Преобразование компонентов деформации 179,----напряжения

Преобразование компонент тензоров напряжений и деформаций к новым осям в общем случае осуществляется по известным формулам [311 [c.18]

Преобразование компонентов деформации 179,---напряжения 179, [c.670]

Действуя согласно правилам преобразования компонент тензора напряжений и тензора скоростей деформации, можно представить закон пространственного деформирования вязкопластической среды в произвольной системе координат и получить полную систему уравнений для решения задач пространственного течения. [c.625]

Согласно известным формулам преобразования компонент тензора напряжений и компонент тензора скоростей деформации (см. также круги Мора на рис. 189, 190) имеем в данном случае соотношения [c.629]

Соотношения типа (1. ) называются формулами преобразования компонент тензора напряжений при повороте координатных осей. Заметим, что вообще всякая физическая величина, определяемая шестью компонентами, которые удовлетворяют формулам преобразования при повороте осей координат типа (1.2), называется симметричным тензором второго ранга. Примерами таких величин являются деформация тела, инерция твёрдого тела с одной неподвижной точкой и другие ). Как числа и как векторы, тензоры можно складывать, вычитать, умно- [c.19]

Путем некоторых преобразований можно показать, что шести полученных компонентов деформации достаточно для того, чтобы определить линейные и угловые деформации в данной точке в любых направлениях. Таким образом, деформированное состояние в точке определяется шестью компонентами и, так же как и напряженное состояние, представляет собой тензор. [c.251]

Предположим, что сопротивление среды деформированию не зависит от направления деформирования, т. е. среда изотропна. Это означает, что если в теле создать определенное состояние деформации, описываемое тензором деформации е,у, а затем систему координат подвергнуть произвольному преобразованию (для простоты речь идет о декартовых системах) и после этого в теле создать состояние деформации, по отношению к новой системе описываемое теми же компонентами тензора деформации, что и в первом случае, то компоненты тензора напряжений в обоих случаях совпадут. [c.47]

В третьей главе было сказано, что шесть компонентов тензора деформаций ehr не являются произвольными функциями координат точки тела, а должны удовлетворять шести условиям совместности деформаций Сен-Венана. Учитывая это обстоятельство, подставим формулы (5,27) в условия совместности деформаций Сен-Венана тогда после ряда преобразований найдем шесть соотношений, связывающих между собою компоненты тензора напряжений. Следовательно, в итоге будем иметь три дифференциальных уравнения (5.26) и шесть соотношений между компонентами тензора напряжений, к выводу которых и приступим. Будем считать, что тело однородное, т. е. Я и не зависят от координат. Тогда полученная система уравнений будет применима только для изотропных, однородных и линейно-упругих тел. [c.81]

Рассмотрим пример на преобразование компонентов напряжений и деформаций, а также на применение закона Гука. Пусть даны три деформации е , е.у, Ед,, найденные по показаниям трех тензометров, уставов- [c.128]

Рассмотрим пример преобразования компонентов напряжений и деформаций, а также применения закона Гука. Пусть даны три деформации, ел/ найденные по показаниям трех тензометров, установленных на поверхности исследуемой детали по трем направлениям, два из которых, X W у, образуют прямой угол, а третье направление N расположено под углом тг/4 к направлению оси х (рис. 5.3). Требуется найти направление главных осей деформации, величины главных деформаций -1 и 2, соответствующие им главные напряжения а м 02, а также величины напряжений сту, Тху и значение угла сдвига )ху [c.110]

Формулы преобразования компонентов напряжений и деформаций при повороте координатных осей (см. рис. 1,6.2) [c.68]

Симметрия таких величин, как напряжения в элементе какой угодно соответствует преобразованию ком-тензора при повороте прямоугольной системы координат. Это преобразование сводится для напряжений и деформаций к суммированию произведений, содержащих множителями по два косинуса углов поворота осей координат, поэтому ранг соответствующего тензора — второй. Число компонент тензора напряжений не зависит от симметрии среды, а величина компонент не характеризует свойств среды, так как это полевой тензор. Например, действие гидростатического давления можно описать шаровым тензором напряжений, у которого все компо- [c.8]

