Тензор число его компонент

Тензор упругостей сохраняет значение при перестановке индексов в каждой паре (др), st). По (П. 1.6) число его компонент равно 21. Это следует из (7.9), (4), а также из определений производной (II.4.5) тензора по тензору [c.119]

Наличие той или иной симметрии кристалла приводит к появлению зависимостей между различными компонентами тензора так что число его независимых компонент оказывается меньшим, чем 21. [c.51]

Иногда для тензора используется обозначение его компонент, например bij — тензор третьего ранга (ранг тензора совпадает с числом свободных индексов при его компонентах). [c.393]

Если все три главные значения тензора одинаковы, например в случае тензора (а и), где а — действительное положительное число, то характеристической поверхностью является сфера, а тензор называется шаровым. У шарового тензора все направления главные и, следовательно, его компоненты не меняются при повороте координатных осей, т. е. шаровой тензор является изотропным. [c.401]

Величины е е - называют координатными диадами, а само выписанное выражение — диадным представлением тензора. Ранг тензора определяется числом индексов у его компонент. В частности, вектор можно считать тензором первого ранга, а инвариант — нулевого. Ниже рассматриваются в основном лишь тензоры второго ранга, так что будем называть их просто тензорами. Из представления (1.7) усматривается, что в выбранном координатном базисе тензор второго ранга определяется девятью его компонентами tij. [c.8]

Это единичный тензор второго ранга (по числу индексов). Его компоненты часто называют символами Кронекера. С помощью метрического тензора можно осуществлять операцию замены индексов жонглирования ), например, [c.527]

Однородное тело называется анизотропным, если упругие свойства его различны по различным направлениям, т. е. соотношения между Gij и ец (мы по-прежнему рассматриваем малые деформации) определяются тензором упругих постоянных , компоненты которого изменяются при преобразованиях системы координат. Такими свойствами обладают кристаллы и конструктивно анизотропные тела. Среди последних, например, стеклопластики (тела, образованные густой сеткой стеклянных нитей, скрепленных различными полимерами (смолами)), многослойные фанеры и др. В случае конструктивной анизотропии предполагается, что малый объем dV содержит достаточное число армирующих элементов, т, е. является представительным. [c.204]

Критическое значение числа т р развивающихся дефектов, при достижении которого происходит разрушение, в общем случае зависит от свойств матрицы и типа опасных дефектов (трещины, инородные включения, химические флуктуации и т. п.), т. е. от природы материала и его структуры. Существенную роль нри этом играет вид напряженного состояния. В случае положительного шарового тензора увеличение гидростатической компоненты напряжений способствует раскрытию трещин и как бы подготавливает их к развитию. При отрицательном шаровом тензоре под действием сжимающих напряжений трещины закрываются и служат своего рода препятствиями на пути развития магистрали раздела. В результате пластических деформаций напряжения в местах концентрации перераспределяются. Поскольку величина пластических сдвигов зависит от уровня касательных напряжений, критическое число внутренних разрывов в материале, необходимое для полного разрушения тела при заданной схеме приложения внешних сил, должно увеличиваться с возрастанием интенсивности напряжений (Jj, как величины, ответственной за формоизменение материала. [c.138]

Соотношения (9), (10), полученные впервые Карманом, позволяют выразить поперечную компоненту корреляционного (структурного) тензора соленоидального статистически однородного и изотропного (локально однородного и изотропного) векторного поля через его продольную компоненту и сводят, таким образом, число независимых компонент до одной. [c.61]

Тензор упругости кристалла есть тензор четвертого ранга. Он связывает тензоры деформации и напряжения. Применяя соображения симметрии к тензору упругости, можно уменьшить число его независимых компонент, равное в общем случае 81. Так, например, в кубических кристаллах лишь три компоненты этого тензора независимы. [c.24]

Скалярные, векторные и тензорные функции, если не оговорено противное, предполагаются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми достаточное число раз. В основу определения тензора можно положить соотношения, связывающие компоненты тензора в различных системах координат. При переходе от одной системы координат к другой компоненты тензора подвергаются линейному однородному преобразованию. Тип тензора определяется законом преобразования его компонент. Объект называется скалярным (тензор нулевого ранга, инвариант), если в системе координат л он определяется функцией 5(л х ), такой, что при переходе к другой произвольной системе координат связь между 8 х Х , х ) и 5(л х ) в каждой точке имеет вид 8 х х ,х ) = х , х ). Другими словами, скалярные величины не меняются при переходе от одной системы координат к другой. [c.10]

По числу компонент — в случае вектора это три его проекции на оси координат — вектор можно рассматривать как тензор первого ранга, скаляр — как тензор нулевого ранга. [c.116]

