Колебания в сплошных телах

Колебания в сплошных телах [c.650]

КОЛЕБАНИЯ В СПЛОШНЫХ ТЕЛАХ [c.651]

Рассмотренная выше картина колебаний в связанных системах имеет некоторые общие черты с картиной колебаний в сплошных телах. Колебания отдельных элементов упругого сплошного тела при известных условиях можно уподобить колебаниям парциальных систем в связанной системе. Но число отдельных элементов сплошного тела сколь угодно велико. Поэтому, чтобы приблизиться к картине колебаний в связанной системе, нужно представить себе, что в модели связанной системы, изображенной на рис. 410, число отдельных масс и число пружин становится все больше и больше. В случае трех масс мы получим три связанные системы, которые обладают тремя различными нормальными частотами. Каждое из нормальных колебаний в отдельности можно возбудить, задав соответствующие начальные отклонения всех трех масс. На рис. 424 изображены эти три типа начальных отклонений, соответствующие трем различным нормальным колебаниям связанной системы. [c.651]

Возникновение нормальных колебаний в результате начального отклонения системы было рассмотрено в 148 на примере струны. При этом были высказаны качественные соображения о характере нормальных колебаний в сплошных телах. Сейчас мы обратимся к рассмотрению колебаний в упругом стержне. В результате этого анализа во многих случаях можно будет получить не только качественные, но для простейших колебательных систем и количественные данные о нормальных колебаниях в сплошной системе. Эта возможность связана с тем, что всякие собственные колебания, возникающие в сплошной системе (как и в связанных системах с конечным числом степеней свободы), представляют собой суперпозицию тех или иных нормальных колебаний, свойственных данной системе. Поэтому гармониками спектра тех собственных колебаний, которые могут возникнуть в какой-либо сплошной системе, должны являться нормальные колебания, свойственные данной системе. Изучить спектры собственных колебаний какой-либо достаточно простой колебательной системы можно элементарными методами зная же эти спектры, можно опре- [c.658]

При этом вследствие потерь энергии в теле амплитуды колебаний отдельных точек тела будут постепенно убывать по мере удаления от точки, которая приводится возмущением в колебательное движение. Эту картину распространения колебаний вдоль сплошного тела можно продемонстрировать на мягкой и длинной пружине, лежащей на стекле. Если один конец пружины привести в колебательное движе- [c.676]

Ультразвуковая волна — распространение упругих колебаний в сплошной среде (газах, жидкостях и твердых телах). [c.111]

В неограниченном твёрдом теле скорость волн сдвига выражается той же формулой, что и скорость волн сдвига в стержне, так что с оп = с оп,— в отличие от продольных волн, когда скорость в сплошном теле больше, чем в стержне. В то время как упругость сжатия сплошного тела как бы больше упругости сжатия стержня, для сдвиговых колебаний эта упругость в обоих случаях одинакова. [c.367]

Практически мы просто знаем о таких коллективных колебаниях в твердом теле при а= /У М— это акустические волны, которые получили название фононы (по аналогии с колебаниями электромагнитного поля — фотонами) — для каждой частоты со одно продольное и два поперечных независимых колебаний. В случае систему можно считать непрерывной (как в механике сплошных сред) и при подсчете величины с(Г(со) использовать аналогию с электромагнитным излучением (исторически было наоборот от механики сплошных сред — к понятию твердого эфира в электродинамике, а затем уже к понятию поля теперь же мы как бы совершаем обратный переход). Тогда, объединяя оба поперечных колебания в одно слагаемое, имеем [c.506]

Некоторые предосторожности следует соблюдать при опре делении величины с по таблицам. Таблицы для скорости в жидкостях можно часто применять без опасения получить значи-тельные отклонения однако для твердых тел следует учитывать, что при различных условиях волны могут распространяться в одном и том же твердом теле с различной скоростью. При применении прибора для обнаружения дефектов мы имеем Дело главным образом с продольными колебаниями в сплошной массе твердого тела. Они распространяются с максимальной скоростью, и поэтому эхо, вызываемое волнами этого типа, приходит первым и может быть легко определено. Скорость распространен ния продольных волн определяется упругими свойствами твердого тела и его плотностью по уравнению [c.259]

Теория теплоемкости Дебая предполагает, что кристалл можно рассматривать как непрерывную среду, совершающую упругие колебания >. Упругие волны, распространяющиеся в кристалле, имеют сплошной спектр, т. е. обладают непрерывным набором частот. Очевидно, что распространение звука в твердом теле — это и есть распространение таких упругих колебаний (продольных и поперечных). При нагревании кристалла в нем возбуждаются упругие акустические волны (волны Дебая), которые и определяют теплоемкость кристалла. [c.122]

