Нормальные колебания струны

В системе, состоящей из трех тел, второе из нормальных колебаний таково (рис. 424, б), что при этом колебании масса т. все время остается в покое. Точно так же и в сплошной системе каждому из нормальных колебаний соответствуют определенные точки, которые при этом колебании остаются в покое. Этн точки называются узловыми точками данного нормального колебания. Расположение узловых точек для различных типов нормальных колебаний также можно выяснить на основании аналогии с системой, состоящей из отдельных масс. В системе, состоящей из трех масс, при первом нормальном колебании с наиболее низкой частотой (рис. 424, а) остаются в покое только крайние точки, в которых закреплены пружины, эти точки и являются узловыми точками соответствующего нормального колебания струны. При втором нормальном колебании, соответствующем [c.652]

Амплитуды каждого из нормальных колебаний струны распределяются вдоль струны по закону синуса. Узловые точки — это точки, в которых этот синус обращается в нуль. Для основного тона на всей длине струны укладывается только один полупериод синуса (одна полуволна ). Для обертонов распределение амплитуд таково, что на длине струны укладываются две, три и т. д., вообще целое число полуволн. [c.654]

НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ [c.671]

Нормальные колебания струны [c.671]

Как мы убедились, под действием внешней силы в случае резонанса в системе возбуждаются стоячие волны, по характеру распределения амплитуд близкие к тому из нормальных колебаний системы, частота которого совпадает с частотой внешнего воздействия. В других случаях возбуждения интенсивных колебаний в сплошной системе дело обстоит аналогичным образом. Так, в случае параметрического возбуждения колебаний ( 152) интенсивные колебания возникают, когда частота колебаний ножки камертона вдвое больше одного из нормальных колебаний струны, и распределение амплитуд колебаний будет такое же, как для соответствующего нормального колебания струны на струне укладывается половина синусоиды , целая синусоида , полторы синусоиды и т. д. [c.692]

Третье нормальное колебание струны изображено на рис. 161, в. В этом случае колебания струны происходят так, что в средней части струны уже две точки остаются в покое. [c.198]

При переходе к каждому последующему нормальному колебанию число узловых точек струны увеличивается на единицу. Поэтому чем выше частота нормального колебания струны, тем больше узловых точек соответствует этому нормальному колебанию. [c.198]

Так же как в системе, состоящей из отдельных масс, выбором соответствующих начальных условий в стержне можно возбудить то или иное из свойственных ему нормальных колебаний. При произвольном выборе начальных условий в стержне сразу возбуждаются в той или иной степени все нормальные колебания, которыми обладает эта система. Всякое колебание стержня, возникающее в результате начального толчка, представляет собой суперпозицию тех или иных нормальных колебаний. В системе, состоящей из отдельных масс, возникновение тех или иных нормальных колебаний определяется характером начальных отклонений всех масс. Точно так же в струне возникают различные нормальные колебания в зависимости от характера начального отклонения струны. Оттягивая струну в различных точках, мы будем возбуждать в ней, вообще говоря, различные нормальные колебания. Поэтому и характер звука, издаваемого струной, будет, вообще говоря, различным. [c.652]

Возникновение нормальных колебаний в результате начального отклонения системы было рассмотрено в 148 на примере струны. При этом были высказаны качественные соображения о характере нормальных колебаний в сплошных телах. Сейчас мы обратимся к рассмотрению колебаний в упругом стержне. В результате этого анализа во многих случаях можно будет получить не только качественные, но для простейших колебательных систем и количественные данные о нормальных колебаниях в сплошной системе. Эта возможность связана с тем, что всякие собственные колебания, возникающие в сплошной системе (как и в связанных системах с конечным числом степеней свободы), представляют собой суперпозицию тех или иных нормальных колебаний, свойственных данной системе. Поэтому гармониками спектра тех собственных колебаний, которые могут возникнуть в какой-либо сплошной системе, должны являться нормальные колебания, свойственные данной системе. Изучить спектры собственных колебаний какой-либо достаточно простой колебательной системы можно элементарными методами зная же эти спектры, можно опре- [c.658]

