Пространство напряжений шестимерное

Общее — шестимерное пространство напряжений < 11 3) [c.75]

Для обобщения моделей предыдущего параграфа на случай сложного напряженного состояния удобно исходить из геометрической интерпретации процесса нагружения. Выделим в исследуемом теле элемент в форме параллелепипеда настолько малого размера, что его напряженное состояние допустимо считать однородным. Отнесем этот элемент к осям х , лгз, (рис. 10.7) и обозначим компоненты напряжений, действующих по его граням, через Oij i, /=1, 2, 3). Так как тензор напряжения с компонентами 0,7 симметричен (ajy = ay,), то для характеристики напряженного состояния выделенного элемента достаточно задания шести величин ст,у. Сопоставим напряженному состоянию элемента точку с декартовыми координатами в шестимерном пространстве, которое будем называть пространством напряжений. Ненагруженному состоянию элемента отвечает в пространстве напряжений начало координат. Нагружение образца сопровождается изменением значений и, значит, в пространстве напряжений точка, изображающая напряженное состояние исследуемого элемента, вычерчивает некоторую траекторию —путь нагружения. При одноосном напряженном состоянии все 0 у, кроме одного, например, Сц, равны нулю. В этом случае путь нагружения совпадает с осью СТц. Появление пластической деформации согласно моделям предыдущего параграфа связано с достижением Оц значения характерного для данного материала. Таким образом, на оси Ои можно выделить такую содержащую начало координат область, внутри которой состояние материала при первоначальном нагружении упруго. На рис. 10.8 эта область обозначена Q ее границами являются точки с координатами 1 а,, что соответствует случаю равных пределов текучести при растяжении и сжатии. [c.729]

Рассмотрим идеально пластическое тело. Поверхность течения р этом случае является фиксированной. Это означает, что в шестимерном пространстве напряжений она представляет собой гиперповерхность, задаваемую- условием [c.732]

Ассоциированный закон течения можно интерпретировать с помощью шестимерного пространства Напряжений в котором условию текучести соответствует поверхность, называемая поверхностью текучести. [c.13]

Если условие упрочнения (7.9) не зависит от хц и то оно определяет идеальную пластическую среду, для которой при постоянной температуре возрастание пластической деформации не приводит к возрастанию напряжений. При фиксированных значениях Т, Xij и х в шестимерном пространстве напряжений условие (7.9) представляет собой гиперповерхность. Поскольку бесконечно малая окрестность рассматриваемой точки тела имеет напряженное состояние, задаваемое тензором напряжений с компонентами (Jij, то этому напряженному состоянию соответствует определенная точка пространства напряжений с радиусом-вектором а. Поверхность, задаваемая уравнением / = О, делит пространство напряжений на две части в одной f ( ij,T,Xij,x) < о, в другой f aij,T,Xij,x) > 0. Бесконечно близкая окрестность точек тела, напряженное состояние которых отображается на зону / < О пространства напряжений, деформируется упруго. Поэтому область / < О называют областью упругости, в ней отсутствуют пластические [c.152]

Для дальнейшего рассмотрения удобно ввести пространство напряжений П тензора <3ij. Шестимерное пространство П определим как пространство, в котором декартовы координаты точки равны компонентам тензора напряжений Каждому тензору в пространстве И соответствует некоторая точка или вектор а с компонентами Gij. Совершенно аналогично можно ввести пространство деформаций Э, соответствуюш ее тензору деформации eij, и пространство скоростей деформации Е, соответствующее тензору скоростей деформации eij. [c.33]

Наряду с шестимерным пространством напряжений П можно ввести трехмерное пространство главных напряжений а (г = 1,2,3), в котором декартовы координаты точки совпадают с компонентами главных напряжений. [c.37]

При Н фо определяющие уравнения предлагаемой теории также являются уравнениями типа теории течения. В этом случае начальная поверхность текучести, представляющая в шестимерном пространстве напряжений Хг сферу радиуса К, в процессе пластического деформирования перемещается как жесткое целое, причем перемещение центра сферы пропорционально вектору остаточной (пластической) деформации. Закон упрочнения, при котором начальная поверхность текучести испытывает перенос, сохраняя при этом свои размеры и форму, принято называть трансляционным упрочнением. Впервые идея использования такого типа упрочнения для описания эффекта Баушингера была высказана Рейссом [239]. Модель трансляционного упрочнения, аналогичная рассматриваемой в настоящей работе, была независимо несколько позднее предложена Прагером [82] для поверхности текучести общего вида. [c.309]