Мы переходим к рассмотрению таких колебаний сплошных тел, когда не все тело колеблется как целое, а отдельные части тел совершают различные колебания. В этом случае существенную роль играют деформации колеблющихся тел и упругие силы, возникающие при этих деформациях. [c.650]

В системе, состоящей из трех тел, второе из нормальных колебаний таково (рис. 424, б), что при этом колебании масса т. все время остается в покое. Точно так же и в сплошной системе каждому из нормальных колебаний соответствуют определенные точки, которые при этом колебании остаются в покое. Этн точки называются узловыми точками данного нормального колебания. Расположение узловых точек для различных типов нормальных колебаний также можно выяснить на основании аналогии с системой, состоящей из отдельных масс. В системе, состоящей из трех масс, при первом нормальном колебании с наиболее низкой частотой (рис. 424, а) остаются в покое только крайние точки, в которых закреплены пружины, эти точки и являются узловыми точками соответствующего нормального колебания струны. При втором нормальном колебании, соответствующем [c.652]

Так именно будет выглядеть, например, спектр нормальных колебаний цепочки из п грузов, связанных пружинами (рис. 269), если рассматривать эту цепочку как неоднородную сплошную систему (пользуясь ею как моделью сплошной системы, например, для демонстрации распространения импульса в упругом теле в 113, мы не учитывали неоднородности этой системы). Всякая пружина обладает массой, а всякий груз обладает упругостью поэтому грузы, связанные пружинами, в действительности представляют собой не дискретную, а сплошную систему, все элементы которой обладают как массой, так и упругостью. Но в области низких частот для этой сплошной системы мы получили бы такой же спектр нормальных колебаний, какой имела бы эта система, рассматриваемая как дискретная. [c.702]

Понятно, почему в дискретной системе невозможно проследить за картиной движения энергии дискретная система состоит либо из абсолютно жестких тел Е = оо), либо из упругих тел, не обладающих массой (р = 0) но и в тех и в других скорость течения энергии должна была бы быть бесконечно большой. Поэтому, когда мы хотим проследить за движением энергии в колебательных системах, мы должны рассматривать их как сплошные. Количественное рассмотрение сплошных неоднородных систем часто оказывается трудным или вообще невозможным. Но природа колебаний во всех случаях остается такой же, как и в сплошном однородном стержне. В реальной системе, в которой энергия распространяется с конечной скоростью без больших потерь и отражается от границ системы, всякий толчок вызывает колебания. Поэтому колебания и представляют собой столь широко распространенное явление. [c.704]

Одной из идей, существенных для дальнейшего развития теории колебаний, была замена сплошного тела системой конечного числа материальных точек. У Брука Тейлора (см. выше) струна распадается на отдельно колеблющиеся точки, число которых он не ограничивает, так как заранее устанавливает общее свойство их колебаний. Глубже затрагивает сущность проблемы замена сплошной кривой конечным числом материальных точек, которую применил в задаче о тяжелой цепи Иоганн Бернулли в 1727 г. Такую же [c.264]

Данные уравнения используются, в частности, при рассмотрении малых колебаний сплошных тел. [c.97]

В стационарных задачах мы встречаемся с системами второго порядка как с постоянными, так и с переменными коэффициентами (однородные и неоднородные тела), со скалярными уравнениями второго порядка (например, в задачах Сен-Венана о кручении или в теории мембран), уравнениями четвертого порядка (равновесие тонких пластин), уравнениями восьмого порядка (равновесие оболочек). Для каждого из этих случаев надо рассматривать несколько краевых условий, соответствующих различным возможным физическим ситуациям. Далее, каждой стационарной задаче теории упругости отвечает динамическая задача, связанная с изучением колебаний в рассматриваемой упругой системе. Сверх того, в термодинамике сплошных сред требуется изучать некоторые задачи параболического типа, связанные с диффузией. Кроме всего этого, при исследовании материалов с памятью нужны теоремы существования для определенных [c.7]

В твердых телах атомы колеблются с небольшими амплитудами относительно их положения равновесия. Дебай аппроксимировал эти нормальные колебания упругими колебаниями изотропной сплошной среды и предположил, что число колебательных мод, т. е. нормальных колебаний g (со) со, угловые частоты которых лежат в интервале от со до со + со, равно [c.135]

Как известно, кристаллы являются системами с большим числом степеней свободы, спектр колебаний которых охватывает широкий диапазон частот от Unj, slO с до u j,,=10 с Низкочастотная часть этого спектра простирается в акустическую область, а высокочастотная - в инфракрасную область. В теории теплоемкости Дебая (1912 г.) кристалл рассматривается как сплошное изотропное твердое тело. Распространение волн в однородной среде описывается волновым уравнением [c.198]

