Однозначность решения уравнений

Уравнения динамики в совокупности представляют (jV+1) уравнений связи между (2Л/-(-2) физическими переменными (токи, напряжения катушек, частота вращения и момент ротора). Следовательно, для решения этих уравнений кроме граничных условий необходимо задать также поведение (Л +1) переменных. В качестве заданных принципиально можно выбрать любые из физических переменных. Однако считая, что напряжения катушек и момент на валу являются внешними силами, действующими на обобщенную модель, и для большей определенности будем предполагать, что заданными являются функции п=1,, Ы, M(t). Задавая также постоянные коэффициенты и параметры, а также начальные условия, можно получить однозначное решение уравнений динамики относительно токов и частоты вращения. [c.64]

Заметим далее, что в основном уравнении равновесия жидкости неизвестны только две величины р и р (значения же проекций единичных массовых сил X, V к Z, а также координаты точки предполагаются заданными). Следовательно, для получения однозначного решения уравнения (1.20) нужно воспользоваться так называемым характеристическим уравнением, которое определя- [c.37]

Это уравнение выражает зависимость изменения во времени температуры в некоторой точке тела от свойств поля и производительности источников теплоты в окрестности этой точки, т. е. устанавливает связь между пространственными и временными изменениями температуры. Решая уравнение теплопроводности, можно определить температурное поле в твердом теле. При этом искомая функция Т(х,у,2,с) должна удовлетворять уравнению (2.5) и, следовательно, соответствовать закону сохранения энергии. Однако для получения однозначного решения уравнения (2.5) необходимо выполнение следующих условий [c.81]

Для того чтобы выделить однозначное решение уравнения (12-21), необходимо сформулировать к нему начальные и граничные условия. [c.340]

Однозначность решения уравнения i(6- 40) достигается введением следующих краевых условий [c.254]

Для нахождения однозначного решения уравнения теплопроводности в общем случае необходимо его дополнить начальным и граничными условиями. [c.403]

В теории потенциала доказывается, что ньютонов потенциал (9) представляет единственное конечное, непрерывное, однозначное решение уравнения Пуассона (11), обращающееся в бесконечности в нуль первого порядка. [c.273]

Таким образом, в случае тонких стержней и пластинок отпадают те условия, на которых построено доказательство теоремы об однозначности решения уравнений теории упругости, и мы встречаемся с возможностью существования нескольких форм равновесия при одних и тех же внешних силах. Так, например, при действии продольных сжимающих сил прямой стержень может сохранить свою прямую ось но при некоторых условиях эта ось может и искривиться, тогда мы [c.257]

Для однозначного решения уравнений теплопроводности (4.71) и, жения (4.72) необходимо задать краевые условия. Начальные условия [c.112]

Уравнение (10) имеет действительные корни при условии, что его правая часть по абсолютной величине не превосходит единицы. Это условие определяет зоны пропускания объемных волн. В зонах пропускания однозначное решение уравнения (10) определяется согласно правилу отбора мод (7). [c.825]

Для однозначности решения уравнения (3.1.2) необходимо его дополнить соответствующими начальным и граничными уело, [c.54]

При сверхзвуковом обтекании тел перед ними или внутри возмущенной области возникают ударные волны, отошедшие или присоединенные, типичные формы которых показаны на рис. 2.1. Математически появление ударных волн обусловлено невозможностью построения в этих случаях непрерывного однозначного решения уравнений сверхзвукового невязкого течения газа, физически — тем, что с ростом давления последовательные волны сжатия догоняют друг друга, усиливая первоначальное возмущение ( 3.3). [c.50]

ОДНОЗНАЧНОСТЬ РЕШеНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 125 [c.125]

Однозначность решения уравнений теории упругости [c.125]

При решении всех предыдущих задач мы шли обратным методом, задаваясь напряжениями и выясняя, при каких силах, действующих на поверхности, получается выбранная система напряжений при этом каждый раз может возникнуть вопрос, нельзя ли при какой-либо другой системе напряжений получить такие же силы на поверхности. Если это окажется возможным, то решение уравнений теории упругости окажется многозначным заданным силам на поверхности будут соответствовать несколько систем напряжений, и необходимо выяснить, какие из этих систем имеют место в действительности. В этом случае при обратном или полуобратном способе решения мы не будем уверены, что выбрали именно ту систему напряжений, которая соответствует действительности. Благодаря этому вопрос об однозначности решения уравнений теории упругости приобретает большое вначение. [c.125]