Если тензор А удовлетворяет уравнению (7), то в шестимерном пространстве напряжений уравнение (1) определяет цилиндрическую поверхность. [c.101]

В шестимерном пространстве напряжений о существует фиксированная поверхность (называемая условием пластичности или поверхностью текучести) [c.11]

Будем предполагать, что функция /(о ) непрерывна и выпукла относительно о , так что в шестимерном пространстве напряжений (Оц, 022, Озз, Ota, 023, Ois) множество, определяемое неравенством [c.16]

Рис. 3.1. Поверхность начала пластичности в шестимерном пространстве напряжений

В общем случае напряженное состояние характеризуется не одним числом а, а шестью числами — компонентами тензора напряжений (2.9). Соответственно, пространством напряжений будет не ось сг, как, например, для диаграммы рис. 3, а упомянутое выше шестимерное пространство компонент тензора напряжений. В одномерном случае диаграммы (см. рис. 3) границей между областями упругого и пластического деформирования является точка ан на оси сг. В общем случае напряженного состояния такая граница представляет собой поверхность в шестимерном пространстве напряжений. Она называется поверхностью нагружения. [c.29]

Заметим, что главные компоненты р симметричного тензора напряжений известным образом выражаются через инварианты тензора напряжений. Поэтому, если потребуется, можно составить уравнение поверхности текучести, соответствующей условию пластичности Треска, и в шестимерном пространстве Оно будет иметь достаточно сложный вид. [c.455]

ПЛОСКОМ напряженном состоянии изображен на рис. 2. Геометрическую интерпретацию критерия разрушения можно распространить и на общий случай трехмерного напряженного состояния, когда он представляется гиперповерхностью в шестимерном пространстве. Ниже будут приведены параметры материала для-трехмерного напряженного состояния, но для сохранения геометрической наглядности будет рассматриваться лишь плоский случай. [c.407]

Несмотря на то что любую поверхность можно описать уравнением вида (5), не всякую поверхность можно выбрать в качестве поверхности прочности более того, поверхность прочности не может быть мнимой и должна быть односвязной. Условия, которым должны удовлетворять коэффициенты f , Fij,. .. для того, чтобы выполнялись эти требования, изучаются в курсах геометрии. Геометрическая интерпретация полезна при установлении ограничений на Fi, Fij,. .. и при определении главных осей. При плоском напряженном состоянии поверхность прочности является трехмерной, так как определяется тремя компонентами напряжений о, ог и Ос,. Ради краткости изложения мы ограничимся — при рассмотрении геометрических интерпретаций и изучении корней уравнения (5) — лишь плоским напряженным состоянием и трехмерными поверхностями прочности. Метод определения характеристических направлений в и-мерном евклидовом пространстве позволяет распространить полученные ниже результаты на случай трехмерных напряженных состояний и шестимерные поверхности прочности. Развернув уравнение (56) для случая плоского напряженного состояния, т. е. для i,j = 1, 2, 6, получим уравнение поверхности прочности второго порядка [c.451]

Дифференциальные соотношения (10.9) не могут быть проинтегрированы - в противном случае мы могли бы получить связи между а,7 и е,у в виде конечных соотношений. Отсюда следует, что напряженное состояние элемента тела в данный момент определяется не только значениями компонентов деформации в этот же момент, а всей предшествующей историей деформирования. Другими словами, двум разным путям деформирования (в шестимерном пространстве деформаций, аналогичном пространству нап- [c.736]

До сих пор мы встречались с телами, наделенными свойствами упругости и пластичности. Характерной чертой этих тел является независимость их поведения от временных факторов. Для упруго-пластического тела в силу неоднозначности связи между напряжениями и деформациями порядок приложения воздействий отражается на окончательном состоянии. Например, если некоторая деформация тела достигается по разным путям деформирования в шестимерном пространстве деформаций, то окончательные значения напряжений, вообще говоря, окажутся разными. Однако история деформирования не имеет здесь временного характера, т. е. скорости приложения воздействий несущественны. Это означает, что реакция тела на воздействие происходит мгновенно, без запаздывания. В частности, напряжение не зависит от того, как долго поддерживается заданная деформация, а деформация при заданных постоянных значениях напряжений не меняется во времени. [c.751]

