Квадратичная положительная

Подставив эти зависимости в формулу (2.7), можно получить выражение внутренней энергии деформации тела в виде квадратичного положительно определенного функционала, зависящего от производных перемещений и = и х, у, г), v = v (х, у, г), w = = W (х, у, Z). [c.41]

Теорема об асимптотической устойчивости линейных систем. Пусть для какой-нибудь положительно определенной квадратичной формы и (х, t) с коэффициентами — непрерывными ограниченными функциями времени — нашлась квадратичная положительно определенная форма w (х, t), удовлетворяющая условию [c.302]

Предыдущие рассуждения относятся к свободному движению жесткого спутника. В тех случаях, когда вращающийся спутник имеет баки с жидким топливом [72, 84] или присоединенные упругие элементы конструкции в виде солнечных батарей, антенн и т.п., условие устойчивости вращающегося КА становится более жестким /х//> 1 + С, где/ — осевой, а I = 1у — Jz — поперечный моменты инерции спутника С — квадратичная положительно-определенная форма параметров системы КА — жидкость. [c.37]

Второе и более высокие приближения приводят к неоднородным системам для нахождения Г "). Условия разрешимости этих систем позволяют найти КО,. ... Отсылая за подробностями вычислений к работе Р], приведем основной результат линейная поправка оказывается равной нулю, а квадратичная — положительной, причем для нахождения ее требуется знать решение системы второго приближения (функции Таким образом, с точностью до разложение (22.3) имеет вид [c.150]

При ц > О, ЗЯ + 2ц > О, р > О мы имеем дело с квадратичной положительно определенной формой. Поэтому должно быть [c.577]

Это нетрудно показать, вычисляя вторую вариацию потенциальной энергии так как здесь П—однородная квадратичная положительная форма компонент деформации, то ее вторая вариация будет той же самой квадратичной формой от вариаций компонент деформации бе,у, умноженной на 2, следовательно, [c.315]

Положительное значение квадратного корня из дисперсии называется средним квадратичным отклонением или стандартом [c.103]

Особое внимание при синтезе следует уделять выбору величин положительных ускорений толкателя, соответствующих концевым участкам профиля кулачка, так как эти участки вызывают наибольшие расчетные деформации в механизме. Наибольшая амплитуда упругих колебаний соответствует концу участка положительных ускорений и она возрастает с увеличением частоты вращения распределительного вала, так как максимальное ускорение связано с частотой вращения квадратичной зависимостью. [c.474]

Выражение (129.2) показывает, что кинетическая энергия механической системы со стационарными связями является квадратичной формой обобщенных скоростей. Так как кинетическая энергия механической системы всегда положительна, то эта форма положительно определенная. [c.365]

Обычно вместо (7.25) удобнее пользоваться положительно определенной квадратичной формой функционала [c.211]

Это выражение является квадратичной формой от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Из физического смысла понятия кинетической энергии следует, что функция Т равна нулю лишь тогда, когда все qj одновременно равны нулю, и положительна, если хотя бы одна из tjy отлична от нуля. Квадратичная форма, удовлетворяющая этим условиям, называется положительно определенной, а матрица, составленная из ее коэффициентов, [c.213]

Если дополнительно предположить, что не только А, но и С является матрицей положительно определенной квадратичной формы, то (как мы покажем далее) все корни характеристического уравнения (18) будут чисто мнимыми. [c.215]

Таким образом, для диссипативной системы функция Релея является положительно определенной квадратичной формой, и в уравнениях движения [c.216]

А и В будут матрицами положительно определенных квадратичных форм. [c.216]

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений самого общего вида. Иначе обстоит дело в том случае, когда система консервативна и матрица С = с /, является матрицей положительно определенной квадратичной формы ). Тогда в уравнениях линейного приближения [c.236]

В линейной алгебре доказывается теорема о том, что две квадратичные формы, одна из которых является положительно определенной, могут быть одновременно приведены к сумме квадратов с помощью неособенного линейного преобразования [c.237]

В общем случае это соотношение выполняется только при положительности первого и отрицательности второго слагаемого. Но, в частности, одно из слагаемых может равняться нулю. Такую возможность необходимо учитывать особо, она касается и неравенства (12.29). Действительно, квадратичная форма (12.31) имеет определитель, совпадающий с определителем системы уравнений Гиббса—Дюгема (9.49), который, как было показано ранее, при независимых q, равен нулю. В общем случае знак неравенства (12.29) должен, следовательно, быть дополнен знаком равенства. [c.122]