Но даже для самых быстрых упругих колебаний, с которыми приходится иметь дело в ультраакустике (см. 170), v гораздо меньше 5- 0 гц отсюда видно, что атомная структура тел никак не должна сказываться на изучаемых в механике упругих колебаниях этих тел. Поэтому в механике все тела, несмотря на их атомную структуру, можно рассматривать как сплошные. [c.696]

Мы убедились, что неоднородность кристаллической решетки (атомы, обладающие, массой, разделены промежутками, в которых масс нет, но действуют упругие силы) играет принципиальную роль, когда размеры неоднородностей сравнимы с длиной упругой волны. Если же на длине волны укладывается много неоднородностей и смежные атомы совершают одинаковое движение, то тело можно рассматривать как сплошное, обладающее надлежащим образом усредненными свойствами наличие неоднородностей, малых по сравнению с длиной волны, не влияет на характер нормальных колебаний. [c.697]

Строгое определение периодов и типов колебания какой-либо данной системы обычно представ тяет большие трудности в связи с тем, что функции, необходимые для представления форм колебаний большинства сплошных тел, до сих пор еще неизвестны анализу. Необходимо поэтому часто прибегать к приближенным методам, сопоставляя предложенной системе некоторую другую, более доступную для анализа, и вычисляя поправки в предположении, что разница между двумя системами мала. Проблема приблизительно простых систем явтяется, таким образом, проблемой большой важности, особенно в связи с тем, что в действительное и осуществить тс простые формы, относительно которых мы всею легче можем рассуждать, невозможно [c.135]

Так я решил вычислить спектральное распределение для возможных свободных колебаний в сплошном твердом теле и использовать это распределение как достаточно хорошее приближение к истинному распределению. Звуковой спектр решетки должен, конечно, отличаться от него, как только длина волны станет сравнимой с расстояниями между атомами... Единственное, что необходимо было сделать, это учесть тот факт, что каждое твердое тело конечных размеров содерокит конечное число атомов и имеет поэтому конечное число свободных колебаний... При достаточно низких температурах совершенно аналогично закону Стефана — Больцмана для излучения вклад колебательной энергии твердого тела будет пропорционален ГЬ. [c.222]

Такого рода собственные колебания (гармоники, модаг) присущи любому упругому тепу, хотя их форма и спектр частот могут быть весьма сложными. По смыслу они аналогичны нормальным колебаниям в связанных системах (см. о. 120-122) в обоих случаях произвольное колебание системы является их суперпозицией. В связанной системе масса системы сосредоточена в телах (пружины невесомы), а упругость - в пружинах (тела абсолютно твердые) поэтому ее называют системой с сосредоточенными параметрами. Такая система состоит из конечного числа тел, она имеет конечное число колебательных степеней свободы и, соответственно, конечное число нормальных колебаний. В сплошном массивном упругом теле (стержень, струна) упругие и инертные свойства, характеризуемые, соответственно, модулями упругости и плотностью вещества, распределены по телу непрерывно. Его можно рассматривать как совокупность бесконечного шсла бесконечно малых элементов соответственно, оно имеет бесконечное число колебательных степеней свободы и как следствие - бесконечное число собственных колебании, как показано на примере закрепленной струны. [c.139]

Велико разнообразие изучаемых теоретической механикой движении. Это — орбитальные движения небесных тел, искусственных спутников Земли, ракет, колебательные движения (вибрации) в широком их диапазоне — от вибраций в машинах и фундаментах, качки кораблей на волнении, колебаний самолетов в воздухе, тепловозов, электровозов, вагонов и других транспортных средств, до колебаний в приборах управ.пе-ния. Все эти и многие другие встречающиеся в природе и технике движения образуют широкое поле практических применений механики. Как уже указывалось в предисловии, в курсе ведется подготовка учащегося к изучению равновесия и движения не только абсолютно твердых тел, но и сплошных деформируемых сред. С этой целью в первый отдел — статику,— наряду с традиционными методами статики абсолютно твердого тела, введено изложение основ статики сплошной деформируе-. мой среды. [c.8]

Таким образом, расчет энергии поля для определенного интервала частот V, v-fiiv сводится к нахождению числа элементарных стоячих волн, т. е. числа свободных собственных колебаний (в том же интервале частот), которые устанавливаются внутри рассматриваемого объема V, как бы заполненного сплошной средой. В результате для исиускательной способности абсолютно черного тела получаем следующее выражение [c.138]