Если затухание собственных колебаний в системе мало, то механизм, поддерживающий автоколебания, подводит к системе за период энергию, составляющую лишь малую долю всей энергии, которой обладает колеблющаяся система. Поэтому он очень мало изменяет характер поддерживаемых колебаний автоколебания как по частоте, так и по распределению амплитуд оказываются близкими к нормальным колебаниям системы. Например, при игре на скрипке обычно основной тон колебаний таков, что для него вдоль свободной части струны — от пальца, прижимающего ее к грифу, до подставки — укладывается половина длины волны. Частота колебаний скрипичной струны, возбуждаемой смычком, совпадает с частотой собственных колебаний, которые получаются, если эту струну оттянуть, а затем отпустить. [c.693]

В общем случае колебания струны пли стержня не являются гармоническими, но их всегда можно представить как результат сложения возбужденных в них тех или иных нормальных колебаний, происходящих по гармоническому закону. [c.198]

Струнный резонатор — проволока из высокопрочного материала, которая колеблется на первой собственной частоте поперечных колебаний. Связь частоты поперечных колебаний струны с величиной нормальных напряжений в ней определяется зависимостью [c.362]

Нормальные колебания ограниченной струны. [c.94]

Чтобы определить нормальные колебания ограниченной струны, можно воспользоваться общей методикой, разобранной в главе I. При любом таком нормальном колебании у изменяется как простая гармоническая функция времени, например как os(w/- -e). Тогда у = —п у и уравнение (2) 22 принимает вид [c.94]

НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ 95 [c.95]

НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ 97 [c.97]

НОЙ системе движение, создаваемое любыми начальными условиями, совместными с ее устройством, можно получить путем суперпозиции разных нормальных колебаний с соответственно подобранными амплитудами и начальными фазами. Отсюда мы заключаем, что самый общий случай движения конечной струны можно представить формулой [c.97]

Далее, легко доказать, что полная энергия струны является суммой энергий, соответствующих различным нормальным колебаниям, а именно, [c.98]

Метод расчета будет объяснен в следующей главе (см. 36). Мы знаем., что гармоника порядка вообще отсутствует, если sin (5ла/ ) = 0, т. е. еслп точка приложения щипка совпадает с одним из узлов данного нормального колебания это явление было отмечено Юнгом (1841). Таким образом, еслн струна возбуждается щипком посередине, то все четные гармоники отсутствуют. Формула (1) совместно с (12) 25 показывает, что (если не учитывать тригонометрический множитель, значение которого лежит между О и 1) интенсивности последовательных гармоник изменяются пропорционально i/s . Поэтому при фактическом колебании струны высшие гармоники будут представлены относительно слабо. [c.99]

То большое место, которое было уделено изложению теоремы Фурье, полностью оправдывается ее важностью, особенно в связи с- теорией струн, однако следует помнить, что с точки зрения теории колебаний эта теорема представляет собой лишь одну из бесконечного множества теорем, которые можно было бы обосновать, исходя из аналогичных физических соображений. Каждая колебательная система имеет свой собственный набор так называемых нормальных функций , которые определяют конфигурацию системы при различных нормальных колебаниях. В случае однородной струны или [c.135]

В случае продольных колебаний стержня или проволоки, закрепленных с обоих концов ( = О при ж = О и х = 1), математическая сторона вопроса остается такой же, как и в случае поперечных колебаний струны. Частоты различных нормальных колебаний даются формулой [c.152]

Так как угловые частоты нормальных колебаний струны м/ = kiiv/l, то для обертона струны номера к имеем [c.672]

Легко видеть, что гармоничность обертонов системы тесно связана с равномерным распределением узловых точек вдоль системы. Действительно, например, для второго обертона (второго нормального колебания) однородной струны, кроме двух у.зловых точек на концах струны, появляется еще узловая точка в середине струны. Эгу узловую точку можно закрепить мы этим не нарушим второго нормального колебания струны, которое при этом превран1ается в первое нормальное колебание (основной тон) для каждой из двух половин струны. Но основной тон для половины струны должен быть ровно вдвое выше основного тона для всей струны. Поэтому второй обертон для всей струны должен быть ровно вдвое выше ее основного тона, т. е. должен быть гармоническим. Гармоничность обертонов как раз связана с тем, что узловые точки делят однородную колеблющуюся систему на равные части. [c.672]