Положительная определенность квадратичных форм (12.32), (12.47) и соответствующих матриц означает, в частности, что все их элементы, расположенные на главной диагонали, должны быть положительными. Действительно, при i=/ частные производные в суммах (12.32), (12.47) умножаются на неотрицательные числа — квадраты вариаций переменных. Благодаря произвольности вариаций эти числа всегда можно считать положительными, а вариации других переменных с i j — равными нулю, так что знак неравенства должен выполняться для каждого из слагаемых суммы в отдельности. Поэтому из [c.125]

Сложнее гарантировать единственность решения, хотя это так же важно, как и доказательство его существования. Наиболее надежные выводы получаются при известной форме поверхности минимизируемой функции в многомерном пространстве. Проблема эта тесно связана с анализом устойчивости равновесия и частично уже обсуждалась в 12, 13. Выше встречались различные формулировки условий устойчивости говорилось о существовании взаимно однозначного соответствия между термодинамическими силами и координатами, о постоянстве знака якобиана их преобразования (9.23), о положительной определенности квадратичных форм (12.32), (12.47), о знаке определителей матриц вторых производных характеристических функций (9.24), (12.20). Еще одно эквивалентное выражение условий устойчивости связано непосредственно с характеристикой формы поверхности рассматриваемой функции — это ее выпуклость. [c.185]

Область пространства называют выпуклой, если отрезок прямой, соединяющей две любые точки этой области, расположен целиком в ней. Так, область допустимых решений на рис. 8 образует выпуклый четырехугольник. Функция является выпуклой, если выпукло множество точек, расположенных над ее графиком. Например, U(в) на рис. 4 — выпуклая функция. В многомерных пространствах эти наглядные представления не удается применить, и понятие выпуклости без дополнительных критериев, позволяющих выразить те же особенности функции в аналитическом виде, становится не более как образным выражением. Необходимым и достаточным условием выпуклости непрерывной функции с непрерывными вторыми производными является неотрицательность определителя матрицы, составленной из этих производных (матрицы Гессе). Если же гессиан определен положительно, т. е. условие э-0 для соответствующей квадратичной формы может быть заменено условием >0, то функция называется строго выпуклой. [c.185]

В линейной алгебре доказывается, что всякую положительно определенную квадратичную форму можно привести к диагональному виду. Простейший способ задать скалярное произведение — это [c.16]

Для склерономной системы кинетическая энергия представляет собой невырожденную положительно определенную квадратичную форму всех скоростей. Следовательно, полная энергия [c.570]

Определение 8.7.1. Механическая система называется позиционной линейной системой, если ее кинетическая энергия есть положительная симметричная квадратичная форма обобщенных скоростей [c.572]

Рассмотрим влияние гироскопических сил. Такие силы могут возникать, например, вследствие действия кориолисовых сил в неинерциальной системе отсчета. Они также могут быть следствием процедуры Рауса игнорирования циклических координат. Рассмотрим случай // = 2 + 0- Если лагранжевы координаты системы ортогональны в том смысле, что форма Ьо есть сумма членов, содержащих только квадраты обобщенных скоростей, то (см. 8.5) функция Рауса также будет представлять собой сумму положительно опреде,пен-ной квадратичной формы по позиционным скоростям и свободного от скоростей члена. Однако если 2 — произвольная положительно определенная квадратичная форма, то отсутствие линейного по скоростям члена в функции Рауса гарантировать нельзя, так что функцию Рауса следует принять в виде [c.593]

Квадратичная форма, которая принимает только положительные значения в области изменения переменных Хх и Х2 н равняется нулю только при нулевых значениях переменных, называется определенно положительной- [c.431]

Если пренебречь членами третьего и более высокого порядка, кинетическая энергия системы в окрестности положения равновесия будет однородной квадратичной формой обобщенных скоростей 1, д - Так как кинетическая энергия всегда положительна и равняется нулю только при нулевых значениях обобщенных скоростей, то она выражается вблизи положения равновесия системы определенно положительной квадратичной формой обобщенных скорое ген. [c.431]

Для того чтобы квадратичная форма Р была определенно положительной, необходимо и достаточно, чтобы ее коэффициенты удовлетворяли условиям [c.432]

Получим эти условия. Пусть в — определенно положительная квадратичная форма. Тогда, так как В > 0 при = 0, Х1 Ф 0, то Вц > 0. Аналогично из условия, что В > 0 при х, = 0, Х1 = 0, следует, что В22 > 0- Это необходимые условия определенной положительности квадратичной формы, но они недостаточны, так как В может стать отрицательной вследствие того, что В,.2 имеет достаточное по величине отрицательное значение. [c.432]

