Группа симплектическая

Как легко проверить, произведение двух симплектических матриц, обратная матрица для любой симплектической и единичная матрица являются снова симплектическими матрицами. Поэтому симплектические матрицы образуют группу — симплектическую группу. [c.185]

Гамильтонова механика — это геометрия в фазовом пространстве. Фазовое пространство имеет структуру симплектического многообразия. На симплектическом многообразии действует группа симплектических диффеоморфизмов. Основные понятия и теоремы гамильтоновой механики (даже если они и формулируются в терминах локальных симплектических координат) инвариантны относительно этой группы (и относительно более широкой группы преобразований, затрагивающих также и время). [c.142]

A. Пуассоновские действия групп Ли. Рассмотрим симплектическое многообразие (М , о ), и пусть группа Ли G действует на нем как группа симплектических диффеоморфизмов. Каждая однопараметрическая подгруппа группы G действует тогда как локально-гамильтонов фазовый поток на М. Во многих важных случаях эти потоки имеют однозначные функции Гамильтона. [c.338]

Теперь мы предположим, что задано такое симплектическое действие группы Ли С на связном симплектическом многообразии М, что каждому элементу а алгебры Ли группы С соответствует однопараметрическая группа симплектических диффеоморфизмов с однозначным гамильтонианом Н . Эти гамильтонианы определены с точностью до постоянных слагаемых, которые можно выбрать так, чтобы зависимость Н от а была линейной. Для этого достаточно как угодно выбрать константы в функциях Гамильтона для каких-нибудь базисных векторов алгебры Ли группы С и затем определить функцию Гамильтона для любого элемента алгебры как линейную комбинацию базисных. [c.338]

Симметрии в гамильтоновой механике. Пусть (М, а ) — симплектическое многообразие н группа g действует на М как группа симплектических диффеоморфизмов. С группой g связано векторное поле [c.97]

Теорема 10. Группа симплектических диффеоморфизмов д с однозначной функцией Гамильтона Р сохраняет функцию Н тогда и только тогда, когда Р — первый интеграл га- [c.98]

Поскольку система (31) гамильтонова, то преобразования группы монодромии являются симплектическими. Задача об интегралах групп симплектических преобразований изучена [c.261]

Действие группы симплектическое 98 [c.301]

Докажем теорему 1 для простого, но важного для приложений случая п = 1. Пусть собственное значение отображения д не является корнем из единицы, и пусть х,у — симплектический базис для д. Собственные направления д — две прямые а = О и у = 0. Выше было показано, что любой однородный интеграл д имеет вид с хуУ з е М). Пусть д —другое отображение из группы С. Функция хуУ инвариантна относительно действия д, поэтому множество ху = О остается неподвижным при отображении д. Так как д — невырожденное линейное отображение, то точка х = у = О неподвижна, и отображение д либо сохраняет собственные направления отображения д, либо переставляет их. В первом случае д, очевидно, коммутирует с 5, а во втором случае имеет вид х —у ау, у — х. Отображение д — симплектическое, поэтому его матрица Т = р удовлетворяет условию Т У JT = J, откуда а = [c.365]

В настоящее издание включено три новых добавления. Они отражают новое развитие геометрии систем лучей (теории особенностей и перестроек каустик и волновых фронтов, связанной с теорией групп, порожденных отражениями), теории интегрируемых систем (геометрической теории эллиптических координат, приспособленной для бесконечномерных обобщений) и теории пуассоновых структур (часто встречающихся в математической физике обобщений симплектических структур, отличающихся тем, что скобки Пуассона вырождаются). [c.6]

На симплектическом многообразии, как и на римановом, имеется естественный изоморфизм между векторными полями и 1-формами. Векторное поле на симплектическом многообразии, соответствующее дифференциалу функции, называется гамильтоновым векторным полем. Векторное поле на многообразии задает фазовый поток однопараметрическую группу диффеоморфизмов. Фазовый поток гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии сохраняет симплектическую структуру фазового пространства. [c.175]

А. Гамильтоновы фазовые потоки сохраняют симплектическую структуру. Пусть (М , (О ) — симплектическое многообразие, Н М К — функция. Предположим, что соответствующее В гамильтоново векторное поле I д,Н задает однопараметрическую группу диффеоморфизмов Л/ ", [c.177]

Задача. Всякая ли однопараметрическая группа диффеоморфизмов сохраняющих симплектическую структуру, является гамильтоновым-фазовым потоком [c.179]

А. Скобка Пуассона двух функций. Пусть (Л/ ", (о ) — симплектическое многообразие. Функции Н К, заданной на симплектическом многообразии, соответствует однопараметрическая группа я Л/ " канонических преобразований [c.187]