ОДНОЗНАЧНОСТЬ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.127]

Однозначность решения уравнений теории упругости 125, 131 Однородность тел 68 Оператор Лапласа 92, 187 Ось нейтральная 117 [c.362]

Как известно, для однозначного решения уравнения Лапласа в этом случае необходимо помимо граничных условий задать также циркуляции iij по контурам li, i = 1,..., n. (Как следует из теоремы Грина, циркуляции вдоль гомотопных контуров совпадают.) [c.268]

Определитель Якоби. Допустим на время, что условия (4) и (5) удовлетворены. Возникает важный вопрос, являются ли новые переменные Х] У однозначным решением уравнений преобразования (2) в окрестности точки gi,. ..,-gn T]i,. .., Т1 . Для этого необходимо, чтобы определитель Якоби J не обращался в нуль. Этот определитель имеет вид [c.456]

Спрашивается, в каких еще случаях возможно существование четвертого алгебраического интеграла. В то время, когда Ковалевская писала свою работу, ]Брунсом был исследован вопрос об алгебраических интегралах задачи п тел. Именно он доказал, что задача не имеет других алгебраических интегралов, кроме классических. Следовательно, остальные интегралы должны быть трансцендентными. Пуанкаре изучал более общий вопрос —об однозначных решениях уравнений динамики в канонической форме. Он показал, что, вообще говоря, не существует даже однозначного трансцендентного первого интеграла, отличного от классических. Однако эта [c.167]

Такие процедуры непосредственно ведут только к достаточным условиям для А, В, С. Теорема же об однозначности решения уравнения Лапласа с данными граничными условиями (гл. III, п. 5) обеспечивает, что полученное таким образом решение аналитически эквивалентно единственному физическому решению задачи. [c.358]

Дифференциальные уравнения (1-37)— (1-41) приближенно описывают течение дисперсного потока в общем виде и могут иметь множество решений. Для того чтобы в конкретной задаче получить однозначное решение, необходимо наложить дополнительные связи, описывающие все характерные частные особенности рассматриваемого случая. Перечень этих связей, которые необходимо знать наперед, называют условиями однозначности или расширенными краевыми условиями. Пусть, например, рассматривается осесимметричный поток газовзвеси в вертикальном канале постоянного сечения. В этом случае [c.116]

Конкретный вид системы расчетных уравнений и способы ее решения определяются типом сложного трубопровода и характером поставленной задачи. Для получения однозначного решения система расчетных уравнении должна быть замкнутой, т. е. число независимых неизвестных в ней должно быть равно числу уравнений. [c.266]

Из трех не равных нулю координат только одну можно задать независимо. Две другие выразятся через нее как решения уравнений связей. В качестве независимой координаты можно выбрать любую из трех координат х , у , х или любую комбинацию этих координат. Нужно только, чтобы она однозначно определяла положение механизма относительно осей координаг Оху. Координаты х и х следует исключить. Они неоднозначно определяют положение механизма. Удобно в качестве независимой обобщенной координаты q выбрать угол ф, т. е. [c.393]

Знак — во втором уравнении показывает, что заряды движутся в противоположные стороны. Однозначное решение системы (2-66) требует некоторых граничных условий. Примем, что до некоторого момента времени заряды в системе были неподвижны, и тогда [c.59]

Возможности решения уравнений обобщенной модели ЭМП определяются основными положениями теории обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Теоремы существования и единственности гарантируют однозначное решение на некотором интервале времени при условии непрерывной дифференцируемости переменных и непрерывности коэффициентов уравнений в зависимости от времени. Получаемые при этом решения, в свою очередь, являются непрерывными функциями времени. [c.62]

Фазовая плоскость для уравнения (6.1) вырождается в фазовую прямую. Рассмотрим представление движения на этой фазовой прямой. Согласно теореме о единственности решения уравнения (6.1), начальное условие при i = to X = х однозначно определяет дальнейшее движение изображающей точки. Характер движения изображающей точки не будет зависеть от момента времени to, так как уравнение (6.1) явно от времени не зависит. Это значит, что каждая отдельная фазовая траектория на фазовой прямой соответствует не одному движению, а бесконечному множеству движений, соответствующим различным t . [c.215]

В системе уравнений число неизвестных не должно превышать числа уравнений, иначе система уравнений не имеет однозначных решений. [c.86]