Все, что ЛИ)1 можем сказать относительно колебаний большого числа масс, связанных пружинами, в равной мере относится и к колебаниям стержня пли струмы. Стержень и струна обладают множеством нормальных частот. Подобно тому как частоты рюрмальных колебаний системы, состоящей из отдельных масс, зависят от числа и величин этих масс и упругости пружин, нормальные частоты сплошной системы зависят от размеров сплошного тела, его плотности п упругости. В стержне упругие свойства определяются упругостью самого материала, При поперечных колебаниях струны зависимость возникающей силы от величины отклонения определяется натяжением струны. Поэтому для данного стержня нормальные частоты имеют определенные фиксированпые значения. [c.652]

Первое нормальное колебание, соответствующее наиболее низкой частоте и двум узловым точкам (на концах струны), является основным тоном собственных колебагшй струны. Все остальные гюрмальные колеба1Н1я, соответствующие более высоким частотам, являются обертонами собственных колебаний струны. [c.653]

В зависимости от характера начальных отклонений в системе возбуждаются те или иные обертоны колебаний. Так, например, чтобы в системе, состоян1ей из трех масс, возбудить то нормальное колебание, при котором средняя масса т., остается в покое, нужно дать начальное отклонение массам и т,.,. Мы не возбудим этого нормального колебания, еслн оттянем только массу т. . Точно так же, оттянув струну в какой-либо точке, мы не возбудим в нен тех нормальных колебаний, для которых эта точка является узловой. [c.653]

Конечно, колебания струны вследствие сопротивления воздуха и внутреннего третш в резине постепенно затухают. При этом не только уменьшается амплитуда колебаний струны, но изменяется и форма колебаршй. Это объясняется тем, что, оттягивая струну в одной точке, мы возбуждаем в пей не одно нормальное колебание, а ряд нормальных колебаний (все, для которых эта точка ire является узловой). Но частоты этих колебаний различны и затухают эти колебания с разной скоростью ---тем быстрее, чем выше частота колебаний. Поэтому и изменяется форма колебаний к концу в струне остается только одно [гормальпое колебание, соответствующее наиболее низкой частоте, и колеблющаяся струна принимает форму синусоиды (рис. 425). Отдельные точки струны колеблются с одной и той же частотой, но с разными амплитудами, причем эти амплитуды распределяются по закону синуса. [c.653]

Синусоидальное распределение амплитуд нормальных колебаний является весьма распространенным, но все же не общим законом распределения амплитуд в сплошных системах. Чтобы распределение амплитуд нормальных колебаний было синусоидально, прежде всего необходимо, чтобы сплошная система была однородна, т. е. ее плотность и упругость во всех точках брлли одни и те же. Если, например, мы нарушим однородность резиновой струны, насадив на нее три свинцовых грузика, то при колебаниях струна до самого конца будет сохранять форму ломаной линии (рис. 426 и 427), а не приближаться (как в случае однородной струны) к синусоидальной форме. Вследствие неоднородности распределение амплитуд нормального колебания становится несинусоидальным. [c.654]

Так же как были определены нормальные частоты колебаний стержня, определяются нормальные частоты поперечных колебаний натянутой струны. Так как оба конца струны закреплены, то условия отражения поперечного импульса от обоих концов будут одинаковы. Как и для стержня с обоими закрепленныл1и (или обоими свободными) концами, основной тон струны будет иметь угловую частоту di = nvU, где I — длина струны, а и — скорость распространения поперечного импульса вдоль струны. Обертоны струны будут иметь угловые частоты о),, = knv/l, где k — любое целое число. Для нахождения нормальных частот струны нужно знать скорость распространения импульса по струне. [c.671]