Расчет тела на прочность неразрывно связан с определением его напряженного состояния. Это необходимо не только с целью нахождения опасной точки и компонент напряженного состояния в ней, но и для суждения о прочности материала в этой точке, так как большинство критериев наступления опасного состояния выражается именно через компоненты напряженного состояния. Для многих практически важных форм тел и схем нагружений напряженное состояние в опасной точке удобно характеризовать коэффициентами концентрации напряжений. Эти коэффициенты представляют собой отношение максимального значения какой-либо компоненты тензора напряжений к соответствующему номинальному значению и, таким образом, выражаются безразмерными числами. [c.331]

Все три главные компоненты р тензора напряжений отличаются от соответствующих компонент 5 его девиатора на одно и то же постоянное число Поэтому условие пластичности Мизеса записывается через главные компоненты девиатора тензора напряжений так же, как и через главные компоненты Р P Р [c.458]

Материальные тензоры, при помощи которых описываются физические (и механические) свойства анизотропных сред, могут обладать различным рангом, при этом число исходных независимых компонент для каждого тензора определяется не только его рангом, но и симметрией среды. [c.9]

Итак, в рассматриваемой нами симметричной механике жидкости и газа тензор напряжений симметричен, и, следовательно, из всех его девяти компонент только шесть отличны друг от друга. Этот факт чрезвычайно важен, так как число неизвестных в общих уравнениях механики сплошной среды благодаря теореме взаимности касательных напряжений уменьшается на три. Выражение вектора напряжения рп через п и тензор напряжений Р может [c.63]

Инвариантный объект, который в системе декартовых осей характеризуется тройкой чисел aj, преобразующихся при повороте осей по закону (1 .П), называется вектором или тензором первого ранга, а эти три числа —его компонентами. [c.392]

Инвариантный объект, который в системе декартовых осей трехмерного пространства характеризуется девятью числами йц, преобразующимися при повороте осей по закону (1 . 16), называется тензором второго ранга, а эти девять чисел с двумя в определенном порядке индексами называются его компонентами. [c.392]

Ранг тензора г равен числу индексов в обозначении его компонент. Число компонент тензора с каким-либо определенным строением индексов равно 3 , т, е, числу управляющих полиадных произведений векторов базиса. Тензор называется нулевым, если все его компоненты равны нулю. [c.38]

Так как пространство тензоров ранга р является линейным пространством, в нем определены действия сложения и умножения на число. Если тензЬр представлен свОйми компонентами в некотором базисе, то умножение его на число сводится к умножению на это число всех компонент тензора, При сложении двух тензоров одного ранга, представленных в одном и том же базисе, соответствующие компоненты складываются. [c.8]

Определение физическшди компонентами тензора называются числа, получаемые делением его компонент на длины базисных ши кобазисных векторов, опреде.дяющих эти компоненты. [c.28]

Так как оси в точке могут выбираться произвольно, то любая группа напряжений (13.7) полностью определяет данное плоское напряженное состояние как его компоненты. При повороте осей их птсобразование происходит по вьфажеииям (13.4)—(13.6). Все это позволяет рассматривать напряженное состояние в точке К Ш новое понятие, называемое тензором напряжений и являющееся более общим, чем такие понятия, как число или вектор. [c.347]

Обозначение е г ло- закреплено за стандартным антисимметри-ческим тензором ранга 4. Антисимметричность означает, что его компоненты меняют знак при перестановке любой пары индексов, кроме того, ео123 = 1- Рангом называется число индексов тензора. В этих обозначениях форма объема равна дУ = = Л Л с1х Л йх . Дуальным тензором называется [c.23]

Итак, главные векторы (ортонормированная тройка)образуют базис, в котором компоненты тензора суть его главные значения. В этом базисе число компонентов равно трем.Но тогда инварианты тензора - функции этих трех компонентов. Следовательно, число инвариантов не может быть больше трех, В силу независимости инвариантов можно утвервдать, что число независимых инвариантов двухвалентного сишетричного тензора равно трем.Заметим,что тройка главных значений также представляет собо набор независимых инвариантов (два последних замечания относятся к случаю неравных корней характеристического уравнения). [c.30]