Теорема. Если функция Гамильтона Н, заданная на симплектическом многообразии (М , ), выдерживает однопараметрическую группу канонических преобразований, заданную гамильтонианом F, то F есть первый интеграл системы с функцией Гамильтона Н. [c.188]

В. Симплектическая группа. С евклидовой структурой связана ортогональная группа линейных отображений, сохраняющих евклидову структуру. В симплектическом пространстве аналогичную роль играет симплектическая группа. [c.193]

Множество всех симплектических преобразований называется симплектической группой и обозначается 8р(2п). [c.193]

Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из того, что каноническая 1-форма, симплектическая 2-форма и действие группы вещественных чисел определены самой контактной структурой (при их построении не использовались координаты или иные неинвариантные средства), а диффеоморфизм / сохраняет контактную структуру. Из этого следует, что / переводит в себя все то, что инвариантно построено по контактной структуре, в частности 1-форму а, ее производную йа и действие группы, ч. т. д. [c.327]

Совместные многообразия уровня этих первых интегралов в фазовом пространстве являются инвариантными многообразиями фазового потока. Подгруппа группы симметрий, оставляющая такое инвариантное многообразие на месте, действует на нем. Во многих случаях можно рассматривать фактор-многообразие инвариантного многообразия по зтой подгруппе. Это фактор-многообразие называется приведенным фазовым пространством. Приведенное фазовое пространство имеет естественную симплектическую структуру. Исходная гамильтонова динамическая система задает на нем снова гамильтонову систему. [c.337]

Итак, симплектическое действие группы С, при котором существуют, однозначные гамильтонианы, задает двумерный класс когомологий алгебры Ли группы С. Этот класс когомологий измеряет отклонение действия от такого, при котором функцию Гамильтона коммутатора можно выбрать равной скобке Пуассона функций Гамильтона. [c.339]

Задача о полиномиальных инвариантах групп симплектических преобразований изучалась С, Л. Зиглиным в работе [64]. Ниже излагаются его основные результаты. [c.364]

Гамильтонова механическая система задается четномерным многообразием ( фазовым пространством ), симплектической структурой на нем ( интегральным инвариантом Пуанкаре ) и функцией на нем ( функцией Гамильтона ). Каждая однопараметрическая группа симплектических диффеоморфизмов фазового пространства, сохраняющих функцию Гамильтона, связана с первым интегралом уравнений движения. [c.142]

Определение. Симплектизация контактного векторного поля определяется следующей конструкцией. Рассматриваем поле как поле скоростей однопараметрической группы контактных диффеоморфизмов. Симплектизируем диффеоморфизмы. Получаем однопараметрическую группу симплектических диффеоморфизмов. Рассматриваем поле скоростей этой группы. Оно и называется симплектизацией исходного контактного поля. [c.327]

Пример 8. Пусть — гладкое многообразие и g — группа его диффеоморфизмов, порожденная векторным пачем и. Поскольку каждый диффеоморфизм N переводит 1-формы в 1-формы, то группа действует и на пространстве кокасательного расслоения М = Т М. Напомним, что М имеет стандартнук> симплектическую структуру ш =ёр/ <1д = й(р-с1ц), где р,д — канонические координаты на ЛГ. Поскольку группа g сохраняет 1-форму р-с1д, то она сохраняет 2-форму и, стало быть, является группой симплектических диффеоморфизмов М. Действие g на М порождается однозначной функцией Гамильтона Р = р и. Д [c.98]

Все обобщенно-симплектические матрицы (при всех также образуют группу. Если М — обобщенно-симплектическая матрица, то AtXM — . [c.185]

Зафиксируем значение интеграла энергии, отвечающее частному решению zo(-), и ограничим уравнения Гамильтона (5.15) на (2п — 1)-мерную энергетическую поверхность H z) = H zo -)) = = onst, в результате получим автономную систему дифференциальных уравнений с тем же частным решением. Этому решению отвечают приведенные уравнения в вариациях (порядка 2п — 2) и приведенная группа монодромии. Из теоремы Уиттекера о понижении с помощью интеграла энергии порядка уравнений Гамильтона вытекает гамильтоновость приведенной системы уравнений в вариациях. Следовательно, матрицы из приведенной группы монодромии также являются симплектическими. [c.364]

По поводу вопроса 1.4 Система (1.1) естественным образом связана с гамильтонианом Н п с симплектической формой dp А dx + + dq А dy. Система (1.4) — это характеристическая система дифференциальной формы pdx + qdy — Н dt = f dr + С dO — Н dt. Эти важные замечания объясняются в книге Арнольда [1], где также используется формализм Лагранжа. Роль этих структур в процессе редукции такова сопоставить с действием какой-нибудь хорошей группы симметрии первых интегралов. Так, враш,ение связано с С, перенос по времени — с Н. Почему нам не понадобились эти структуры при редукции Попросту потому, что в задаче о радиальном потенциале мы уже знали первые интегралы Н п С. Закончим эту лекцию, приведя пример редукции с помош,ью плохой группы симметрии, которая также хорошо подходит к процессу редукци. [c.16]