Все, что ЛИ)1 можем сказать относительно колебаний большого числа масс, связанных пружинами, в равной мере относится и к колебаниям стержня пли струмы. Стержень и струна обладают множеством нормальных частот. Подобно тому как частоты рюрмальных колебаний системы, состоящей из отдельных масс, зависят от числа и величин этих масс и упругости пружин, нормальные частоты сплошной системы зависят от размеров сплошного тела, его плотности п упругости. В стержне упругие свойства определяются упругостью самого материала, При поперечных колебаниях струны зависимость возникающей силы от величины отклонения определяется натяжением струны. Поэтому для данного стержня нормальные частоты имеют определенные фиксированпые значения. [c.652]

Основные свойства упругих колебаний высокой частоты или ультразвуковых колебаний, как известно, описываются теми же закономерностями, что и свойства колебаний звукового диапазона. В частности, это касается условий распространения упругих волн в сплошной изотропной среде, обладающей упругими свойствами. Однако ультразвуковые колебания могут быть примен1 ны для решения ряда новых задач. Примером может служить исследование изменения различных характеристик жидких и твердых тел в зависимости от скорости распространения ультразвука и коэффициента затухания с помощью импульсно-фазового компенсационного метода приборами типа УЗИХ, разработанных Н. И. Бражниковым [9], [10]. Погрешность измерений скорости ультразвука такими приборами составляет 0,007 и 0,003% на частотах соответственно 1 и [c.291]

Предлагаемая книга посвящена распространению ультразвуковьЕх волн в жидкостях, газах и твердых телах, рассматриваемых как сплошные среды с разными характеристиками упругости. В ней систематизированы вопросы, имеющие непосредственное отнощение к специфике ультразвука возможности генерирования направленных пучков плоских волн, высокой интенсивности ультразвукового излучения и т. д. В связи с этим основное внимание в книге уделено различным аспектам распространения плоских волн их общим характеристикам, затуханию, рассеянию на неоднородностях, отражению, преломлению, прохождению через слои, интерференции, дифракции, анализу нелинейных явлений, пондеромоторных сил, краевых и других эффектов в ограниченных пучках. Рассматриваются также сферические волны, которые формируются при пульсационных колебаниях сферических тел, в дальней зоне излучателей малых размеров, в ультразвуковых фокусирующих системах. Большинство из этих вопросов обсуждается применительно к продольным волнам для сред, обладающих объемной упругостью, а для других типов волн, в частности для сдвиговых волн в жидкостях и твердых телах, дополнительно рассматриваются те вопросы, которые составляют их специфику. К ним относятся граничные и нелинейные эффекты в твердых телах, трансформация волн, их дисперсия, поверхностные волны, соотношения между скоростями звука и модулями упругости в кристаллах, в том числе в пьезоэлектриках. [c.2]

Проделанный выше переход от среднего напряжения по площадке к напряжению в точке связан с воображаемым процессом уменьшения размеров площадки ДР до нуля, необходимым для п )и-менения анализа бесконечно малых. Законность и обоснованность такого формального процесса, как уже указывалось выше, долгое время были под сомнением и являлись предметом дискуссий среди ученых однако приложение полученных основных уравнений теории упругости к решению задач физики довольно быстро показало эффективность разработанных Методов и дало ряд замечательных результатов, подтвержденных опытом это относится прежде всего к области изучения колебаний и распространения волн (например, звуковых) в упругих телах некоторые более простые задачи этого рода освещены в главах IV и IX настоящей книги. Середина XIX века была особенно богата достижениями в смысле развития теории упругости и получения решений задач, важных для физики и техники здесь главную роль сыгралк работы крупнейшего французского исследователя Сен-Венана и его учеников. В этих условиях постепенно исчезли сомнения в физической обоснованности метода теории упругости, оперирующего как бы с непрерывной, сплошной средой с этой точки зрения иногда говорят, что теория упругости основывается на гипотезе сплошного строения твердых тел. При этом, конечно, нельзя забывать, что такая гипотеза является только рабочей гипотезой-, она диктуется принятым математическим методом исследования и не вторгается в те области физики, которые непосредственно занимаются вопросами строения тел. [c.12]

Хотя общее интегрирование уравнения (2) 141 лежит за пределами наших возможностей, мы можем применить к данной проблеме некоторые из многочисленных интересных свойств решения линейного уравнения второго порядка, которые были установлены Штурмом и Лиувиллем ). В настоящей работе сколько-нибудь полное изложение их исследований представляется совершенно невозможным, однако беглый очерк, включающий основные черты последних, окажется не лишенным интереса он прольет к тому же свет на некоторые вопросы, связанные с общей теорией колебаний сплошных тел. В этом очерке я не счел нужным придерживаться очень близко методов, принятых в оригинальных мемуарах. [c.240]