Зависимость между состоянием системы и производными третьего порядка и выше также может быть установлена, но без дополнительных ограничений она приведет к дифференциальным уравнениям, для однозначного решения которых недостаточно задать лишь состояние системы, что окажется в противоречии с принципом детерминированности. [c.160]

При учете таких разрывных течений решение уравнений идеальной жидкости не однозначно наряду с непрерывным решением они допускают также и бесчисленное множество решений [c.33]

Реальная физическая задача об обтекании заданного тела, разумеется, однозначна. Дело в том, что в действительности не существует строго идеальных жидкостей всякая реальная жидкость обладает какой-то, хотя бы и малой, вязкостью. Эта вязкость может практически совсем не проявляться при движении жидкости почти во всем пространстве, но сколь бы она ни была мала, она будет играть существенную роль в тонком пристеночном слое жидкости. Именно свойства движения в этом (так называемом пограничном) слое и определят в действительности выбор одного из бесчисленного множества решений уравнений движения идеальной жидкости. При этом оказывается, что Е общем случае обтекания тел произвольной формы отбираются именно решения с отрывом струй (что фактически приводит к возникновению турбулентности). [c.34]

Ударная волна в местной сверхзвуковой зоне должна каким-то образом пересекаться со звуковой линией (мы будем говорить о плоском случае). Вопрос о характере такого пересечения нельзя считать выясненным. Если ударная волна заканчивается в точке пересечения, то в самой этой точке ее интенсивность обращается в ноль, а во всей плоскости вблизи точки пересечения движение околозвуковое. Картина течения в таком случае должна описываться соответствуюи им решением уравнения Эйлера — Трикоми. Помимо общих условий однозначности решения в физической плоскости и граничных условий на ударной волне, должны выполняться еще и следующие условия 1) если по обе стороны от ударной волны движение сверхзвуковое (так будет, если в точке пересечения кончается только ударная волна, упираясь в звуковую линию), то ударная волна должна быть приходящей по отношению к точке пересечения, 2) приходящие к точке пересечения характеристические линии в сверхзвуковой области не должны нести на себе никаких особенностей течения (особенности могли бы возникнуть лишь в результате самого пересечения и, таким образом, должны были бы уноситься от точки пересечения). Существование решения уравнения Эйлера— [c.641]

Вместо того чтобы искать неоднозначные решения уравнений равновесия, будем рассматривать и (г) как однозначную функцию, условившись, что она испытывает заданный скачок Ь на некоторой произвольно выбранной поверхности 5 , опирающейся на дислокационную петлю D. Если и и — значения функции соответственно на верхнем и нижнем берегах разрыва Зщ то [c.152]

Однозначность решения уравнений теории упругости для слзпгая тел с односвязным контуром была впервые доказана Кирхгофом Будем исходить при доказательстве из представления о естественном состоянии упругого тела. Если на элементы тела не действуют никакие объемные силы, а также не приложено никаких усилий к поверхности тела, то тело не испытывает никаких деформаций и все внутренние напряжения равны нулю. Предположим, что при заданных объемных силах рХ, рУ, рЕ и данных усилиях на поверхности Х , Уv, дифференциальные уравнения равновесия (3) имеют два решения. Пусть Хх,. .., Уг представляет систему напряжений, соответствующих первому решению, и Хк,. .., Уг — второму. Составим разности Хх = Хх — Х"х,. .., Уг == = у г — у г- Они представят собой систему напряжений Хх, У г, удовлетворяющих уравнениям [c.54]

В случаях, когда тело ограничено многосвязным контуром, доказательство однозначности решения уравнений теории упругости, основанное на представлении о естественном состоянии упругого тела теряет силу, и мы будем, вообще говоря, получать многозначные решения. Физический смысл этого заключения выясним на простейшем примере. Возьмем случай кольца. Одним плоским разрезом мы можем обратить кольцо в тело с односвязным контуром. В таком теле при определенных внешних силах возникают вполне определенные напряжения и деформации. Если мы удалим внешние силы, напряжения и деформации пропадут, тело вернется к своему естественному состоянию. Удалим посредством плоского сечения тонкий слой материала кольца у места разреза. Тогда концы разрезанного кольца не будут совпадать друг с другом при отсутствии внешних сил мы сможем привести их к соприкасанию, лишь приложив внешние силы. Предположим, что мы достигли таким путем соприкасания и скрепили (склеили, спаяли) между собой поверхности, соответствующие месту разреза, тогда по удалении внешних сил в кольце останутся напряжения, величина которых будет зависеть от того, какая часть материала кольца была удалена у места разреза. Напряжения эти, возникающие, как мы видим, в телах с многосвязным контуром, при изготовлении называют самонапряжениями или начальными напряжениями. Они именно и обусловливают многозначность решений уравнений теории упругости в случае многосвязных контуров [c.55]