В классической механике используются весьма разнообразные математические методы и понятия дифференциальные уравнения и фазовые потоки, гладкие отображения и многообразия, группы и алгебры Ли, симплектическая геометрия и эргодическая теория. Многие современные математические теории возникли из проблем механики и лишь впоследствии приняли тот аксиоматически-абстрактный вид, который так затрудняет их изучение. [c.9]

Г. Локально гамильтоновы векторные поля. Пусть (ЛЯ", ш ) — симплектическое многообразие, g . Л/ — Ж - — однопараметрическая группа диф- феоморфизмов, сохраняющих симплектическую структуру. Будет ли g гамильтоновым потоком [c.190]

Задача 6. Докажите, что однопараметрическая группа диффеоморфизмов симплектического многообразия тогда и только тогда сохраняет симплектическую структуру, когда она яеляется локально гамильтоновым фазовым потоком. [c.191]

Задача 7. Докажите, что в симплектическом пространстве всякая однопараметрическая группа канонических (сохраняющих dp Д йд) диффеоморфизмов всегда яеляется гамильтоновым потоком. [c.191]

Что произведение двух симплектических преобразований симплектическое — очевидно. Чтобы оправдать термин симплектическая группа, нужно только доказать, что симплектическое преобразование невырождено, тогда ясно, что обратное также симплек-тично. [c.193]

Задача. Докажите, что ортогональные и одновременно симплектические преобразования комплексны, комплексные и ортогональные симплектичны, а симплектические и комплексные ортогональны, так что пересечения двух из трех групп равны пересечению всех трех [c.197]

Рассмотрим орбиты конрисоединенного представления группы в дуальном пространстве алгебры. На каждой такой орбите имеется естественная симплектическая структура (называемая фор- [c.286]

МОП Кириллова, так как А. А. Кириллов первым использовал ее в своем исследовании представлений нильпотентных групп Ли). Таким образом, орбиты конрисоединенного представления всегда четномерны. Заметим также, что мы получаем серию примеров симплектических многообразий, рассматривая различные группы Ли и всевозможные орбиты. [c.287]

Это уравнение мы будем называть уравнением Эйлера для угловой скорости. Заметим, что орбиты конрисоединенного представления под действием оператора А переходят в инвариантные многообразия уравнения Эйлера для углювой скорости эти многообразия имеют симплектическую структуру и т. д. Однако, в отличие от орбит в д,, зти инвариантные лшогооб-разия не определяются самой группой Ли С, но зависят также и от выбора твердого тела (т. е. оператора инерции). [c.293]

Еще один способ построения симплектической структуры на СР" состоит в том, что это пространство можно представить как одну из орбит коприсоединенного представления группы Ли, а на каждой такой орбите всегда есть стандартная симплектическая структура (см. добавление 2, пункт А). В качестве группы Ли можно взять группу унитарных (сохраняющих эрмитову метрику) операторов ъ п 1-мерном комплексном пространстве. Орбиты коприсоединенного представления в этом случае такие же, как и у присоединенного. В присоединенном же представлении оператор отражения в гиперплоскости (меняющий знак первой координаты и оставляющий остальные) имеет своей орбитой СР". Ибо оператор отражения в гиперплоскости однозначно определяется ортогональной ей комплексной прямой. [c.312]

Этот симплектический диффеоморфизм коммутирует с действием мультипликативной группы вещественных чисел на симплектизованном многообразии и определяется следующей конструкцией. [c.326]

Теорема. Определенное выше отображение /1 симплектизации контактного многообразия в себя является симплектическим диффеоморфизмом, коммутирующим с действием мультипликативной группы вещественных чисел и сохраняющим каноническую -форму на симплектизации. [c.327]

Теорема. Всякий симплектический диффеоморфизм симплектизации контактного многообразия, коммутирующий с действием мультипликативной группы 1) проектируется на исходное контактное многообразие в виде контактного диффеоморфизма [c.327]

Итак, по симплектическому действию труппы Ли С с однозначными на М гамильтонианами можно построить линейное отображение алгебры Ли группы С в алгебру Ли функций Гамильтона на М. При этом коммутатору двух элементов алгебры Ли сопоставляется функцияь], равная скобке Пуассона На, Н ) или же отличающаяся от этой скобки Пуассона на постоянную [c.338]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...