Если свойства тела неодинаковы по всей длине, то картина будет совсем иная. Пусть, иапример, плотность струны или стержня в какой-то точке А резко изменяется. Скорость распространения нмиульса в обеих частях струны будет различна, и импульс, вызванный первым ударом, частично отразится в точке А, а частично пройдет во вторую часть струны и отразится от ее конца. На обратном пути также произойдет частичное отражение, и к началу струны вернется уже не такой импульс, который возник при ударе. Помимо этого, в струне будут распространяться и частично отраженные импульсы, которые будут возвращаться к концам струны не в те моменты, когда к ним возвращается прошедший импульс (так как эти импульсы проходят разные пути). Собственные колебания не будут пе1)иодическими. Л это и значит, гто нормальные колебания, из которых состоит всякое собственное колебание, не будут кратными основному тону (сумма колебаний с кратными частотами всегда дала бы периодический процесс). Нарушение од/юролности сплошной системы делает негармоническими обертоны системы. [c.672]

Так же обстоит дело и в случае возбуждения автоколебаний в сплошной системе Рассуждая упрощенно, можно считать, что механизм, обусловливающий возникно вение автоколебаний в системе, компенсируя потери энергии в системе, поддерживает нормальные колебания этой системы. Например, в смычковых музыкальных инстру ментах (скрипка и др.) характеристика силы трения между смычком и струной та кова, что часть работы, совершаемой этой силой, идет на пополнение потерь энергии происходящих при колебаниях струны ). При автоколебаниях в большинстве слу чаев возбуждается колебание, частота которого близка к основному тону системы однако в некоторых специальных случаях возможно возникновение автоколебаний, близких к одному из обертонов системы. [c.692]

Нормальные частоты стержня зависят от его размеров, плотности и упругих свойств материала, из которого он изготовлен. Поэтому для данного стержня его пор.чальные частоты имеют вполне определенные значения. Нормальные частоты поперечных колебаний данной струны зависят, кроме того, еще и от ее силы натяжения. Выбирая соответствующим образом на-чал1)Иые условия в стержне, можно возбудить те или иные свойственные им нормальные колебания. Например, если струну, закрепленную по концам, слегка оттянуть в средней ее точке, а затем отпусппь, то мы возбудим в ней первое нормальное колебание. При этом все точки струны, кроме крайних, колеблются в одинаковых фазах, а отклонения различных точек от по.чожения равновесия находятся в определенном отношении, которое все время сохраняется и равно отношению их амплитуд (рис, 161, а). Такое колебание струны происходит с наиболее низкой нормальной частотой п является основным тоном собственных колебаний струны (см. 49). Как мы видели, второе нормальное колебание связанной системы из трех маятников происходит так, что средний маятник все время остается в покое, а крайние колеб.тются в противоположных фазах. Подобное нормальное колебание (рис. 161, б) можно возбудить и в струпе. Для этого нужно оттянуть средние точки каждой половины струны па одинаковое расстояние, но в противоположные стороны, и затем их одновременно отпустить. Тогда струна начнет колебаться так, что ее средняя точка будет все время находиться в покое, а точки одной половины струны колебаться в противофазе по отношению к точкам другой половины струны. [c.198]

На кяждую иа двух параллельных горизонтальных проволочек надето закрепленное невесомыми растяжками кольцо массы ш когда кольцо смещается на расстояние у от положения равновесия, на него действует возвращающая сила ку. Когда кольца находятся в положении равновесия, линия, соединяющая их, перпендикулярна обеим проволочкам, а расстояние между ними равно L Однородная струна с линейной плотностью р растянута между кольцами до натяжения Т. Исследовать нормальные колебания системы. [c.96]

