Уравнение Лагранжа общее решение

Решение этой задачи посредством использования общих теорем динамики представило бы значительные трудности. Применение уравнений Лагранжа дает возможность сравнительно просто получить уравнения движения дифференциала и вновь демонстрирует удобство применения уравнений Лагранжа при решении сложных задач динамики систем с несколькими степенями свободы. [c.511]

При решении задач с помощью уравнений Лагранжа, общего уравнения динамики н метода кинетостатики силы разделяются на задаваемые и силы реакций связей. [c.545]

ЛС Лагранж полагал, что в случае наличия кратных корней уравнения частот (характеристического уравнения) в общее решение системы дифференциальных уравнений движения войдут члены, содержащие время t вне знаков синусов или косинусов. Например, в случае двукратного корня характеристического уравнения общее решение системы дифференциальных уравнений, по мнению Ж. Лагранжа, должно содержать члены [c.253]

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений самого общего вида. Иначе обстоит дело в том случае, когда система консервативна и матрица С = с /, является матрицей положительно определенной квадратичной формы ). Тогда в уравнениях линейного приближения [c.236]

Эти уравнения называются уравнениями Я -оби. Легко видеть, что каждое из уравнений Якоби имеет второй порядок, что общий порядок системы уравнений Якоби равен 2п — 2 и что подобно уравнениям Лагранжа эта система разрешима относительно старших производных и, следовательно, ири обычных предположениях решение полностью определяется начальными данными. [c.329]

Из общего уравнения динамики вытекают дифференциальные уравнения движения системы материальных точек, в которые не входят силы реакций идеальных связей. Возможно решение как прямых (определение сил по заданному движению), так и обратных задач (определение движения по заданным силам) динамики. При решении обратных задач приходится интегрировать составленную систему дифференциальных уравнений движения. Заметим, что использование общего уравнения динамики является формальным методом составления дифференциальных уравнений движения системы. Этот метод является менее удобным и менее эффективным по сравнению с применением уравнений Лагранжа второго рода (читатель сможет в этом убедиться, ознакомившись с содержанием следующего параграфа). [c.414]

Подобно предыдущей, данная задача была решена двумя способами с помощью общего уравнения динамики (см. задачу 397) и уравнений Лагранжа. Сопоставление обоих решений показывает, что применение уравнений Лагранжа является более эффективным и притом не требует использования формальных приемов, связанных с введением сил инерции. [c.505]

Первый метод решения данной задачи несколько быстрее ведет к цели, но правильный выбор той или иной общей теоремы динамики существенно зависит от содержания задачи и требует некоторого навыка. Второй путь — составление уравнений Лагранжа — несколько более длинный, но является универсальным способом, применимым к любым системам, подчиненным идеальным голономным связям. [c.594]

По методу Лагранжа вариации произвольных постоянных найти общее решение уравнения х + и/ х = ехр(1/<), где ш и — действительные постоянные, I — время. [c.301]

Чтобы найти общее решение уравнений (1.22), надо сначала исключить из них множители Лагранжа. [c.30]

Наконец, найдем число независимых постоянных интегрирования, содержащихся в общем решении системы уравнений Лагранжа первого рода. [c.33]

Основным отличием методики решения задач при помощи уравнений Лагранжа второго рода от методики решения задач иными способами, основанными на применении теорем динамики, является единая общая последовательность отдельных этапов решения и исследования каждой задачи. Можно указать следующую последовательность решения задач динамики при помощи уравнений Лагранжа второго рода. [c.135]

Следовательно, общее решение канонической системы уравнений и системы уравнений Лагранжа второго рода содержат одинаковое количество (2М) постоянных интегрирования. [c.147]

Канонические уравнения применяются, главным образом, при исследовании теоретических проблем аналитической механики,в особенности при изучении общих методов интегрирования уравнений динамики. Широко применяются канонические уравнения и в небесной механике. С другой стороны, их применение к простейшим конкретным задачам не приводит к большей эффективности по сравнению с решением, основанным на уравнениях Лагранжа второго рода. [c.149]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