Во всех тех случаях, когда в конструкциях применяются тонкие стержни или пластинки, необходимо считаться с возможностью потери устойчивости деформации таким образом ставится общая проблема устойчивости упругих систем. Мы уже видели, что первые исследования, относящиеся к проблемам этого типа, были сделаны Эйлером и Лагранжем, которыми был решен ряд отдельных, не связанных между собою задач. Во всех этих задача % при одних и тех же внешних силах возможны два вида равновесия и обычное доказательство 134) однозначности решений уравнений теории упругости оказывается неприменимым. Общая теория устойчивости была предложена Брайаном (G. Н. Вгуап) Он пришел к выводу, что исключения из теоремы об единственности возможны лишь тогда, когда большие относительные смещения разных частей тела сопровождаются малыми деформациями в отдельных точках, как это имеет место в случае тонких стержней и пластинок, или же тогда, когда возникают смещения, мало отличающиеся от тех, которые возможны для неизменяемого твердого тела последнее обстоятельство имеет место, например, в случае сферы, сдавливаемой круглым кольцом несколько меньшего диаметра. Во всех случаях, когда возможны две формы равновесия, критерий для определения той формы, которая будет иметь место, состоит в условии, что энергия должна иметь наименьшее значение. [c.42]

Последний интеграл (1.7) определяет перемещение изображающей точки во времени. Производные д и могут рассматриваться как компоненты 2и-мерного вектора фазовой скорости — скорости движения изображаюшей точки по фазовой траектории. Заметим, что в силу однозначности решений уравнений движения две различные фазовые траектории пересекаться не могут. (Действительно, если бы это имело место, то, прн начальном положении изображающей точки в точке их пересечения, начальное состояние систем определяло бы дальнейшее движение неоднозначно.) [c.168]

Нетрудно установить, насколько однозначно решение уравнений (А ) и (33). Уравнение (А ) допускает, ещё аддитивный дополнительный член в выражении для который должен коммзггировать со всеми у>. Этот член необходимо должен быть вида [c.248]

Это возражение было бы решающим применительно к кораблю или препятствию, создающим достаточно щирокий спектр волн, заполняющих больщую часть кельвиновской картины, для которых, в частности, значительная часть энергии отвечает точкам, лежащим как ниже, так и выще точки Р на рис. 1. Однако мы уже отмечали, что судно, движущееся при больших числах Фруда, создает главным образом боковые волны, соответствующие точкам, лежащим значительно выше точки Р гребни этих волн образуют малый угол с направлением движения судна. Если же судно движется при малых числах Фруда, то оно создает главным образом диагональные волны (соответствующие точки лежат значительно ниже Р), причем гребни образуют почти прямой угол с направлением движения. Любой из этих случаев (соответственно эллиптический и гиперболический) представляется вполне подходящим для экспериментальной проверки однозначных решений уравнений Уизема. [c.55]

Рассмотрим решение уравнений движения, начальные условия которого при < = О изображаются некоторой точкой М фазового пространства. Для момента I будем иметь преобразование в силу уравнений движения, переводящее точку М в точку М 1). Пусть уравнения движения автономны, т. е. ускорение не зависит явно от времени, и пусть любое их решение продолжается на всю ось вpevteни. Преобразование (7 , обеспечивающее переход М —> М 1), взаимно однозначно и дифференцируемо по фазовым координатам диффеоморфизм). Все такие преобразования С образуют группу [c.189]

Но для среды конечного объема комплексные решения, вообще говоря, не могут суш,ествовать. В этом можно убедиться путем следующего рассуждения. Уравнение, которому удовлетворяет фо, вещественно, и то же самое относится к граничным условиям. Поэтому, если (ро(х,у,2) есть ешение уравнений движения, то и комплексно сопряженное ф тоже есть решение. Поскольку, с другой стороны, решение уравнений при заданных граничных условиях, вообще говоря, однозначно ) (с точностью до постоянного множителя), то должно быть ф = onstф , где [c.375]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...