Понятие дополнительной работы. Вернемся к общему уравнению возможных изменений напряженного состояния (20.16) и рассмотрим подробнее выражение элементарной работы вариаций напряжений на действительных перемещениях заменяя компоненты деформации по формулам Генки (13.4), находим после ряда простых преобразований [c.74]

Эти соотношения, описывающие данный конкретный случай, являются общими преобразованиями компонент напряжений при переходе к новым ортогональным осям, образующим угол 0 с осями OXi и 0X2, при двумерной деформации. [c.51]

Компоненты вращения 390, 660,— напряжения 347,— смещения 375,— деформации 381, компонентов деформации преобразования 379, между компонентами деформации тождественные соотношения 391 [c.666]

В этой книге излагается общая теория криволинейных координат и ее применения в механике, в учении о теплоте и теории упругости разъясняется преобразование уравнений теории упругости к криволинейной системе координат и в качестве примера исследуется деформация сферической оболочки. В заключительных главах Ламе подвергает критическому анализу принципы, на основе которых строится вывод основных уравнений теории упругости. Теперь он уже не одобряет вывод уравнений по способу Навье (с привлечением гипотезы молекулярных сил), а отдает предпочтение методу Коши (в котором используется лишь статика твердого тела). Затем он принимает гипотезу Коши, согласно которой компоненты напряжения должны быть линейными функциями компонент деформации. Для изотропных материалов принятие этой гипотезы приводит к сокращению кисла необходимых упругих постоянных до двух, находимых из испытаний на простое растяжение и простое кручение. Таким путем все не- [c.144]

В 3 были установлены дифференциальные уравнения движения жидкости в напряжениях. Чтобы написать эти уравнения через проекции вектора скорости, необходимо воспользоваться соотношениями, представляющими компоненты тензора напряжения через компоненты тензора скоростей деформации. Такое преобразование мы проведём лишь для случая вязкой жидкости, для которой принимается обобщённая гипотеза Ньютона, связывающая компоненты напряжения с компонентами скоростей деформаций линейными соотношениями (11.1) и (11.16) главы I. [c.90]

См. 3.2, где имеются очень похожие преобразования и промежуточные выкладки. Из сказанного выше видно, что при получении выражений (3.35) или (3.38), выводимых из (3.34), предполагаются выполненными два из трех условий для упругого материала, оговоренных в примечании 1 на стр. 165, а именно условие I (равновесие внутренних напряжений) и условие 3 (геометрическая непрерывность или совместность компонент деформации), в то же время условие 2 (линейность связи между напряжениями и деформациями) не используется. [c.154]

Аналогичным образом можно учесть влияние поворота системы координат на угол а (рис. 8.9 (Ь)). В отличие от п. 8.4.1.4, в котором уже обсуждались соответствующие преобразования компонент напряжений и деформаций, теперь повернутые оси координат будут обозначаться через Х и у. Покажем, как производится пересчет комплексных функций напряжений при таком повороте. Справедливы равенства [c.219]

Заметим, что в силу отмеченной аналогии между формулами преобразования для компонентов напряжения и компонентов деформации круговая диаграмма, аналогичная рис. 18, может быть по [c.69]

Полученная ранее упруго-пластическая матрица относится к общему случаю трехмерной сплошной среды. Для двумерных состояний необходимо привести ее к специальному виду. Например, для плоского напряженного состояния это достигается простым вычеркиванием в (18.24) столбцов, соответствующих нулевым компонентам напряжений. В случае плоской деформации должны учитываться все напряжения, но обращаются в нуль соответствующие компоненты деформаций. В работе [9] выполнены соответствующие преобразования и приведены явные выражения для матриц. Интересно отметить, что в этих случаях даже при идеальной пластичности диагональный член, соответствующий А, отличен от нуля. [c.407]