В уравнения движения время t явно не входит. Исключая имеем пять уравнений, для которых найдены четыре первых интеграла. Согласно теории последнего множителя ) задача сводится к квадратурам. С. В. Ковалевская доказала, что кроме четырех случаев — Эйлера, Лагранжа, полной кинетической симметрии А = В = С и ее — нет случаев, когда общее решение уравнений движения является мероморфной функцией в комплексной плоскости переменного t. [c.197]

Можно заметить, что уравнения в вариациях (15) также можно получить в рамках мысли Лагранжа. Действительно. Если общее решение уравнений (14), зависящее от 2rt постоянных, подставить в уравнения (14), мы получим тождество, не зависящее от численных значений этих постоянных. Тождество это можно дифференцировать по постоянным. Дифференцируя один [c.282]

Общее решение. Необходимым условием экстремума одной из сумм (9.15), (9.16),.. . при данной формулировке задачи является удовлетворение требованиям теоремы правила множителей и, как следствия ее, соблюдение уравнений Эйлера — Лагранжа. Согласно теореме правила множителей и ее следствию [111] при наличии экстремума одной из сумм (9.15), (9.16),.. . необходимо, чтобы между узловыми точками соблюдались уравнения Эйлера — Лагранжа [c.179]

Рассмотренные первые интегралы представляют две квадратуры, необходимые для решения задачи. Так как у нас имеются две переменные г и 6, то для решения уравнений движения нам нужны в общей сложности четыре интеграции. В результате двух из них мы вместо уравнений Лагранжа получили два уравнения первого порядка (3.8) и (3.15). Две другие интеграции могут быть произведены (формально) разными путями. Наиболее простая процедура, по-видимому, состоит в интегрировании уравнения (3.15). Решая его относительно г, находим [c.77]

Инвариантность уравнений движения Лагранжа является одним из наиболее важных их свойств. Она позволяет использовать координаты, соответствующие особенностям задачи. Поскольку не существует общего метода решения уравнений Лагранжа, то лучшее, что можно сделать, это выбрать такую систему координат, в которой эти уравнения были бы, хотя бы частично, интегрируемы. [c.143]

С этим согласуется положение, заключающееся в том, что, найдя полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби, соответствующий динамической задаче (консервативной), можно найти общее решение уравнений движения Лагранжа из равенств [c.302]

Они определяют qri в зависимости от (и параметров дго, Рго, to)- Соотношения (15.8.1) представляют собой интегралы уравнений Лагранжа и определяют движение в -пространстве. Они дают нам, таким образом, общее решение задачи Лагранжа. Следует подчеркнуть, что уравнения (15.8.1), дают действительное явное выражение движения в g -пространстве, а не являются [c.277]

Остановимся на одном обстоятельстве, требующем пояснения. Функции R ш S зависят лишь от двух постоянных h и а, между тем общее решение уравнений движения Лагранжа или Гамильтона для системы с двумя степенями свободы должно содержать четыре постоянные. Выясним значение двух опущенных постоянных, а также установим, почему они играют второстепенную роль в теории классификации траекторий. [c.308]

Исходя из своего общего уравнения динамики, Лагранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующих двум видам уравнений статики. Это знаменитые уравнения движения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения движения второго рода замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консервативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Число этих уравнений минимально, оно равно числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа весьма общи их можно использовать для разных физических систем, если состояние таких систем характеризуется значениями их кинетической и потенциальной энергии. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирования) в общем виде является достаточно определенной, чтобы исследовать ее чисто математически. Знаменитый физик Максвелл имел все основания писать в своем Трактате об электричестве и магнетизме , касаясь значения Аналитической механики Лагранжа [c.204]

Лагранжа уравнения 206 Л амба общее решение уравнений медленного течения 79—90, 289, 345, 448, 507 [c.614]

Для вывода условий стационарности в задачах с ограничениями эти задачи преобразуют в эквивалентные им свободные. Существует два способа учета ограничений (1.3) в форме равенств использование общих решений уравнений (1.3) и метод неопределенных множителей Лагранжа. [c.20]

