. Подъемная сила крыла. Эффект Магнуса. Хотя при всех потенциальных течениях циркуляция в любой малой области потока равна нулю, тем не менее существуют такие потенциальные потоки, в которых циркуляция для всего потока в целом не равна нулю. Правда, необходимым условием для этого является многосвязность области, в которой происходит течение. Область пространства или плоскости называется многосвязной, если в ней можно провести такие замкнутые кривые, которые нельзя стянуть в точку, не разрывая их, т.е. не выходя за пределы области. Примерами двухсвязной области могут служить комната с колонной посредине или область вокруг кольца. Пусть поток занимает многосвязную область, в каждой односвязной части которой частицы движутся без вращения, следовательно, в каждой такой части циркуляция равна нулю. Далее, пусть в рассматриваемой области циркуляция вдоль какой-нибудь кривой, которую нельзя стянуть в точку, равна Г. Тогда, как легко доказать, циркуляция вдоль любой другой кривой, которую нельзя стянуть в точку и которая получается из первой непрерывной деформацией, также равна Г. В 10 мы определили потенциал в заданной точке как значение криволинейного интеграла при интегрировании между фиксированной точкой и заданной точкой. Поскольку теперь в потоке существуют замкнутые кривые, вдоль которых циркуляция не равна нулю, а имеет некоторое значение Г, то это означает, что потенциал такого потока не является больше однозначным наоборот. [c.102]

Здесь FjTj — однородная форма переменных однозначная на римановой поверхности X частного решения zo t), причем Fo t) = = f zo) = onst. Ряд (5.4) — интеграл уравнений (5.2). Очевидно, что первая ненулевая форма Г пг 1) является интегралом линейных уравнений в вариациях (5.3). Так как функция jF постоянна на решениях (5.3), то при каждом to X однородная форма Fm( , to) инвариантна относительно действия группы монодромии Fm(T ,io) = Fm h), Т е G. Это свойство налагает жесткие ограничения на вид первых интегралов если группа G достаточно [c.359]

Интегрируемость случаев Эйлера и Лагранжа обусловлена естественными динамическими симметриями и сохранением соответствующих первых интегралов. С. В. Ковалевская нашла свой случай интегрируемости, исходя из неочевидных аналитических соображений, используя хорошо развитую в то время теорию алгебраических функций (частным случаем которых являются эллиптические функции). Она потребовала однозначности общего решения на комплексной плоскости времени, что привело в будущем к возникновению одного из наиболее продвинутых методов анализа динамических систем на интегрируемость — тесту Пенлеве-Ковалевской. Интеграл Ковалевской уже не имеет естественного симметрийного происхождения, как говорят, его симметрии являются скрытыми, а сама проблема описания движения и явного интегрирования в этом случае является существенно более сложной. [c.14]

Мемуар С. В. Ковалевской, напечатанный в 12 томе A ta mathemati a (с дополнением к нему в 14 томе), перевод которого дается в этом сборнике, внес ряд новых блестящих страниц в историю задачи о вращении твердого тела. Во-первых, С. В. Ковалевской был открыт новый случай интегрируемости, для которого она нашла четвертый алгебраический интеграл (в дополнение к трем классическим) и дала общее решение. Во-вторых, в связи с полученными С. В. Ковалевской результатами оказались поставленными две математические задачи о существовании однозначных решений задачи [c.158]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...