Такой же расчет можно выполнить и для сферы, помещенной в сжимаемую среду, если длина волны собственной частоты в среде велика по сравнению с размерами сферы, т. е. выполнено условие кой < 1, где 0 = о/с. Для этого должно выполняться неравенство к рс7а. Если сфера — сплошное тело, это значит, что сжимаемость тела должна быть много больше сжимаемости среды (такому условию всегда удовлетворяет, например, газовый пузырек в воде). Колебания упругой сферы в сжимаемой среде можно по-прежнему рассматривать как колебания осциллятора с одной степенью свободы, но его колебания будут теперь затухающими энергия колебаний будет высвечиваться — затрачиваться на излучение звука колеблющейся сферой. [c.289]

Н. Коперника (16 в.) и открытие нем. астрономом И. Кеплером законов движения планет (нач. 17 в.). Основоположником динамики явл. итал. учёный Г. Галилей, к-рый дал первое верное решение задачи о движении тела под действием силы (закон равноускоренного падения) его исследования привели к открытию закона инерции и принципа относительности классич. М. им же положено начало теории колебаний (открытие изохронности малых колебаний маятника) и науке о сопротивлении материалов (исследование прочности балок). Важные для дальнейшего развития М. исследования движения точки по окружности, колебаний физ. маятника и законов упругого удара тел принадлежат голл. учёному X. Гюйгенсу. Создание основ классич. М. завершается трудами И. Ньютона, сформулировавшего осн. законы М. (1687) и открывшего закон всемирного тяготения. В 17 в. были установлены и два исходных положения М. сплошной среды закон вязкого трения в жидкостях и газах (Ньютон) и закон, выражающий зависимость между напряжениями и деформациями в упругом теле (англ. учёный Р. Гук). [c.415]

Если свойства тела неодинаковы по всей длине, то картина будет совсем иная. Пусть, иапример, плотность струны или стержня в какой-то точке А резко изменяется. Скорость распространения нмиульса в обеих частях струны будет различна, и импульс, вызванный первым ударом, частично отразится в точке А, а частично пройдет во вторую часть струны и отразится от ее конца. На обратном пути также произойдет частичное отражение, и к началу струны вернется уже не такой импульс, который возник при ударе. Помимо этого, в струне будут распространяться и частично отраженные импульсы, которые будут возвращаться к концам струны не в те моменты, когда к ним возвращается прошедший импульс (так как эти импульсы проходят разные пути). Собственные колебания не будут пе1)иодическими. Л это и значит, гто нормальные колебания, из которых состоит всякое собственное колебание, не будут кратными основному тону (сумма колебаний с кратными частотами всегда дала бы периодический процесс). Нарушение од/юролности сплошной системы делает негармоническими обертоны системы. [c.672]

Но когда при колебаниях тела достаточно большое число атомов, заключенных в малом элементе объема, движется одинаково, можно рассматривать движение такого элемента объема как целого, не учитывая того, что он состоит из атомов. Вместе с тем и свойства тела — его плотность и упругость (которые вследствие атомной структуры должны резко изменяться от точки к точке) — внутри малого элемента объема следует считать постоянными, имеющими некоторые средние по элементу объема значения (койечно, если тело неоднородно, то от элемента к элементу свойства его могут постепенно изменяться). Так от дискретной системы с большим, но конечным числом степеней свободы мы переходим к сплошной колебательной системе с бесконечно большим числом степеней свободы. [c.693]

Теперь мы можем ответить на поставленные выше вопросы. Поскольку атомная структура тел никак не сказывается на характере их упругих колебаний, всякую механическую колебательную систему можно рассматривать как сплошную спектр нормальных колебаний этой системы содержит бесконечно большое число частот, расположенных в области, ограниченной со стороны низких частот и не ограниченной со стороны высоких частот. В однородной системе все нормальные частоты кратны наинизшей нормальной частоте, и следовательно, на шкале частот все они располагаются на одинаковом расстоянии друг от друга ). ( ли же система неоднородна, то частоты нормальных колебаний оказываются не кратными HaHHH3ujeft нормальной частоте расстояния между отдельными нормальными частотами на шкале частот могут оказаться суш,ественно различными. При сильной неоднородности часто оказывается, что весь спектр нормальных колебаний распадается на две области первая — область низких частот, в которой расположено небольшое число нормальных частот, вторая — область очень высоких частот, нижняя граница которой лежит очень далеко от верхней границы первой области в этой второй области расположены все остальные нормальные частоты системы, число которых бесконечно велико. [c.702]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...