Понятие дополнительной работы. Рассмотрим подробнее выражение элементарной работы вариаций напряжений на действительных перемещениях заменяя компоненты деформации по формулам Генки (67.2), находим после ряда простых преобразований [c.318]

Анизотропным однородным будем считать такое тело, упругие свойства которого в разных направлениях различны, т. е. соотношения ежду напряжениями и деформациями (между и в случае малых деформаций определяются тензором упругих постоянных , компоненты которого изменяются при преобразованиях системы координат. Такими свойствами обладают кристаллы и конструктивно-анизотропные тела. Среди последних, например, стеклопластики (тела, образованные густой сеткой стеклянных нитей, скрепленных различными полимерами—смолами), многослойные фанеры и др. (рис. 15 а — полотняное переплетение стеклоткани б—многослойные модели армированных стеклопластиков). В случае конструктивной анизотропии предполагается, что малый объем бУ содержит достаточное число ориентирующих элементов, т. е., по выражению А. А. Ильюшина, является представительным. [c.42]

Заменив векторы напряжений компонентами скоростей деформации (III.30) и (III.33), согласно обобщенному закону Ньютона, и сделав преобразования, получим уравнение энергии в скалярном виде [c.80]

Орты преобразованных координат. Пусть Охуг — ортогональные оси, в которых компоненты напряжений Оу, а , Ху , г х и деформаций е -, ц, е , е у, известны. Наряду с этими осями [c.122]

В произвольной системе координат связь между напряжениями и деформациями должна быть выражена в форме, инвариантной к преобразованиям координат. Поэтому, если компоненты Тд берутся в основном базисе (сг /), то компоненты Г должны быть во взаимном базисе (е ). Тогда обобщенный закон Гука для идеальной линейно-упругой среды примет вид [c.180]

Фундаментальные результаты по определению поля упругих напряжений внутри и вне эллипсоидального включения, помещенного в неограниченную однородную деформируемую матрицу, получены Дж. Эшелби [302]. Им показано, что в рассматриваемом случае поле напряжений внутри включения является однородным. Представляя результаты Дж. Эшелби таким образом, чтобы установить связь между деформацией сферического включения (пометим индексом s) и однородной деформацией, характеризуемой тензором с компонентами e,j, вдали от включения, после очевидных преобразований получим [c.247]

Для тензоров деформаций и напряжений, используемых при построении определяющих соотношений, желательным является свойство объективности. Под объективностью понимается неизменность компонент тензоров в некоторых системах координат при преобразованиях, соответствующих жесткому движению тела [36, 38, 72, 121] , [c.26]

Здесь приводятся два решения этой задачи с различными граничными условиями. В первом предполагается, что температурные деформации равны нулю, а во втором нулю приравниваются приложенное внутреннее и внешнее давления. На рис. 4,11 и 4.12 показаны значения напряжений, вычисленные в отмеченных на рис. 4.10 точках. Радиальные и азимутальные напряжения вычисляются при помощи простого преобразования их декартовых компонент. [c.130]

Уравнения (1.4.3) и (1.4.4) роста микроструктурно и физически коротких трещин при одноосном растяжении-сжатии позволяют прогнозировать скорость роста коротких трещин для случая сложного напряженного состояния [337]. Преобразование уравнений может быть основано на переходе от сложного напряженно-деформированного состояния к эквивалентному одноосному состоянию посредством соответствующих критериев. При совместном нагружении растяжением-кручением уравнения (1.4.3) и (1.4.4) могут быть переписаны в терминах компонентов размаха сдвиговых деформаций для заданно- [c.42]

ПоложиЕ В ЭТОЙ формуле соответственно пит, равными. т, у z, получим формулы, позволяющие в шислить компоненты напряжения в новой системе координат X, У, Z через компоненты напряжения в системе координат X, Y, Z. Сравнивая эти формулы с формулами преобразования компонентов деформации или компонентов скоростей деформации, моЖно установить их идентичность. Следовательно, компоненты напряжения образуют тензор [c.236]