Так как кинетическая энергия в окрестности положения равновесия представляется определенно положительной квадратичной формой, то ее коэффициенты должны удовлетворять условиям (58), поэтому для ац, 012, О22 имеем [c.432]

Эти условия совпадают с условиями (58) определенной положительности квадратичной формы для Я. Следовательно, потенциальная энергия с принятой точностью выражается определенно положительной квадратичной формой в окрестности своего минимума при = I/2 =-= о, т. е. в окрестности устойчивого положения равновесия систел ы. [c.433]

Квадратичная форма для Ф, так же как и для кинетической энергии, по своей физической сущности, является определенно положительной и, следовательно, ее коэффициенты удовлетворяют условиям [c.434]

Докажем последнее утверждение. Предположим сначала, что связи в системе стационарны. Тогда кинетическая энергия системы согласно формулам (И. 27) — (II. 28с) является квадратичной положительно определешюй формой обобщенных скоростей [c.143]

В частности, линейное пространство характеристических функций квадратично-нелинейных (к.-н.) 0-систем с данными симметризатором (2) и квадратичным положительным первым интегралом (1) порождается кубическими формами Р (I, /) = для пар ( , /) таких, что 20,. + ву = О, Р (1, ,к)= Х ХуХ для трсек (/, /, к таких, что 0,. + 0- + + 0 = 0. [c.228]

При ответе на вопрос о гамильтоновости дайной СГТ г фазовым пространством К " и квадратичным положительным первым интегралом Е, условие одновременной [c.232]

Квадратичная ( юрма, которая принимает tojHjKO иoJЮЖи-тельные значения в области изменения нереме1нн,1х x и Xj и равна нулю только при нулевых значениях переменных, называется определенно-положительной. [c.470]

Как видно из формулы, потенциальная энергия деформации является квадратичной функцией обобщенных сил или обобщенных перемещений, так как последние линейно связаны с обобщенными силами. Следовательно, потенциальная энергия деформации всегда положительна. Ее величи[ а не зависит от порядка нагружения и целиком определяется окончательными значениями усилий и перемещений. Отметим также, что потенциальная энергия как квадратичная функция обобщенных нагрузок не подчиняется принципу независимости действия сил. Это значит, что потенциальная энергия, накопленная в результате действия группы сил, не равна сумме потенциальных энергий, вызванных действием каждой нагрузки в отдельности. Закон независимости действия сил при вычислении потенциальной энергии применим лишь в тех случаях, когда перемещение по направлению одной обобщенной силы, вызванное действием другой силы, равно нулю. [c.387]

Сходимость метода Ньютона к локальному экстремуму гарантируется только при положительности [grad Wo(Zk)]- , для чего используются специальные приемы [80]. Недостатком метода является необходимость вычисления вторых производных. Поэтому метод Ньютона может быть применен там, где он имеет очевидные преимущества, т. е. в окрестности экстремума Но, хорошо поддающейся квадратичной аппроксимации. [c.246]

Если квадратичная форма в разложении (2.23) в малой окрестности положения равновесия (нуля) является определенно-положительной, то и потенциальная энергия П будет определенно-положительной в этой окрестности. Так как, по предложению, П (О,. .., 0) = 0, то отсюда следует, что в положении равновесия П имеет локальный минимум и из теоремы Лагранжа — Дирихле следует устойчивость рассматриваемого положения равновесия. [c.87]

Программа 81ТУЕ8, написанная на языке НА81С, позволяет при помощи критерия Сильвестра (2.61) и условий (2.62) теоремы 2.10 решить вопрос, является ли заданная квадратичная форма (2.58) определенно-положительной или определенно-отрицательной. [c.109]

Квадратичная форма (12.31) является положительно полуопределенной имеется набор вариаций б ,, не меняющих химического состава системы, при котором эта форма равняется нулю. Положительно определена она только тогда, когда фиксировано хотя бы одно экстенсивное свойство системы либо имеются другие условия, исключающие возможность изменения состояния системы без изменения ее интенсивных свойств. [c.123]

Уравнение (10.19) квадратично относительно vh, следовательно, имеет два положительных решения, соответствующих двум различным скоростям Vj для каждого направления нормали N. Это означает, что при распространении света в анизотропной среде имеет место распростране1те одновременно двух волн с разными скоростями, которым соответствуют взаимно перпендикулярные направления колебания вектора электрической индукции . Очевидно, что при этом каждому направлению распространения и каждой поляризации будет соответствовать свой показатель преломления. Такая зависимость показателя преломления от поляризации волны приводит к раздвоению луча (двулучепреломлеиию) при прохождении анизотропных сред. [c.252]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...