Другие разновидности функционала Кастильяно могут быть получены из Зкз(я) с помощью общего решения (1.7) уравнения равновесия (1.6) и замены переменных е а) = е либо преобразованием Фридрихса из функционалов Лагранжа (табл. 3.1). Как видно из табл. 3.2, условия стационарности различных вариантов функционала Кастильяно — уравнения неразрывности в объеме и деформационные граничные условия на поверхности. В табл. 3.2 приведены условия стационарности лишь для простого случая, когда компоненты перемещений заданы на связной части поверхности 5. В гл. 5 показано, как из этих функционалов извлечь условия стационарности в некоторых более сложных случаях. [c.59]

Заметим, что использование 5пз( , ф) можно рассматривать как инструмент для установления зависимости между напрян(ениями н функциями напряжений, т. е. для получения общего решения уравнений равновесия. Иными словами, преобразование функционала Лагранжа Элз(е) в Эпз(е,ф) фактически привело к преобразованию условий стационарности Эдз [c.65]

Полученные выше при решении подавляющего большинства задач динамики системы уравнений могут быть непосредственно выведены с помощью уравнений Лагранжа. Если по условию задачи требуется найти силы реакций связей, то, определив с помощью уравнений Лагранжа ускорения точек системы, применяют принцип освобождаемости от связей к соотве тствующей массе системы с последующим использованием одной из общих теорем динамики либо метода кинетостатики. [c.473]

Для того чтобы полностью определить закон движения твердого тела, системы динамических уравнений Эйлера недостаточно. Эту систему следует допо.пнить кинематическими соотношениями ( 6.2). В целом получается система дифференциальных уравнений, исследование свойств решения которой часто сопряжено со значительными трудностями. Ниже будут рассмотрены три случая, когда для этой системы аналитически может быть построено общее решение. Это — случай Эйлера, когда момент внешних сил отсутствует, а также случаи Лагранжа-Пуассона и Ковалевской, когда движение вокруг неподвижной точки происходит под действием параллельного поля силы тяжести. [c.466]

Такую же систему уравнений можно получить и с помощью общего уравнения динамики. В этом случае составляются уравнения работ заданных моментов, сил инерции и моментов сил инерции для каждого из возможных перемещений 5ф1 и 6ф2. После подстановки в эти уравнения значений сил и моментов сил инерции, выраженных через угловые ускорения тел, а также угловых перемещений тел, выраженных через приращения углов 5ср1 и 5ф2, выражения получаются весьма громоздкими. Приводить их автору не хочется. Наиболее рациональным методом решения подобных задач является использование уравнений Лагранжа 2-го рода. [c.147]

В гл. V Динамика системы автор, обсуждая идеп Германа п Эйлера, развитые Лагранжем, указывает на бесплодность споров о реальности даламберовых сил инерции. Общие теоремы динамики (без реакций связей) выводятся из принципа Эйлера — Лагранжа и применяются к решению ряда интересных задач, иллюстрирующих эти теоремы. При выводе уравнений Лагранжа подчеркивается, что они справедливы лишь для голоном-пых определяющих координат, и отмечается ошибка К. Неймана. Здесь же излагается способ определения неизвестных реакций с помощью уравнений Лагранжа второго рода, который подробно иллюстрируется примерами. [c.6]

Мы видим, что уравнения, выведенные в п. 465, дают общее решение вопроса в более простой форме, чем уравнения Лагранжа. К этим п—] уравнениям необходимо присоединить р уравнений (5) и г уравнений (3) сервосвязей. Если г — у, то число уравнений равно числу неизвестных. [c.354]

Однако Лагранж ошибся. Как доказал позже Вейерштрасс, каждому корню к р-й кратности соответствует ровно р линейно независимых решений системы линейных уравнений (12), т. е. для каждого корня Ху р-й кратности можно найти р линейно независимых амплитудных векторов. Таким образом, и в случае кратных частвт существует и линейно независимых амплитудных векторов и составленная с их помощью формула (30) дает общее решение и в этом случае. [c.239]