Тогда векторы о и е служат изображением тензоров напряжений и деформаций в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Впоследствии будет выяснено, почему в качестве е , Сь и выбраны удвоенные компоненты тензора ец. Такое изображение не единственно с одной стороны, можно было бы ввести не шестимерное, а девятимерное пространство, если не обращать внимание на симметрию тензоров и е , обозначать, скажем, О12 и Оц как разные компоненты вектора о и не умножать вц i j) на два. С другой стороны, нужно помнить, что представление тензора в виде вектора имеет лишь ограниченный смысл и пригодно только для определенной фиксированной системы отнесения формулы преобразования компонент вектора и компонент тензора при изменении осей координат различны, поэтому, отнеся тензор напряжений или дефор- [c.236]

В вышеприведенных рассуждениях мы применяли векторный язык, ведя разговор о тензорах. Для простоты и краткости в дальнб11шем мы будем часто пользоваться и векторной символикой, обозначая через в напряженное состояние, а через г — распределение скоростей деформаций. Однако нужно помнить, что любые векторные операции для векторов о и е совершенно незаконны, их нельзя, например, преобразовывать к другим осям координат, формулы преобразования компонент тензора и вектора различны. [c.483]

Две оставшиеся компоненсы Е ч з , характеризующие влияние поперечных к плоскости 2 3 касательных напряжений на деформации в ней, зависят от угла поворота осей ф, что потребовало к свойству осевой симметрии материала добавить приставку квази . Между компонентами Е и "П, относящимися к координатным плоскостям 1 2 и 13, должен существовать взаимный переход их значении при угле поворота, меньшем чем л/2. Так как ось 1 является осью симметрии третьего порядка (упругие свойства материала при повороте вокруг нее на 120° сохраняются), угол между компонентами Е и т) равен я/6. Дейст вительно, преобразованием компонент тензора податливости нетрудно убедиться, что [c.193]

Решение преобразованного матричного уравнения (4.4.29) можно реализовать на ЭВМ, используя стандартные программы. По найденным узловым значениям перемещений в пределах каждого элемента согласно соотношегЕию (4.4.31) нетрудно найти компоненты деформации, а затем по формуле (4.4.25) - компоненты напряжений. На границах между элементами расчетные значения напряжений будут разрывны. [c.219]

Уравнения (42) являются условиями стапионарностн функционала Кастильяно в функциях напряжений [5.3], см. 2.2, Заметим, что деформационные граничные условия получе.ш в [4.11] невариационным путем в координатах (v,t,n) и выражены через компоненты деформаций е, их можно преобразовать к (42), используя (8) и правило преобразования компонентов векторов при замене координат (см. Приложение 2). [c.108]

Напряжение в непрерывных средах 342, — не является векторной величиной 343,—нормальное 155, 343,—продольное 153,—растягивающее 154, 344, — сжимающее St44, сложное 157, — срезывающее или касательное 344 напряжений концентрация вблизи малого отверстия 506, 522, 527, — крутильных распространение 457, — поверхность 358, — продольных распространение 465,— радиальных — 453, — разность, см. теории прочности, оптический метод в теории упругости, — функции 370, — функция Эри 482, 489, 500, 523 напряжения главные 180, ЗМ, 659, — компоненты 347,--в цилиндрических координатах 504, 517, между напряжениями и деформациями соотношения 169, 397, см. также плоское напряженное состояние, плоское напряженное состояние обобщенное, преобразование компонентов напряжения, сложение напряжений Нейтральная ось 210, 215, 219 1-1епрерывность 341 [c.668]

Вместо алгебраического решения характеристического у равнения (1) можно использовать графический способ, известным под названием круга Мора, позволяющий находить компоненты тензора второго ранга в пространстве двух измерений и в произвольной системе ортогональных осей координат (напряжения или деформации в точке, моменты инерции площадей плоских фигур, кривизны нормальных сечений поверхности и пр.). Круг Мора дает графическую интерпретацию линейного преобразования любой симметричной матртЦ) или квадратичной формы второго ранга при повороте осей и, в частности, может служить для решения векового уравнения второй степени. [c.54]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...