Применимость модели идеально-упругого тела к реальным телам, как и любой другой реологической модели, должна быть подтверждена экспериментально. Однако осуществима проверка только следствий, получаемых теоретически из исходного закона. Чем больше накоплено таких следствий, тем больше возможностей создается для экспериментального исследования. Трудная задача установления закона состояния материала должна быть передана экспериментаторам как можно позже (Синьорини). Необходимо еще добавить, что непосредственному измерению доступно только поле деформаций, тогда как о напряжениях можно судить только по их интегральным эффектам— параметрам нагружения (растягивающая сила, крутящий момент, давление на поверхности образца и т. п.). Поэтому опыты чаще всего проводятся на образцах достаточно простой геометрической формы (призматический стержень, тонкостенная цилиндрическая трубка) в условиях статической определенности компонент напряженного состояния. Экспериментальные знания сосредоточены лишь на многообразиях одного, двух, редко и отрывочно — трех измерений шестимерного пространства компонент тензора деформации. Эти недостаточные сведения могут служить подтверждением не одного-единственного, а отличных друг от друга представлений закона состояния. Довольствуются принятой формой закона состояния, если констатируется его достаточно удовлетворительное подтверждение опытными данными в использованном диапазоне измеряемых величин. [c.629]

Поверхность прочности в общем случае трехмерного ( объемного ) напряженного состояния не поддается изображению, так как требует перехода к шестимерному пространству, — по осям координат должны откладываться шесть величин (см. табл. 2.1), характеризующих напряженное состояние в опасном элементе орто-тропного материала (шесть компонент тензора напряжений). [c.146]

Для наглядности выводов (те же результаты можно, разумеется, получить, используя неравенство Буняковского—Шварца) условимся изображать напряжение вектором (s ,. .., в шестимерном пространстве. Тогда условию текучести будет соответствовать некоторая выпуклая гиперповерхность (поверхность текучести). В силу [c.87]

Нагружение называют пропорциональным, если все компоненты напряженного состояния (при жестком нагружении — деформированного) изменяются пропорционально общему параметру. Если это условие не соблюдается, его называют непропорциональным, или сложны м. В этом смысле характер нагружения может быть отражен построением годографа вектора напряжений (деформаций) в шестимерном пространстве его компонентов. При пропорциональном нагружении годограф представляет собой прямую, проходящую через начало координат, при непропорциональном — кривую или ломаную линию. [c.15]

В выражение закона течения (1.1) входят величины первых производных функций поэтому вместо Д в шестимерном пространстве симметричного тензора напряжений (Tij может быть рассмотрена любая совокупность функций gi = О, такая чтобы при данных значениях [c.147]

Законы различных теорий пластичности выражают, в сущности, правила, согласно которым по перемещению точки (или, что то же, конца одноименного вектора У с координатами (полная деформация) во введенном шестимерном пространстве определяется перемещение точки X (конца вектора х) с координатами х (остаточная деформация) и тем самым изменение величин Xj (напряженное состояние). [c.307]

Таким образом, геометрически процесс нагружения в точке деформируемого тела может быть представлен в виде тензорной кривой в шестимерном линейном метрическом тензорном пространстве или в виде девиаторной кривой в пятимерном девиаторном пространстве и функцией Оо(/). Такие тензорные кривые и их свойства рассмотрены в работе [69]. Так как среди шести компонент девиатора напряжений только пять независимых, то для векторного [c.51]

Уравнение (4.1) является уравнением гиперповерхности пластичности 2 (рис. 4.1, б) в шестимерном пространстве компонентов тензора напряжения, которая для рассматриваемого состояния элемента среды разделяет области упругого и пластического деформирования. Так же, как и поверхность начала пластичности 2т> она может быть изображена в трехмерном пространстве главных напряжений. [c.51]

Для интерпретации результатов П. т. пользуются понятием пространства напряжений. Шестимерное пространство напряжений II определяется как про-странство, в к-ром декартовы координаты точки равны компонентам тензора напряжений Сту. Любому напряженному состоянию в пространстве // соответствует вектор 1гапряжений а с комнонетиами (Ту. [c.38]