Моноклинная система. Рассмотрим класс С, выбираем систему координат с плоскостью х, у, совпадающей с плоскостью симметрии. При отражении в этой плоскости координаты подвергаются преобразованию х х, у - у, г —г. Компоненты тензора преобразуются как произведения соответствующих координат. Поэтому ясно, что при указанном преобразовании все компоненты среди индексов которых индекс г содержится нечетное (1 или 3) число раз, переменят свой знак, а остальные компоненты останутся неизменными. С другой стороны, в силу симметрии кристалла все характеризующие его свойства величины (в том числе и все компоненты kthim) должны остаться неизменными при отражении в плоскости симметрии. Поэтому ясно, что все компоненты с нечетным числом индексов г должны быть равными нулю. Соответственно этому общее выражение для свободной упругой энергии кристалла моноклинной системы есть [c.52]

Вещество может обладать и более сложными тензорными характеристиками. Так, коэф, пьезоэлектрич. эффекта (см. Пьезоэлектричество) образуют тензор 3-ГО ранга, а характеристики упругих свойств вещества об-pasyret тензор упругих модулей 4-го ранга, для задания к-рого в произвольной системе координат необходимо указать значения 3 =81 его элементов. Учет симметрии позволяет, однако, значительно понизить число независимо задаваемых компонент. [c.84]

При постановке задач ОМД граничные, в том числе и кинематические граничные, условия назначаются на основе априорных или апостериорных представлений об изучаемом процессе. Наиболее часто кинематические граничные условия задаются в виде значений вектора скорости (вектора перемещения) или его отдельных компонент на границе области исследования. Очевидно это связано с ограниченностью нашего восприятия движения материальных объектов. Действительно, трудно, например, предположить значение какой-либо компоненты тензора скоросгей деформаций на контакте деформируемого металла с абсолютно жестким инструментом. И совершенно очевидно, что нормальная к поверхности такого инструмента составляющая вектора скорости металла в точке контакта его с инструментом должна бьпъ равна такой же составляющей вектора скорости инструмента в этой же точке. В дальнейшем (см. п. 1.5.3) мы будем различать несколько типов граничных условий. Здесь отметим, что с кинематическими параметрами связаны кинематические и смешанные граничные условия. [c.61]

Для сред, обладающих разной симметрией, тензорыи их неприводимые представления имеют разное число компонент. Для сравнения между собой физических величин, описьшаемых этими тензорами, используют нормы тензоров. Нормой тензора назьшается сумма квадратов всех его элементов, т.е. BepHjrroe по всем индексам произведение тензора самого на себя. По определению норма тензора должна быть равна сумме норм его неприводимых представлений [c.17]

В заключение отметим кратко некоторые достоинства и недостатки методик, основанных на изменениях в оптической схеме при измерении деформации. Как видели, вектор смещения и и его произродная 0 и входят здесь в те же члены, что и в случае обычной голографической интерферометрии, поэтому для их нахождения можно воспользоваться аналогичными методами. В частности, при отыскании всех компонентов вектора и или V и требуется то же минимальное число базисных векторов д или т,а. Первое достоинство, вытекающее из возможности изменения вида интерференционной картины, состоит в том, что обычные методы можно применять в условиях удобного наблюдения. Так порядки полос, расстояние между полосами и точки локализации можно по желанию изменять, облегчая тем самым измерения. Для этой цели в случае д имеем один параметр изменение длины волны Я — Я, в случае б— четыре параметра компоненты сдвига й и разность фаз ф — ф, а в случаях в и г — шесть параметров компоненты вектора смещения 1 и тензора поворота Если более того одна голограмма была дефор- [c.151]

Случай, когда напряженное и деформированное состояние соответствует трем условиям текучести f o ij) = О, р = 1,2,3, принадлежит к числу статически определимых задач. Единственная возможность подобного состояния рассмотрена в работе [3]. В самом деле, система 3 уравнений равновесия относительно компонент напряжений будет замкнута, если все компоненты напряжений могут быть выражены не более, чем через 3 независимые переменные. Тензору напряжений в пространстве напряжений может быть поставлен в соответствие эллипсоид напряжений. Если эллипсоид напряжений является эллипсоидом врагцения, а его третья полуось определена как функция других осей, то эллипсоид напряжений полностью определяется величиной одной из осей и ориентацией третьей полуоси, определяемой двумя эйлеровыми углами. Этот случай соответствует условию текучести сг = сг -, а к = f o i), приводягцему в пространстве тензора напряжений aij к 3 уравнениям условия пластичности. [c.88]

Здесь — те же самые числа, которые раньше были названы компонентами тензора 1 относительно базнса (еь ег,. ... ед) и точно так же обозначены. Эти числа называют также смешанными компонентами относительно указанного базиса и взаимного с ним. Аналогично числа называются смешанными компонента у1И относительно базиса (е, е. . .., е") и взаимного с иим. Числа и - и ру называют соответственно контравариантными и кова- [c.504]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...