Высокая степень систематичности изложения аналитического аппарата статики и динамики материальных систем, достиг-иутая в Аналитической механике Лагранжа, прекрасно осознавалась ее автором. Следуя стилю рационалистического механистического мировоззрения, прогрессивного для 18 века, Лагранж выражал это свое мнение, говоря, что он предложил себе свести теорию механики и способ решения относящихся к ней задач к общим формулам, простое развертывание которых дает все уравнения, необходимые для решения любой задачи . Та н е самая мысль выражена и в конце предисловия к первому изда-иию 1811 г., где Лагранж говорит, что методы, которые здесь излагаются, не требуют ни построений, ни геометрических или. механических рассуждений, но нуждаются исключительно в алгебраических операциях, подчиненных правильному и единообразному течению и что те, кто любит анализ, увидят с удовольствием, что механика сделалась его новой ветвью . [c.3]

В физических и технических проблемах встречаются и другие виды естественных движений, а также некоторые виды движения тех же самых голономных систем, которые, хотя и выражаются уравнениями более общими, чем уравнения Лагранжа, но могут быть сопоставлены с состояниями равновесия голономной системы благодаря тому, что уравнения допускают соответствующие частные решения (статические или меростатические решения). Мы распространим наше исследование и на эти решения. Наконец, мы введем, наряду со строгим определением понятия устойчивости, приближенное понятие, соответствующее устойчивости в течение конечного, но достаточно длительного промежутка врзмени, или линейной устойчивости ), исследованием которой мы и будем часто ограничиваться в силу непреодолимых математических трудностей, возникающих при анализе устойчивости в строгом смысле. [c.352]

Исчерпывающий учебник с большим количеством нодроб-ностей. Том I — орбиты, баллистические траектории, уравнения Лагранжа и Гамильтона и вариационные принципы для частицы. Том II — твердое тело, имеющее неподвижную точку или катящееся ударные импульсы, общие лагранжевы и га мильтоновы методы, метод периодических решений. [c.441]

Теперь для составления уравнения Лагранжа рассматриваемого трансформатора надо определить частные и полные производные кинетической энергии механизма. В 25 исследование было выполнено в общем виде и потому мы можем применить здесь уравнения (174) в качестве уравнений движения трансформатора, считая, что инерционные коэффициенты /п, /и и /44, а также моменты и М 4 известны. Конечно, решение уравнений (174) связано с трудоемкими вычислениями, однако применение быстродействуюш,их электронно-вычислительных машин позволяет значительно ускорить решение задачи этого типа. [c.162]

Лагранж дал свой общий метод интегрирования уравнений в частных производных первого порядка, являющийся совершенно новой мыслью в иптв,-гральном исчислении, в одной статье, помещенной в трудах берлинской академии в 1772 году. В этой статье содержится приведение нелинейных уравнений в частных производных первого порядка к линейным устанавливаются понятия полных и общих решений, причем последние выводятся и . первых, и даются методы для нахождения полных решений. Но всё ограничивается только случаем трех переменных, из которых две не зависят друг от друга. Метод Лагранжа заключается в следующем [c.148]

Как в этот период, так и после первого издания своего трактата Лагранж занимался небесной механикой и получил в этой области немало важных результатов по расчету орбит планет и комет, по общим методам решения уравнений, определяющих двин<ение тел Солнечной системы. В Аналитическую механику включены многие замечательные достижения Лагранжа, но она вошла бы в историю нашей науки даже без них, благодаря оригинальности системы изложения и единству метода, использованного ее автором. В предисловии к первому изданию Лагранж с полным основанием писал, что существует уже много трактатов по механике, но план настоящего трактата является овершенно новым. Я поставил себе целью свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи . И с законным удовлетворением Лагранж добавил к этому Я надеюсь, что способ, каким я постарался этого достичь, не оставляет желать чего-либо лучшего . Поэтому особенно поучительно познакомиться с тем, на основе каких исходных положений и какими средствами Лагранж создал стройную систему своей (аналитической) механики. [c.200]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...