Тогда векторы о и е служат изображением тензоров напряжений и деформаций в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Впоследствии будет выяснено, почему в качестве е , Сь и выбраны удвоенные компоненты тензора ец. Такое изображение не единственно с одной стороны, можно было бы ввести не шестимерное, а девятимерное пространство, если не обращать внимание на симметрию тензоров и е , обозначать, скажем, О12 и Оц как разные компоненты вектора о и не умножать вц i j) на два. С другой стороны, нужно помнить, что представление тензора в виде вектора имеет лишь ограниченный смысл и пригодно только для определенной фиксированной системы отнесения формулы преобразования компонент вектора и компонент тензора при изменении осей координат различны, поэтому, отнеся тензор напряжений или дефор- [c.236]

Преобразования пространственной системы координат т, у, индуцируют соответствующие частные преобразования координат р в девятимерном или в шестимерном пространствах напряжений. [c.423]

Как было уже указано, вместо девятимерного пространства напряжений при р — р достаточно рассматривать только шестимерное пространство напряжений. Очевидно, что для изотропных материалов существенные особенности области 2р можно описать в трехмерном пространстве главных компонент тензора напряжений. Для изотропных тел компоненты р входят в функции (2.5) и (2.6) только через главные напряжения Ръ Ргу Рз- [c.427]

Все большее применение при проектировании н аходят композиционные материалы большой толщины, для которых не выполняется предположение о плоском напряженном состоянии. При введении общего, шестимерного пространства напряжений требуются более сложные методы исследования, основанные на уточненных теориях пластин и оболочек, учитывающих трансверсальные касательные и нормальные напряжения, теории упругости, методе конечных элементов (см. табл. 1, п. 1). Соответственно необходим и более общий критерий разрушения. [c.93]

Из равенств (3) и (4) следует, что девятимерные пространства напряжений и деформаций, в которых записаны соотношения (1), являются по-существу шестимерными. Для упрощения записи тензорного соотношения (1) обычно используют сокращенную форму [c.160]

Чтобы было проще представить себе вытекающие отсюда следствия, введрм, наряду с шестимерным пространством напряжений, трехмернре пространство главных напряжений, в котором [c.732]

В П. т. используется понятие пространства напряжений. В шестимерном пространстве напряжений П декартовы координаты соответствуют компонентам тензора напряжений Oij. Любому напряжённому состоянию в пространстве П соответствует вектор нанряже-вий о с компонентами о . В пространстве П определяется поверхность нагружения 2, ограничивающая все упругие состояния данного элемента тела т. е. все состояния, к-рые могут быть достигнуты из начального без приобретения остаточных деформаций). Напряжённые состояния, соответствующие точкам поверхности нагружения 2, соответствуют пределам текучести при сложном напряжённом состоянии. При изменении напряжённого состояния поверхность нагружения изменяет свою форму. [c.629]

Тогда векторы а и е служат изображениями этих тензоров в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Заметим, что такое изображение неединственно. Можно было бы ввести не шестимерное, а девятимерное пространство, если не обращать внимания на симметрию тензоров a j и Sij. Ильюшин ввел пятимерные пространства для девиаторов напряжений и деформаций, так как среди их компонентов только пять независимых (в силу равенства нулю первых инвариантов). [c.31]

Соотношения (5.1) и (5.6) показывают, что вектор скоростей деформаций, рассматриваемый в шестимерном пространстве напряжений, направлен по нормали к мгновенной поверхности нагружеция. В то же врем напр ения и скорости деформации удовлетворяют уравнению (5.6). Изменение поверхности нагружения в процессе деформирования связано с эффектами упрочнения вследствие накопленной объемной и сдвиговой деформаций, скоростным упрочнением и температурой. [c.124]

Тогда векторы сг и е служат изображениями тензоров напряжений и деформаций в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Заметим, что такое изображение не единственно. Можпо было бы ввести пе шестимерпое, а девятимерное пространство, если не обращать внимания на симметрию тензоров (7ij и ij. Ильюшин ввел нятимерные пространства для девиаторов папряжепий и деформаций, так как среди их компонентов только пять независимых. [c.41]