Динамика колебаний. Свободные, пли собственные, К. являются движением системы, предоставленной самой себе, в отсутствие внеш. воздействий. При малых отклонениях от состояния равновесия движения системы удовлетворяют суперпозиции принципу, согласно к-рому сумма двух произвольных движений также составляет допустимое движение системы такие движения описываются линейными (в частности, дифференц.) ур-ниями. Если система ещё и консервативна (т. е. в ней нет потерь или притока энергии извне), а её параметры не изменяются во времени (о переменных параметрах будет сказано ниже), то любое собств. К. может быть однозначно представлено как сумма нормальных колебаний, синусоидально изменяющихся во времени с определ. собств. частотами. В колебат. системах с сосредоточенными параметрами, состоящих из JY связанных осцилляторов напр., цепочка из колебат, электрич. контуров или из соединённых упругими пружинками шариков), число нормальных К. (мод) равно 7V. В системах с распреде лёнными параметрами (струна, мембрана, полый или открытый резонатор) таких К. существует бескопечное множество. Напр,, для струны с закреплёнными концами длиной L моды отличаются числом полуволн , к-рые можно уложить на всей длине струны L — nX 2 (д=0, 1, 2,. . ., оо). Если скорость распространения волн вдоль струны равна v, то спектр собств. частот определится ф-лой [c.401]

H. у. может вычисляться по ф-ле Лш, где R — радиус окружности, ы — угл. скорость вращения этого радиуса. При прямолинейном движении Н. у. равно нулю. НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ (собственные волны) — бегущие гармоннч. волны в линейной динамической системе с пост, параметрами, в к-рой можно пренебречь поглощением и рассеянием энергии. Н. в. являются обобщением понятия нормальных колебаний на открытые области пространства и незамкнутые волноводные системы, в т. ч. на однородные и неоднородные безграничные среды, разл. типы волноводов и волновых каналов, струны, стержни, замедляющие системы, цепочки связанных осцилляторов и др. [c.360]

Главный вклад Рэлея в нашу науку содержится в его книге Теория звука ( Tie theory of sound ) ), В первом томе этой замечательной книги исследуются колебания струн, стержней, мембран, пластинок и оболочек. Автор демонстрирует те преимущества, которые может извлечь инженер из применения понятий обобщенных сил и обобгценных координат. Введение этих понятий и использование теоремы взаимности Бетти—Рэлея внесло большое упрощение в расчеты статически неопределимых систем. Труд этот охватывает не только собственно звуковые колебания, но и колебания не акустические. Автор обращает внимание на те удобства, которые может представить применение нормальных координат, и показывает, каким образом, приравнивая скорости нулю, можно извлекать решения для статических задач из исследования колебаний. Таким путем он находит прогибы для стержней, пластинок и оболочек, выражая их через нормальные функции эта методика приобрела в технике большое значение. [c.404]

Из всех возможных нормальных волн в трубах возбуждаются не все. Подобно тому, как способ возбуждения определяет реализацию тех или иных допустимых мод колебаний струны, реализация тех или нормальных волн в трубах определяется способом введения в упругую среду, заполняюш ую трубу, акустических колебаний. [c.332]

Вопрос об относительных амплитудах различных нормальных колебаний, конечно, чрезвычайно важен, так как от них зависнт тембр ноты ( 2). Обычно струну возбуждают одним из трех способов, а именно щипком (как на арфе, Щ1тре и т. д.), ударом молоточка (фортепьяно) или двпжопнем смычка (скрипка, виолончель и т. д.). [c.99]

Исследование поперечных колебаний струн уже подвело нас к замечательной теореме из области чистой математики, на которой мы долншы сейчас остановиться подробнее. Теоретическое рассмотрение нормальных колебаний привело к заключению, что свободное движение струны длиной I, приведенной в движение произвольным образом, может быть выражено рядом вида [c.118]

Есть целый ряд оснований, по которым, с физической точки зрения, мы можем удовлетвориться приближенным решением задачи. Оставляя в стороне такие вопросы, как сопротивление воздуха и податливость подставок на концах струны, следует помнить, что, исходя в рассуждениях из воображаемой математической материальной линии, в которой может возникать только натяжение, мы слишком сильно идеализировали реальные условия. Во всяком случае для нормальных колебаний высших номеров неабсолютная гибкость струны и неопределенность истинного характера условий на концах лишают это представление полной адекватности реальному случаю, и решение не может претендовать на точное определение нормальных колебаний таких номеров. Далее, принятая начальная форма струны, при которой два прямых отрезка ее встречаются под углом, может быть осуществлена лишь приближенно при попытке подойти ближе к осухцествлению такого начального условия на реальной проволоке получпм остаточный сгиб или излом. [c.130]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...