В шестимерном подпространстве девятимерного пространства напряжений Р ассоциированный закон течения принимает вид [c.275]

Вектор приращений пластических деформаций с1ер может быть построен в шестимерном пространстве компонент тензора пластических деформаций так же, как и вектор догрузки йо в пространстве напряжений. Удобно рассматривать шестимерные пространства компонент тензора напряжений и компонент тензора пластических деформаций совмещенными, т. е. откладывать вдоль данного орта одноиндексные компоненты тензоров, например и [ х> Тху и Вху. Из ассоциированного закона пластичности следует, что в таком совмещенном пространстве для любого вектора догрузки, составляющего острый угол с нормалью п к поверхности нагружения (рис. 5), вектор приращения пластических деформаций йвр направлен по нормали п. Данное положение носит название принципа градиентальности. [c.30]

Условие пластичности (15.1.4) может быть геометрически интерпретировано как уравнение поверхности в шестимерном или девятимерном пространстве, где координатами точек служат компоненты напряжений Оц. В первом случае учитывается симметрия тензора Оц и координат остается всего шесть, во втором случае равенства о,, = Оц не используются. Будем называть гиперповерхность, определяемую уравнением (15.1.4), поверхностью текучести. Для изотропного тела условия перехода в пластическое состояние должны определяться только главными напряжениями независимо от ориентации главных осей, поэтому условие пластичности можно записать в виде [c.481]

Мы предполагаем, что поверхность текучести раз ляет пространство Gij на две области—внутреннюю и внещнюю, причем внутренней области соответствует неравенство Ф<1, и начало координат (точка ау = 0) лежит в этой области. В ходе деформации с изменением плотности и параметров Xi поверхность нагружения деформируется и расширяется. Можно говорить поэтому о начальной и текущей поверхностях текучести. Напряжения огу можно рассматривать как проекции шестимерного вектора напряжения. При деформации конец вектора напряжения лежит на поверхности текучести. Величины у, умноженные на надлежащим образом выбранную размерную единицу, будем рассматривать как проекции шестимерного вектора скоростей деформаций. Ассоциированный закон течения (1.15) показывает, что вектор скоростей деформаций направлен по внешней нормали к поверхности текучести в той ее точке, которая соответствует действительным напряжениям (рис. 3). [c.14]

Здесь (т — радиус-вектор точки в шестимерном пространстве напряжепий, отвечающей компонентам aij. Иа рис. 7.13 показаны кусок поверхпости текучести и векторы, составляющие скалярное произведение в формуле (7.17). Следовательно, множитель dX иропорциопалеп плотности работы напряжений на пластических деформациях, причем коэффициент пропорциональности отличен от нуля. [c.171]

Представим себе (рис. 7.14) некоторое напряженное состояние сг, которому соответствует поверхность текучести 5 . Поверхность текучести делит шестимерное пространство напря- [c.171]

Введем шестимерное пространство напрясисений ГГ, декартовы координаты точки которого являются компонентами симметричного тензора <3ij. Каждому значению тензора oij в пространстве ГГ соответствует некоторая точка или вектор а с началом в начале координат и компонентами В пространстве ГГ рассмотрим область Q, содер-жаш ую начало координат, в которой упругопластическое тело будем считать упругим (для любых точек внутри Q прираш ения напряжений связаны с соответствуюш ими приращениями деформаций законом Гука). Для жесткопластического тела в области Q материал является жестким. Обозначим через Е поверхность, ограничивающую область Q. Точки поверхности Е соответствуют пределам упругости или пластичности. Поверхность Е называется поверхностью пластичности. Обычно постулируемые свойства поверхности Е состоят в следующем она замкнута, но в некоторых направлениях может простираться до бесконечности, не проходит через начало координат, и любой луч, исходящий из начала координат, пересекает ее не более одного раза. [c.265]

Для геометрической интерпретации условия начала пластичности 1сдставим себе шестимерное пространство компонентов напряжений, каждая точка которого (изображающая точка) представляет собой некоторое напряженное состояние. Тензор напряжений в этом пространстве условимся изображать вектором а,/, составляющие которого равны компонентам тензора напряжений Оц (рис. 3.1). Тогда Д)авнение (3.10) является уравнением гиперповерхности начала пла-, [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...